高中数学必修五知识点总结.docx
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高中数学必修五知识点总结
《必修五知识点总结》
第一章：
解三角形知识要点
一、正弦定理和余弦定理
abc
1、正弦定理：
在C中，a、b、c分别为角、、C的对边，，则有2
RsinsinsinC
（R为C的外接圆的半径）
2、正弦定理的变形公式：
①a2Rsin，b2Rsin，c2RsinC；
②sin
a
2R
，sin
b
2R
，sin
C
c
2R
；
③a:
b:
csin:
sin:
sinC；
3、三角形面积公式：
111
SbcsinabsinCacsin．
C
222
4、余弦定理：
在C中，有
2222cos
abcbc，推论：
cos
A
2
b
2
c
2bc
2
a
222
bac2accos
B
，推论：
cosB
2
a
2
c
2ac
2
b
c2222cos，推论：
ababC
cosC
2
a
2
b
2ab
2
c
二、解三角形
处理三角形问题，必须结合三角形全等的判定定理理解斜三角形的四类基本可解型，特别要多角度（几何
作图，三角函数定义，正、余弦定理，勾股定理等角度）去理解“边边角”型问题可能有两解、一解、无解的
三种情况，根据已知条件判断解的情况，并能正确求解
1、三角形中的边角关系
（1）三角形内角和等于180°；
（2）三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；
（3）三角形中大边对大角，小边对小角；
（4）正弦定理中,a=2R·sinA,b=2R·sinB,c=2R·sinC，其中R是△ABC外接圆半径.
（5）在余弦定理中:
2bccosA=
2c2a
2
b.
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（6）三角形的面积公式有:
S=
1
2
ah,S=
1
2
absinC=
1
2
bcsinA=
1
2
acsinB,S=P（Pa）（Pb）（Pc）其中，
h是BC边上高，P是半周长.
2、利用正、余弦定理及三角形面积公式等解任意三角形
（1）已知两角及一边，求其它边角，常选用正弦定理.
（2）已知两边及其中一边的对角，求另一边的对角，常选用正弦定理.
（3）已知三边，求三个角，常选用余弦定理.
（4）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角，常选用余弦定理.
（5）已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，常选用正弦定理.
3、利用正、余弦定理判断三角形的形状
常用方法是：
①化边为角；②化角为边.
4、三角形中的三角变换
（1）角的变换
因为在△ABC中，A+B+Cπ=，所以sin（A+B）=sinC；cos（A+B）=－cosC；tan（A+B）=－tanC。
sin
AB
2
cos
CA
2
cos
2
B
sin
C
2
；
（2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。
r为三角形内切圆半径，p为周长之半
（3）在△ABC中，熟记并会证明：
∠A，∠B，∠C成等差数列的充分必要条件是∠B=60°；△ABC是正三
角形的充分必要条件是∠A，∠B，∠C成等差数列且a，b，c成等比数列.
三、解三角形的应用
1.坡角和坡度：
坡面与水平面的锐二面角叫做坡角，坡面的垂直高度h和水平宽度l的比叫做坡度，用i表示，根据定义
可知：
坡度是坡角的正切，即itan.
hα
l
2.俯角和仰角：
第2页共2页
如图所示，在同一铅垂面内，在目标视线与水平线所成的夹角中，目标视线在水平视线的上方时叫做仰角，
目标视线在水平视线的下方时叫做俯角.
3.方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为.
注：
仰角、俯角、方位角的区别是：
三者的参照不同。
仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相
对于正北方向而言的。
4.方向角：
相对于某一正方向的水平角.
5.视角：
由物体两端射出的两条光线，在眼球内交叉而成的角叫做视角
第二章：
数列知识要点
一、数列的概念
1、数列的概念：
一般地，按一定次序排列成一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的一般形式可以
写成a1,a2,a3,,an,，简记为数列an，其中第一项a1也成为首项；an是数列的第n项，也叫做数列的通
项.
数列可看作是定义域为正整数集N（或它的子集）的函数，当自变量从小到大取值时，该函数对应的一
列函数值就是这个数列.
第3页共3页
2、数列的分类：
按数列中项的多数分为：
（1）有穷数列：
数列中的项为有限个，即项数有限；
（2）无穷数列：
数列中的项为无限个，即项数无限.
3、通项公式：
如果数列an的第n项an与项数n之间的函数关系可以用一个式子表示成anfn，那么这个式子就
叫做这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式.
4、数列的函数特征：
一般地，一个数列
a，
n
如果从第二项起，每一项都大于它前面的一项，即an1an，那么这个数列叫做递增数列;
如果从第二项起，每一项都小于它前面的一项，即
aa，那么这个数列叫做递减数列;
n1n
如果数列
a的各项都相等，那么这个数列叫做常数列.
n
5、递推公式：
某些数列相邻的两项（或几项）有关系，这个关系用一个公式来表示，叫做递推公式．
二、等差数列
1、等差数列的概念：
如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是同一个常数，那么这个数列久叫做等差数列，这个常数叫做
等差数列的公差.
即
aad（常数），这也是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据.
n1n
2、等差数列的通项公式：
设等差数列
a的首项为
n
a，公差为d，则通项公式为：
1
aa1n1danmd,n、mN.
nm
3、等差中项：
ab
（1）若a、A、b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且=
A;
2
（2）若数列
a为等差数列，则an,an1,an2成等差数列，即an1是an与an2的等差中项，且
n
aa
nn2
a1=；
n
2
反之若数列
a满足
n
aa
nn2
a1=，则数列
n
2
a是等差数列.
n
4、等差数列的性质：
第4页共4页
（1）等差数列
a中，若mnpqm、、n、pqN,则amanapaq，若mn2p，则
n
aa2a；
mnp
（2）若数列an和bn均为等差数列，则数列anbn也为等差数列；
（3）等差数列
a的公差为d，则
n
d0an为递增数列，d0an为递减数列，d0an为常数列.
5、等差数列的前n项和
S：
n
（1）数列
a的前n项和Sn=
n
aaaaanN；
123n1n,
（2）数列an的通项与前n项和Sn的关系：
a
n
S,n1
1
.
SS,n2
nn1
（3）设等差数列an的首项为a1,公差为d，则前n项和
naann1
1n
S=nad.
n1
22
6、等差数列前n和的性质：
（1）等差数列
a中，连续m项的和仍组成等差数列，即
n
a1a2am,am1am2a2m,
aaa,仍为等差数列（即
2m12m23m
S,SS,SS,成等差数列）；
m2mm3m2m
（2）等差数列
a的前n项和
n
nn1dd
2
S=nad=nan,当d0时，
n11
222
S可看作关于n的二
n
次函数，且不含常数项；
Sn1
奇
（3）若等差数列an共有2n+1（奇数）项，则SS=an1中间项且=,若等差数列an共有
奇偶
Sn
偶
2n（偶数）项，则
Sa
偶n1
SS=nd=.
且
偶奇
Sa
n
奇
7、等差数列前n项和Sn的最值问题：
设等差数列an的首项为a1,公差为d，则
（1）
a10且d0（即首正递减）时，
S有最大值且
n
S的最大值为所有非负数项之和；
n
（2）
a10且d0（即首负递增）时，Sn有最小值且Sn的最小值为所有非正数项之和.
三、等比数列
1、等比数列的概念：
第5页共5页
如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比是同一个不为零的常数，那么这个数列就叫做等比数列，
这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q0）.
即
a
n
a
n
1
qq
为非零常数，这也是证明或判断一个数列是否为等比数列的依据.
2、等比数列的通项公式：
设等比数列
a的首项为a1，公比为q，则通项公式为：
n
n1nm
aa1qaq,nm,n、mN.
nm
3、等比中项：
（1）若a、A、b成等比数列，则A叫做a与b的等比中项，且
Aab;2=
2=
（2）若数列
a为等比数列，则an,an1,an2成等比数列，即an1是an与an2的等比中项，且
n
2
a1=aa2；
nnn
反之若数列
a满足
n
2
a1=aa2，则数列an是等比数列.
nnn
4、等比数列的性质：
（1）等比数列
a中，若mnpqm、、n、pqN,则amanapaq，若mn2p，则
n
2
aaa；
mnp
（2）若数列
a和bn均为等比数列，则数列anbn也为等比数列；
n
（3）等比数列
a的首项为
n
a，公比为q，则
1
a10a10
或为递增数列，
a
n
q10q1
a10a10
或为递减数列，
a
n
0q1q1
q1a为常数列.
n
5、等比数列的前n项和：
（1）数列
a的前n项和
n
S=
n
aaaaanN；
123n1n,
（2）数列
a的通项与前n项和Sn的关系：
n
a
n
S,n1
1
.
SS,n2
nn1
na,q1
1
（3）设等比数列
a的首项为
n
a，公比为qq0，则
1
n
Saq
1
n1
1q
.
q1
由等比数列的通项公式及前n项和公式可知，已知
a1,q,n,an,Sn中任意三个，便可建立方程组求出另外两个.
6、等比数列的前n项和性质：
第6页共6页
设等比数列
a中，首项为a1，公比为qq0，则
n
（1）连续m项的和仍组成等比数列，即
a1a2am,am1am2a2m,a2m1a2m2a3m,仍
为等比数列（即Sm,S2mSm,S3mS2m,成等差数列）；
（2）当q1时，
n
a11qa1a1a1a1a1
nnn
S1qqq
n
1q1q1q1qq1q1
，
设
a
1
q1
t
，则
n
Stqt.
n
四、递推数列求通项的方法总结
1、递推数列的概念：
一般地，把数列的若干连续项之间的关系叫做递推关系，把表达递推关系的式子叫做递推公式，而把由递
推公式和初始条件给出的数列叫做递推数列.
2、两个恒等式：
对于任意的数列
a恒有：
n
（1）
aaaaaaaaaa
n1213243nn1
aaaa
（2）234n
aa,a0,nN
n1n
aaaa
123n1
3、递推数列的类型以及求通项方法总结：
类型一（公式法）：
已知
S,（n1）
S（即a1a2anf（n））求an，用作差法：
a1
nn
SS,（n2）
nn1
类型二（累加法）：
已知：
数列
a的首项
n
a,且an1anfn,nN，求通项an.
1
给递推公式
a1afn,nN中的n依次取1,2,3，,,，n-1,可得到下面n-1个式子：
nn
a2a1f1,a3a2f2,a4a3f3,,anan1fn1.
利用公式ana1a2a1a3a2a4a3anan1可得：
aa1f1f2f3fn1.
n
类型三（累乘法）：
已知：
数列
a的首项a1,且
n
a
n1,
fnnN
a
n
，求通项an.
给递推公式
a
n
1,
fnnN
a
n
中的n一次取1,2,3，,,，n-1,可得到下面n-1个式子：
第7页共7页
aaaa
234n
f1,f2,f3,,fn1.
aaaa
123n1
利用公式
aaaa
234n
aa,a0,nN
n1n
aaaa
123n1
可得：
aa1f1f2f3fn1.
n
类型四（构造法）：
形如apaq
n1、
n
n
an1paq（k,b,p,q为常数）的递推数列都可以用待定系
n
数法转化为公比为k的等比数列后，再求
a。
n
①an1paq解法：
把原递推公式转化为：
an1tp（ant），其中
n
t
q
1p
，再利用换元法
转化为等比数列求解。
②
n
an1paq解法：
该类型较要复杂一些。
一般地，要先在原递推公式两边同除以
n
n1
q，得：
anpa1
1引入辅助数列
n
n1n
qqqq
b（其中
n
a
n
b），得：
n
n
q
p1
1再应用an1panq
bnbn
qq
的方法解决。
pa
n
类型五（倒数法）：
已知：
数列an的首项a1,且a1,r0,nN
n
qar
n
，求通项an.
a
n
1
pa1qar1rq1r1q
nn
qarapaapapapap
nn1nn1nn1n
设
11rq
b,b.bb
则n1n
nn1
aapp
nn1
，
若rp,则
qq
b1bb1b=
nnnn
pp
，即数列bn是以
q
p
为公差的等差数列.
若rp,则
rq
bb
n1n
pp
（转换成类型四①）.
五、数列常用求和方法
6.公式法
直接应用等差数列、等比数列的求和公式，以及正整数的平方和公式，立方和公式等公式求解.
7.分组求和法
一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而
后相加减.
第8页共8页
8.裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项和就变成了首尾少数项之和.
9.错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积组成的，此时可把式子
Saaaa的两边同乘以公比q（q0且q1），得到qSna1qa2qan1qanq，两
n12n1n
式错位相减整理即可求出
S.
n
5、常用公式：
1、平方和公式：
222nn12n1
2
12n1n
6
2、立方和公式：
333nn1
32
12n1n12n1n
2
2
3、裂项公式：
1111111
分式裂项：
;
nn1nn1nnkknnk
根式裂项：
111
n1n;nkn
nn1nnkk
.
六、数列的应用
1、零存整取模型：
银行有一种叫作零存整取的储蓄业务,即每月定时存入一笔相同数目的现金,这是零存;到约定日期,可以取
出全部本利和,这是整取.规定每次存入的钱不计复利.
注：
单利的计算是仅在原本金上计算利息,对本金所产生的利息不再计算利息.其公式为:
利息=本金×利率×存期.
以符号p代表本金,n代表存期,r代表利率,s代表本金和利息和（即本利和）,则有s=p（1+nr）.
零存整取是等差数列求和在经济方面的应用.
2、定期自动转存模型：
银行有一种储蓄业务为定期存款自动转存.例如,储户某日存入一笔1年期定期存款,1年后,如果储户不取出
本利和.则银行自动办理转存业务,第2年的本金就是第1年的本利和.
注：
复利是把上期末的本利和作为下一期的本金,在计算时每一期本金的数额是不同的.复利的计算公式
是:
s=p（1+r）n.
定期自动转存（复利）是等比数列求和在经济方面的应用.
3、分期付款模型：
第9页共9页
分期付款要求每次付款金额相同外,各次付款的时间间隔也相同.分期付款总额要大于一次性付款总额,二
者的差额与分多少次付款有关,且付款的次数越少,差额越大.分期付款是等比数列的模型.
采用分期付款的方法，购买售价为a元的商品（或贷款a元），，每期付款数相同，购买后1个月（或1
年）付款一次，如此下去，到第n次付款后全部付清，如果月利率（或年利率）为b，按复利计算，那么每期
付款x元满足下列关系：
设第n次还款后，本利欠款数为an，则
a1a1bx,a2a11bx,a3a21bx,,anan11bx,
由
xx
aa11bxa1ba1
nnnn
bb
知，
数列
a
n
x
b
是以
xxx
aabxba
111
bbb
为首项，q1b为公比的等比数列.
xxx
n1
aa1q1ba1b
n
bbb
n1
x
n
a1b,
b
xx
n
aa1b
n
bb
.
xx
n
ab
n
bb
，
x
n
ab1b
n
1b1
第三章：
不等式知识要点
一、不等式的解法
1、不等式的同解原理：
原理1：
不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得不等式与原不等式是同解不等式；
原理2：
不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数或同一个大于零的整式，所得不等式与原不等式是同解不
等式；
原理3：
不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数或同一个小于零的整式，并把不等式改变方向后所得不等
式与原不等式是同解不等式。
2、一元二次不等式的解法：
一元二次不等式的解集的端点值是对应二次方程的根，是对应二次函数的图像与x轴交点的横坐标。
二次函数
（）
的图象
第10页共10页
有两相异实根有两相等实根
无实根
注意：
（1）一元二次方程
20（0）
axbxca的两根x1,x2是相应的不等式
20（0）
axbxca的解集的端
点的取值，是抛物线
2（0）
yaxbxca与x轴的交点的横坐标；
（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二
次项系数为正的形式，然后讨论解决；
（3）解集分0,0,三0种情况，得到一元二次不等式ax2bxc0（a0）与
20（0）
axbxca的解集。
3、一元高次不等式的解法：
解高次不等式的基本思路是通过因式分解，将它转化成一次或二次因式的乘积的形式，然后利用数轴标根
法或列表法解之。
数轴标根法原则：
（1）“右、上”
（2）“奇过，偶不过”
4、分式不等式的解法：
（1）若能判定分母（子）的符号，则可直接化为整式不等式。
（2）若不能判定分母（子）的符号，则可等价转化：
fxfxfxgx0
0fxgx0;0.
gxgxgx0
fxfxfxgx0
0fxgx0;0.
gxgxgx0
5、指数、对数不等式的解法：
（1）
fxgx
aaa1fxgx;
fxgx
aa0a1fxgx
（2）
logfxloggx（a1）fxgx0;
aa
aa
logfxloggx（0a1）0fxgx
6、含绝对值不等式的解法：
第11页共11页
fxaa0fxa或fxa;
fxaa0afxa.
fxgxfxgx或fxgx;
fxgxgxfxgx.
22
fxgxfxgx
.
对于含有多个绝对值的不等式，利用绝对值的意义，脱去绝对值符号。
二、基本不等式
1、基本不等式：
若a0，b0，则
ab
2
ab，当且仅当ab时，等号成立．
ab
2
称为正数a、b的算术平均数，ab称为正数a、b的几何平均数．
变形应用：
2
ab
abab，当且仅当ab时，等号成立．
0,0
2
2、基本不等式推广形式：
如果a,bR，则
22
ab
2
≥
ab
2
≥ab≥
2
11
ab
，当且仅当ab时，等号成立．
3、基本不等式的应用：
设x、y都为正数，则有：
⑴若xys（和为定值），则当xy时，积xy取得最大值
2
s
4
．
⑵若xyp（积为定值），则当xy时，和xy取得最小值2p．
注意：
在应用
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