C.PA=PB=PC
D.PA≠PB≠PC
[解析] ∵M为AB的中点,△ACB为直角三角形,
∴BM=AM=CM,又PM⊥平面ABC,
∴Rt△PMB≌Rt△PMA≌Rt△PMC,
故PA=PB=PC.
[答案] C
5.(2017·贵阳监测)如图,在三棱锥P-ABC中,不能证明AP⊥BC的条件是( )
A.AP⊥PB,AP⊥PC
B.AP⊥PB,BC⊥PB
C.平面BPC⊥平面APC,BC⊥PC
D.AP⊥平面PBC
[解析] A中,因为AP⊥PB,AP⊥PC,PB∩PC=P,所以AP⊥平面PBC,又BC⊂平面PBC,所以AP⊥BC,故A正确;C中,因为平面BPC⊥平面APC,BC⊥PC,所以BC⊥平面APC,又AP⊂平面APC,所以AP⊥BC,故C正确;D中,由A知D正确;B中条件不能判断出AP⊥BC,故选B.
[答案] B
6.(2017·湖北孝感高中期中)如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BC=AC,AC1⊥A1B,M,N分别是A1B1,AB的中点,给出下列结论:
①C1M⊥平面A1ABB1;②A1B⊥NB1;③平面AMC1⊥平面CBA1.
其中正确结论的个数为( )
A.0B.1
C.2D.3
[解析] ①在直三棱柱ABC-A1B1C1中,平面A1B1C1⊥平面ABB1A1.因为BC=AC,所以B1C1=A1C1.因为M为A1B1的中点,所以C1M⊥A1B1.因为平面A1B1C1∩平面ABB1A1=A1B1,所以C1M⊥平面ABB1A1.故①正确.②由①知,C1M⊥A1B,又因为AC1⊥A1B,C1M∩AC1=C1,所以A1B⊥平面AMC1,所以A1B⊥AM.因为M,N分别是A1B1,AB的中点,所以ANB1M是平行四边形,所以AM∥NB1.因为A1B⊥AM,所以A1B⊥NB1.故②正确.③由②知A1B⊥平面AMC1,因为A1B⊂平面CBA1,所以平面AMC1⊥平面CBA1.故③正确.综上所述,正确结论的个数为3.故选D.
[答案] D
二、填空题
7.(2017·河北石家庄调研)如图,已知PA⊥平面ABC,BC⊥AC,则图中直角三角形的个数为________.
[解析] ∵PA⊥平面ABC,AB,AC,BC⊂平面ABC,
∴PA⊥AB,PA⊥AC,PA⊥BC,则△PAB,△PAC为直角三角形.
由BC⊥AC,且AC∩PA=A,∴BC⊥平面PAC,从而BC⊥PC,因此△ABC,△PBC也是直角三角形.
[答案] 4
8.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足__________时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)
[解析] 由定理可知,BD⊥PC.
∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,就有PC⊥平面MBD,
而PC⊂平面PCD,
∴平面MBD⊥平面PCD.
[答案] DM⊥PC(或BM⊥PC等)
三、解答题
9.(2017·山东青岛质检)如图,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2,∠ABC=∠DBC=120°,E,F,G分别为AC,DC,AD的中点.
(1)求证:
EF⊥平面BCG;
(2)求三棱锥D-BCG的体积.
[解]
(1)证明:
由已知得△ABC≌△DBC,因此AC=DC.
又G为AD的中点,所以CG⊥AD.
同理BG⊥AD,又BG∩CG=G,因此AD⊥平面BCG.
又EF∥AD,所以EF⊥平面BCG.
(2)在平面ABC内,作AO⊥BC,交CB的延长线于O,如图由平面ABC⊥平面BCD,平面ABC∩平面BDC=BC,AO⊂平面ABC,知AO⊥平面BDC.又G为AD中点,因此G到平面BDC的距离h是AO长度的一半.
在△AOB中,AO=AB·sin60°=
,
所以VD-BCG=VG-BCD=
S△DBC·h=
×
BD·BC·sin120°·
=
.
10.(2017·云南省高中毕业班统一检测)如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,底面ABCD是平行四边形,AB=BC=2a,AC=2
a,E是PA的中点.
(1)求证:
平面BED⊥平面PAC;
(2)求点E到平面PBC的距离.
[解]
(1)证明:
在平行四边形ABCD中,AB=BC,
∴四边形ABCD是菱形,∴BD⊥AC.
∵PC⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,∴PC⊥BD.
又PC∩AC=C,∴BD⊥平面PAC,∵BD⊂平面BED,
∴平面BED⊥平面PAC.
(2)设AC交BD于点O,连接OE,如图.
在△PCA中,易知O为AC的中点,E为PA的中点,
∴EO∥PC.
∵PC⊂平面PBC,EO⊄平面PBC,
∴EO∥平面PBC,
∴点O到平面PBC的距离就是点E到平面PBC的距离.
∵PC⊥平面ABCD,PC⊂平面PBC,
∴平面PBC⊥平面ABCD,交线为BC.
在平面ABCD内过点O作OH⊥BC于点H,则OH⊥平面PBC.
在Rt△BOC中,BC=2a,OC=
AC=
a,
∴OB=a.S△BOC=
OC·OB=
BC·OH,
∴OH=
=
=
a.
∴点E到平面PBC的距离为
a.
[能力提升]
11.空间四边形ABCD中,AB=CD=2,AD=BC=3,M,N分别是对角线AC与BD的中点,则MN与( )
A.AC,BD之一垂直B.AC,BD不一定垂直
C.AC,BD都不垂直D.AC,BD都垂直
[解析] 连接BM,DM,AN,CN,在△ABC和△ACD中,AB=CD,AD=BC,AC=CA,故△ABC≌△CDA.又M为AC中点,∴BM=DM.∵N为BD的中点,∴MN⊥BD.同理可证MN⊥AC,故选D.
[答案] D
12.如图,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°.将△ADB沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥A-BCD,则在三棱锥A-BCD中,下列命题正确的是( )
A.平面ABD⊥平面ABC
B.平面ADC⊥平面BDC
C.平面ABC⊥平面BDC
D.平面ADC⊥平面ABC
[解析] ∵在四边形ABCD中,
AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,
∴BD⊥CD.
又平面ABD⊥平面BCD,
且平面ABD∩平面BCD=BD,
故CD⊥平面ABD,则CD⊥AB.
又AD⊥AB,CD∩AD=D,
故AB⊥平面ADC.
∴平面ABC⊥平面ADC.故选D.
[答案] D
13.(2017·内蒙古包头一模)已知直线a,b,平面α,且满足a⊥α,b∥α,有下列四个命题:
①对任意直线c⊂α,有c⊥a;②存在直线c⊄α,使c⊥b且c⊥α;③对满足a⊂β的任意平面β,有β∥α;④存在平面β⊥α,使b⊥β.
其中正确的命题有________.(填序号)
[解析] 因为a⊥α,所以a垂直于α内任一直线,所以①正确;由b∥α得α内存在一直线l与b平行,在α内作直线m⊥l,则m⊥b,m⊥a,再将m平移得到直线c,使c⊄α即可,所以②正确;由面面垂直的判定定理可得③不正确;若b⊥β,则由b∥α得α内存在一条直线l与b平行,必有l⊥β,即有α⊥β,而b⊥β的平面β有无数个,所以④正确.
[答案] ①②④
14.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点,点P在线段D1E上.点P到直线CC1的距离的最小值为________.
[解析] 点P到直线CC1的距离等于点P在平面ABCD上的射影到点C的距离,设点P在平面ABCD上的射影为P′,显然点P到直线CC1的距离的最小值为P′C的长度的最小值.当P′C⊥DE时,P′C的长度最小,此时P′C=
=
.
[答案]
15.(2017·北京海淀区零模)如图所示,四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形,侧棱PA⊥底面ABCD,且PA=
,E是侧棱PA上的动点.
(1)求四棱锥P-ABCD的体积;
(2)如果E是PA的中点,求证:
PC∥平面BDE;
(3)不论点E在侧棱PA的任何位置,是否都有BD⊥CE?
证明你的结论.
[解]
(1)因为PA⊥平面ABCD,
所以VP-ABCD=
S正方形ABCD·PA=
×12×
=
,
即四棱锥P-ABCD的体积为
.
(2)证明:
如图所示,连接AC交BD于点O,连接OE.
因为四边形ABCD是正方形,所以O是AC的中点,
又E是PA的中点,所以PC∥OE,
因为PC⊄平面BDE,OE⊂平面BDE,
所以PC∥平面BDE.
(3)不论点E在侧棱PA的任何位置,都有BD⊥CE.证明如下:
因为四边形ABCD是正方形,所以BD⊥AC,
因为PA⊥底面ABCD,且BD⊂平面ABCD,所以BD⊥PA,
又AC∩PA=A,所以BD⊥平面PAC.
因为不论点E在侧棱PA的任何位置,都有CE⊂平面PAC,
所以不论点E在侧棱PA的任何位置,都有BD⊥CE.
16.(2017·全国卷Ⅰ)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.
(1)证明:
平面PAB⊥平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,且四棱锥P-ABCD的体积为
,求该四棱锥的侧面积.
[解]
(1)证明:
由∠BAP=∠CDP=90°,得AB⊥AP,CD⊥PD.
由于AB∥CD,故AB⊥PD,又CD∩PD=D,从而AB⊥平面PAD.
又AB⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD.
(2)如图所示,在平面PAD内作PE⊥AD,垂足为E.
由
(1)知,AB⊥平面PAD,故AB⊥PE,又AD∩AB=A,可得PE⊥平面ABCD.
设AB=x,则由已知可得AD=
x,PE=
x.
故四棱锥P-ABCD的体积VP-ABCD=
AB·AD·PE=
x3.
由题设得
x3=
,故x=2.
从而AB=DC=PA=PD=2,AD=BC=2
,PB=PC=2
.
可得四棱锥P-ABCD的侧面积为
PA·PD+
PA·AB+
PD·DC+
BC2·sin60°=6+2
.
[延伸拓展]
(2018·山东青岛质检)如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC是正三角形,点D是BC的中点,BC=BB1.
(1)求证:
A1C∥平面AB1D;
(2)试在棱CC1上找一点M,使得MB⊥AB1,并说明理由.
[解]
(1)证明:
如图所示,连接A1B交AB1于点O,连接OD.
∵O,D分别是A1B,BC的中点,
∴A1C∥OD.∵A1C⊄平面AB1D,OD⊂平面AB1D,∴A1C∥平面AB1D.
(2)M为CC1的中点.理由如下:
∵在正三棱柱ABC-A1B1C1中,BC=BB1,
∴四边形BCC1B1是正方形.
∵M为CC1的中点,D是BC的中点,
∴△B1BD≌△BCM,∴∠BB1D=∠CBM.
又∵∠BB1D+∠BDB1=
,
∴∠CBM+∠BDB1=
,∴BM⊥B1D.
∵△ABC是正三角形,D是BC的中点,∴AD⊥BC.
∵平面ABC⊥平面BB1C1C,平面ABC∩平面BB1C1C=BC,AD⊂平面ABC,∴AD⊥平面BB1C1C.
∵BM⊂平面BB1C1C,∴AD⊥BM.
∵AD∩B1D=D,∴BM⊥平面AB1D.
∵AB1⊂平面AB1D,∴MB⊥AB1.