物理《必修2》21 匀速圆周运动教案.docx

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物理《必修2》21匀速圆周运动教案

科目：

物理年级：

高一课时数：

2

课题

第一节匀速圆周运动（教案）

教学目的

1．知道什么是匀速圆周运动，理解匀速圆周运动是变速运动．

2．理解和掌握线速度、角速度、周期等概念，以及它们之间的关系．

教学内容

基础知识全解

★知识点1．匀速圆周运动

定义：

质点沿圆周运动，如果在相等时间里通过的圆弧长度相等，这种运动叫做匀速圆周运动。

匀速圆周运动是最简单的圆周运动。

2．描述匀速圆周运动快慢的物理量

（1）线速度

　　引入：

质点单位时间通过的弧长越长，表明运动得越快．

　　定义：

质点通过的弧长s与所用时间t的比值．

　　公式：

v＝

　　单位：

m／s

　　矢量：

线速度的方向在圆周该点的切线方向上．

　　注意：

匀速圆周运动的速度方向不断改变，因此是变速运动；所谓“匀速”是指速率不变，即速度的大小不变．

（2）角速度

　　引入：

运动质点和圆心半径的连线在单位时间内转动的角度越大，表明质点运动得越快．

定义：

圆周半径转过的角度

与所用时间t的比值．

公式：

　　单位：

rad／s

　　注意：

弧度的概念，等于弧长与半径的比值，π弧度等于180°．

　　（3）周期和频率

　　匀速圆周运动是一种周期性的运动．

　　周期：

做匀速圆周运动的物体运动一周所用的时间

　　频率：

物体ls由完成匀速圆周运动的圈数，单位是赫兹，记作“Hz”．周期和频率互为倒数．

3．线速度、角速度、周期间的关系

（1）定性关系

　　三个物理量都是描述匀速圆周运动的快慢，匀速圆周运动得越快，线速度越大、角速度越大、周期越小．

（2）定量关系

　　设想物体沿半径为r的圆周做匀速圆周运动，则在一个周期内转过的弧长为2πr，转过的角度为2π，因此有

，

比较可知：

v＝ωr

4、向心加速度a：

（1）大小：

a=

2f2r

（2）方向：

总指向圆心，时刻变化

（3）物理意义：

描述线速度方向改变的快慢。

教师点评：

对于匀速圆周运动的问题，一般可按如下步骤进行分析：

（1）确定做匀速圆周运动的物体作为研究对象。

（2）明确运动情况，包括搞清运动速率v，轨迹半径R及轨迹圆心O的位置等。

只有明确了上述几点后，才能知道运动物体在运动过程中所需的向心力大小（mv2/R）和向心力方向（指向圆心）。

　　（3）分析受力情况，对物体实际受力情况做出正确的分析，画出受力图，确定指向圆心的合外力F（即提供向心力）。

　　（4）选用公式

解得结果。

【例1】如图5－26所示，O1皮带传动装置的主动轮的轴心，轮的半径为r1；O2为从动轮的轴心，轮的半径为r2；r3为与从动轮固定在一起的大轮的半径．已知r2＝1.5r1，r3=2r1．A、B、C分别是三个轮边缘上的点，那么质点A、B、C的线速度之比是_________，角速度之比是_________，向心加速度之比是__________，周期之比是_________．

[思路点拨]　本题涉及了匀速圆周运动的所有基本公式：

v=ωR，

之间关系的两种不同形式，并应正确理解其含义．

[解题过程]　由于A、B轮由不打滑的皮带相连，故vA=vB．

所以ωB=ωC．

所以有　ωA∶ωB∶ωC=3∶2∶2，vA∶vB∶vC＝3∶3∶4．

故　aA∶aB∶aC=9∶6∶8．

教师点评：

物体做匀速圆周运动时，线速度、角速度、向心加速度、向心力和轨道半径间有一定牵连关系．“认为线速度一定与半径成正比”是不对的，其实只有在角速度不变的情况下才成立．同样泛泛地讲：

向心加速度与半径成正比还是成反比，也是不对的，必须讲清其物理条件是角速度不变还是线速度不变．

【例2】如图5－27所示，一飞机在竖直平面内做匀速率特技飞

C、D四个位置受力情况．

[思路点拨]　该题应首先从A、B、C、D四点的位置、状态及所需向心力情况入手，再根据牛顿运动定律分析各点受力情况．分析的难点在于B点和D点．

[解题过程]　以飞行员为研究对象．在A点受力情况如图5－28（A）所示，其中FN表示座椅对飞行员的支持力．依牛顿运动定律

力不足以提供所需向心力，飞行员有离心趋势，故由椅子提供向下的压力P，如图5－28（B）所示．

在C点（此时飞行员头向下，椅子在其上方）受力情况如图5－28（C）所示，其中T表示安全带对飞行员向上拉力．并有

在D点，情况与B点相近，飞行员重力不足以提供所需向心力，有离心趋势．故将由安全带提供向下的压力Q，如图5－28（D）所示．

教师点评：

（1）物体的匀速圆周运动状态不是平衡状态．它所需要的向心力应恰好由物体所受的合外力来提供，由受力分析入手，正确使用动力学求解，是分析这类问题的主要方法．

（2）“离心”与“向心”现象的出现，是由于提供的合外力与某状态下所需的向心力之间出现矛盾，当“供”大于“需”时，将出现“向心”．

【例3】如图5－29所示的水平转盘可绕竖直轴OO′旋转，盘上水平杆上穿着两个质量相等的小球A和B．现将A和B分别置于距轴r和2r处，并用不可伸长的轻绳相连．已知两球与杆之间的最大静摩擦力都是fm．试分析转速ω从零逐渐增大，两球对轴保持相对静止过程中，A、B受力情况如何变化？

[思路点拨]　当转动角速度ω增大到某值时，A和B将发生离心现象，向B一侧甩出，此时A所受摩擦力应沿杆指向外侧．而刚开始转动时，A所受摩擦力应指向圆心（轴），而且绳上没有张力．显然整个过程中A、B受力发生了明显变化，而且这种变化又与几个特定角速度值有关．找出这几个特定角速度是分析的关键．

[解题过程]　由于ω从零开始逐渐增大，当ω较小时，A和B只靠自身静摩擦力提供向心力．

A球：

mω2r=fA；B球：

mω22r=fB．

随ω增大，静摩擦力不断增大，直至ω＝ω1时将有fB=fm．即

力T将出现．

A球：

mω2r=fA＋T；B球：

mω22r=fm＋T．

由B球可知：

当角速度由ω增至ω′时，绳上张力将增加ΔT，ΔT=m·2r（ω′2－ω2）．对于A球应有

m·r（ω′2－ω2）=ΔfA＋ΔT=ΔfA＋m·2r（ω′2－ω2）．

可见ΔfA＜0，即随ω的增大，A球所受摩擦力将不断减小，直至

当角速度从ω2继续增加时，A球所受的摩擦力方向将沿杆指向外侧，并随ω的增大而增大，直至fA=fm为止．设此时角速度为ω3，并有

从ω3若角速度继续增加，A和B将一起向B一侧甩出．

教师点评：

（1）本题很好地反映了在匀速圆周运动的角速度ω动态变化的过程中，由于所需向心力的变化对所提供的摩擦力及绳上拉力的制约作用，并最终达到供与需之间的和谐．

（2）教学实践表明：

同学们基本都能正确指出，“AB系统将最终向B一侧甩出”这一物理现象．但是对于中间动态变化过程是怎样的？

为什么是这样的？

却很少有人讲清楚．对于一个题目物理过程的挖掘，要深刻、要细致，只有这样才能使自己跳出题海．

【例4】小球在半径为R的光滑半球内做水平面内的匀速圆周运动，试分析图中的θ（小球与半球球心连线跟竖直方向的夹角）与线速度v、周期T的关系。

（小球的半径远小于R。

）

教师点评：

小球做匀速圆周运动的圆心在和小球等高的水平面上（不在半球的球心），向心力F是重力G和支持力N的合力，所以重力和支持力的合力方向必然水平。

如图所示有：

，

由此可得：

，

（式中h为小球轨道平面到球心的高度）。

可见，θ越大（即轨迹所在平面越高），v越大，T越小。

点评：

本题的分析方法和结论同样适用于圆锥摆、火车转弯、飞机在水平面内做匀速圆周飞行等在水平面内的匀速圆周运动的问题。

共同点是由重力和弹力的合力提供向心力，向心力方向水平。

【例5】如图所示的传动装置中，A、B两轮同轴转动．A、B、C三轮的半径大小的关系是RA=RC=2RB．当皮带不打滑时，三轮的角速度之比、三轮边缘的线速度大小之比、三轮边缘的向心加速度大小之比分别为多少？

教师点评：

皮带不打滑，表示轮子边缘在某段时间内转过的弧长总是跟皮带移动的距离相等，也就是说，用皮带直接相连的两轮边缘各处的线速度大小相等．根据这个特点，结合线速度、角速度、向心加速度的公式即可得解

由于皮带不打滑，因此，B、C两轮边缘线速度大小相等，设vB=vC=v．由v=ωR得两轮角速度大小的关系

ωB∶ωC=RC∶RB=2∶1．

因A、B两轮同轴转动，角速度相等，即ωA=ωB，所以A、B、C三轮角速度之比

ωA∶ωB∶ωC=2∶2∶1．

因A轮边缘的线速度

vA=ωARA=2ωBRB=2vB，

所以A、B、C三轮边缘线速度之比

vA∶vB∶vC=2∶1∶1．

根据向心加速度公式a=ω2R，所以A、B、C三轮边缘向心加速度之比

=8∶4∶2=4∶2∶1．

【例6】一圆盘可绕一通过圆盘中心O且垂直于盘面的竖直轴转动．在圆盘上放置一木块，当圆盘匀速转动时，木块随圆盘一起运动（见图），那么

[]

A．木块受到圆盘对它的摩擦力，方向背离圆盘中心

B．木块受到圆盘对它的摩擦力，方向指向圆盘中心

C．因为木块随圆盘一起运动，所以木块受到圆盘对它的摩擦力，方向与木块的运动方向相同

D．因为摩擦力总是阻碍物体运动，所以木块所受圆盘对它的摩擦力的方向与木块的运动方向相反

E．因为二者是相对静止的，圆盘与木块之间无摩擦力

【分析】由于木块随圆盘一起作匀速圆周运动，时刻存在着一个沿半径指向圆心的向心加速度，因此，它必然会受到一个沿半径指向中心、产生向心加速度的力——向心力．

以木块为研究对象进行受力分析：

在竖直方向受到重力和盘面的支持力，它处于力平衡状态．在盘面方向，可能受到的力只有来自盘面的摩擦力（静摩擦力），木块正是依靠盘面的摩擦力作为向心力使它随圆盘一起匀速转动．所以，这个摩擦力的方向必沿半径指向中心

【答】B．

教师点评：

常有些同学认为，静摩擦力的方向与物体间相对滑动的趋势方向相反，木块随圆盘一起匀速转动时，时时有沿切线方向飞出的趋势，因此静摩擦力的方向应与木块的这种运动趋势方向相反，似乎应该选D．这是一种极普遍的错误认识，其原因是忘记了研究运动时所相对的参照系．通常说做圆运动的物体有沿线速度方向飞出的趋势，是指以地球为参照系而言的．而静摩擦力的方向总是跟相对运动趋势的方向相反，应该是指相互接触的两个相关物体来说的，即是对盘面参照系．也就是说，对站在盘上跟盘一起转动的观察者，木块时刻有沿半径向外滑出的趋势，所以，木块受到盘面的摩擦力方向应该沿半径指向中心

【例7】在一个水平转台上放有A、B、C三个物体，它们跟台面间的摩擦因数相同．A的质量为2m，B、C各为m．A、B离转轴均为r，C为2r．则

[]

A．若A、B、C三物体随转台一起转动未发生滑动，A、C的向心加速度比B大

B．若A、B、C三物体随转台一起转动未发生滑动，B所受的静摩擦力最小

C．当转台转速增加时，C最先发生滑动

D．当转台转速继续增加时，A比B先滑动

【分析】A、B、C三物体随转台一起转动时，它们的角速度都等于转台的角速度，设为ω．根据向心加速度的公式an=ω2r，已知rA=rB＜rC，所以三物体向心加速度的大小关系为aA=aB＜aC．

A错．

三物体随转台一起转动时，由转台的静摩擦力提供向心力，即f=Fn=mω2r，所以三物体受到的静摩擦力的大小分别为

fA=mAω2rA=2mω2r，

fB=mBω2rB=mω2r，

fC=mcω2rc=mω2·2r=2mω2r．

即物体B所受静摩擦力最小．B正确．

由于转台对物体的静摩擦力有一个最大值，设相互间摩擦因数为μ，静摩擦力的最大值可认为是fm=μmg．由fm=Fn，即

得不发生滑动的最大角速度为

即离转台中心越远的物体，使它不发生滑动时转台的最大角速度越小．

由于rC＞rA=rB，所以当转台的转速逐渐增加时，物体C最先发生滑动．转速继续增加时，物体A、B将同时发生滑动．C正确，D错．

【答】B、C．

【例8】如图（a）所示，在光滑的圆锥顶用长为L的细线悬挂一质量为m的小球，圆锥顶角为2θ，当圆锥和球一起以角速度ω匀速转动时，球压紧锥面．此时绳的张力是多少？

若要小球离开锥面，则小球的角速度至少为多少？

【分析】小球在水平面内做匀速圆周运动，由绳子的张力和锥面的支持力两者的合力提供向心力，在竖直方向则合外力为零。

由此根据牛顿第二定律列方程，即可求得解答。

【解】对小球进行受力分析如图（b）所示，根据牛顿第二定律，向心方向上有

T·sinθ-N·cosθ=mω2r①

y方向上应有

N·sinθ+T·cosθ-G=0②

∵r=L·sinθ③

由①、②、③式可得

T=mgcosθ+mω2Lsinθ

当小球刚好离开锥面时N=0（临界条件）

则有Tsinθ=mω2r④

T·cosθ-G=0⑤

教师点评：

本题是属于二维的牛顿第二定律问题，解题时，一般可以物体为坐标原点，建立xoy直角坐标，然后沿x轴和y轴两个方向，列出牛顿第二定律的方程，其中一个方程是向心力和向心加速度的关系，最后解联立方程即可。

【例9】用长L1=4m和长为L2=3m的两根细线，拴一质量m=2kg的小球A，L1和L2的另两端点分别系在一竖直杆的O1，O2处，已知O1O2=5m如下图（g＝10m·s-2）

（1）当竖直杆以的角速度ω匀速转动时，O2A线刚好伸直且不受拉力．求此时角速度ω1．

（2）当O1A线所受力为100N时，求此时的角速度ω2．

【分析】小球做圆周运动所需的向心力由两条细线的拉力提供，当小球的运动速度不同时，所受拉力就不同。

【解】

（1）当O2A线刚伸直而不受力时，受力如图所示。

则F1cosθ=mg①

F1sinθ=mRω12②

由几何知识知

∴R=2.4mθ=37°

代入式③ω1=1.77（rad/s）

（2）当O1A受力为100N时，由

（1）式

F1cosθ=100×0.8=80（N）＞mg

由此知O2A受拉力F2。

则对A受力分析得

F1cosθ-F2sinθ-mg=0④

F1sinθ+F2cosθ=mRω22⑤

由式（4）（5）得

教师点评：

向心力是一种效果力，在本题中O2A受力与否决定于物体A做圆周运动时角速度的临界值．在这种题目中找好临界值是关键．

课后练习

1.关于角速度和线速度，下列说法正确的是[　　]

　　　A.半径一定，角速度与线速度成反比

　　　B.半径一定，角速度与线速度成正比

　　　C.线速度一定，角速度与半径成正比

　　　D.角速度一定，线速度与半径成反比

2.时针、分针和秒针转动时，下列正确说法是[　　]

　　　A.秒针的角速度是分针的60倍

　　　B.分针的角速度是时针的60倍

　　　C.秒针的角速度是时针的360倍

　　　D.秒针的角速度是时针的86400倍

3.物体做匀速圆周运动的条件是[　　]

　　　A.物体有一定的初速度，且受到一个始终和初速度垂直的恒力作用

　　　B.物体有一定的初速度，且受到一个大小不变，方向变化的力的作用

　　　C.物体有一定的初速度，且受到一个方向始终指向圆心的力的作用

　　　D.物体有一定的初速度，且受到一个大小不变方向始终跟速度垂直的力的作用

4.如图1所示，用细线吊着一个质量为m的小球，使小球在水平面内做圆锥摆运动，关于小球受力，正确的是[　　]

　　　A.受重力、拉力、向心力

　　　B.受重力、拉力

　　　C.受重力

　　　D.以上说法都不正确

5、做匀速圆周运动的物体，当质量增大到2倍，周期减小到一半时，其向心力大小是原来的______倍，当质量不变，线速度大小不变，角速度大小增大到2倍时，其向心力大小是原来的______倍。

6、一物体在水平面内沿半径R=20cm的圆形轨道做匀速圆周运动，线速度V=0.2m/s，那么，它的向心加速度为______m/S2，它的角速度为_______rad/s，它的周期为______s。

　　7、线段OB=AB，A、B两球质量相等，它们绕O点在光滑的水平面上以相同的角速度转动时，如图4所示，两段线拉力之比TAB：

TOB＝______。

　　8.如图5所示，A、B两轮半径之比为1：

3，两轮边缘挤压在一起，在两轮转动中，接触点不存在打滑的现象，则两轮边缘的线速度大小之比等于______。

两轮的转数之比等于______，A轮半径中点与B轮边缘的角速度大小之比等于______。

9、如图6所示，一质量为0.5kg的小球，用0.4m长的细线拴住在竖直面内作圆周运动，求：

（1）当小球在圆上最高点速度为4m/s时，细线的拉力是多少？

拉力是多少？

（g=10m/s2）

课后练习答案

1..B

2..A3..D4.B5.8、2

6.0.2、1、2π

7.2∶3　　8.1∶1、3∶1、3∶1

9.15N、45N