人教版九年级上册数学《一元二次方程》单元练习题.docx

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人教版九年级上册数学《一元二次方程》单元练习题

《一元二次方程》单元练习题

一．选择题（共12小题）

1．已知方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0的两实根的平方和等于11，k的取值是（　　）

A．﹣3或1B．﹣3C．1D．3

2．若一元二次方程2x2﹣6x+3＝0的两根为α、β，那么（α﹣β）2的值是（　　）

A．15B．﹣3

C．3D．以上答案都不对

3．某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了x%，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x%，则第三季度的产值比第一季度的产值增长了（　　）

A．2x%B．1+2x%C．（1+x%）x%D．（2+x%）x%

4．方程x2﹣5x＝0的解是（　　）

A．x1＝0，x2＝﹣5B．x＝5C．x1＝0，x2＝5D．x＝0

5．已知方程a3﹣5a2+3a＝0三个根分别为a1，a2，a3，则计算a1（a2+a3）+a2（a1+a3）+a3（a1+a2）的值是（　　）

A．﹣5B．6C．﹣6D．3

6．已知a、b、c是△ABC三边的长，则方程ax2+（b+c）x+

＝0的根的情况为（　　）

A．没有实数根

B．有两个相等的正实数根

C．有两个不相等的负实数根

D．有两个异号的实数根

7．若关于x的一元二次方程2x2﹣2x+3m﹣1＝0的两个实数根x1，x2，且x1•x2＞x1+x2﹣4，则实数m的取值范围是（　　）

A．m＞

B．m≤

C．m＜

D．

＜m≤

8．定义：

如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a+b+c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2+bx+c＝0（a≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（　　）

A．a＝cB．a＝bC．b＝cD．a＝b＝c

9．一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都是x，根据题意，下面列出的方程正确的是（　　）

A．100（1+x）＝121B．100（1﹣x）＝121

C．100（1+x）2＝121D．100（1﹣x）2＝121

10．如图，若将图1正方形剪成四块，恰能拼成图2的矩形，设a＝1，则b＝（　　）

A．

B．

C．

D．

11．已知三角形的两边长为4和5，第三边的长是方程x2﹣5x+6＝0的一个根，则这个三角形的周长是（　　）

A．11B．12C．11或12D．15

12．阅读材料：

设一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1、x2，则两根与方程系数之间有如下关系：

x1+x2＝﹣

，x1•x2＝

，请根据该阅读材料计算：

已知x1、x2是方程x2+6x+3＝0的两实数根，则

+

的值为（　　）

A．10B．8C．6D．4

二．填空题（共7小题）

13．若一个三角形的三边长均满足方程x2﹣6x+8＝0，则此三角形的周长为　　．

14．刘谦的魔术表演风靡全国，小明也学起了刘谦，发明了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数a2﹣2b+3，例如：

把（﹣3，2）放入其中，就会得到（﹣3）2﹣2×2+3＝8．现将实数对（m，﹣2m）（m＜0）放入其中，得到实数24，则m＝　　．

15．为落实素质教育要求，促进学生全面发展，某市某中学2009年投资11万元新增一批电脑，计划以后每年以相同的增长率进行投资，2011年投资18.59万元．则该学校为新增电脑投资的年平均增长率是　　，从2009年到2011年，该中学三年为新增电脑共投资　　万元．

16．某超市今年三月份的营业额为100万元，五月份的营业额为121万元，则四、五两个月每月的平均增长率是　　%．

17．方程x2﹣|x|﹣1＝0的根是　　．

18．为落实“两免一补”政策，某市2011年投入教育经费2500万元，预计2013年要投入教育经费3600万元．已知2011年至2013年的教育经费投入以相同的百分率逐年增长，则2012年该市要投入的教育经费为　　万元．

19．阅读材料：

设一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为x1，x2，则两根与方程系数之间有如下关系式x1+x2＝﹣

，x1•x2＝

根据该材料填空，已知x1，x2是方程x2+3x+1＝0的两实数根，则

的值为　　．

三．解答题（共6题）

20．用适当的方法解下列方程．

（1）（x﹣3）2＝2（x﹣3）；

（2）9x2﹣3＝22；

（3）x2﹣6x﹣98＝0；

（4）3x2﹣1＝2x+2；

（5）（3m+2）2﹣7（3m+2）+10＝0．

21．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2＝0，

（1）当m取什么值时，原方程没有实数根；

（2）对m选取一个合适的非零整数，使原方程有两个实数根，并求这两个实数根的平方和．

22．如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动．

（1）P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2；

（2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是10cm．

23．如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向C点以2cm/s的速度移动．

（1）如果点P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒钟后，△PBQ的面积等于8cm2；

（2）如果点P，Q分别从A，B同时出发，并且点P到B点后又继续在BC边上前进，点Q到点C后又继续在CA边上前进，则经过几秒钟后，△PCQ的面积等于12.6cm2．

24．某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元．求3月份到5月份营业额的月平均增长率．

25．甲乙两件服装的进价共500元，商场决定将甲服装按30%的利润定价，乙服装按20%的利润定价，实际出售时，两件服装均按9折出售，商场卖出这两件服装共获利67元．

（1）求甲乙两件服装的进价各是多少元；

（2）由于乙服装畅销，制衣厂经过两次上调价格后，使乙服装每件的进价达到242元，求每件乙服装进价的平均增长率；

（3）若乙服装每件的进价为242元，商场把乙服装按8折出售．问标价至少为多少时，销售乙服装才不亏本？

（结果取整数）

参考答案

一．选择题

1．解：

∵方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0有两实根

∴△≥0，

即（2k+1）2﹣4（k2﹣2）＝4k+9≥0，

解得k≥

，

设原方程的两根为α、β，

则α+β＝﹣（2k+1），αβ＝k2﹣2，

∴α2+β2＝α2+β2+2αβ﹣2αβ＝（α+β）2﹣2αβ＝[﹣（2k+1）]2﹣2（k2﹣2）＝2k2+4k+5＝11，

即k2+2k﹣3＝0，

解得k＝1或k＝﹣3，

∵k≥

，∴k＝﹣3舍去，

∴k＝1．

故选：

C．

2．解：

由题意，得：

α+β＝3，αβ＝

；

∴（α﹣β）2＝（α+β）2﹣4αβ＝9﹣6＝3；

故选：

C．

3．解：

第三季度的产值比第一季度的增长了（1+x%）×（1+x%）﹣1＝（2+x%）x%．

故选：

D．

4．解：

直接因式分解得x（x﹣5）＝0，

解得x1＝0，x2＝5．

故选：

C．

5．解：

解方程a3﹣5a2+3a＝0，得a（a2﹣5a+3）＝0，

令a1＝0，则a2，a3是一元二次方程a2﹣5a+3＝0的两个根，

∴a2a3＝3，a2+a3＝5

∴a1（a2+a3）+a2（a1+a3）+a3（a1+a2）＝0+a2a3+a2a3＝2a2a3＝6．

故选：

B．

6．解：

△＝b2﹣4ac＝（b+c）2﹣4×a×

＝（b+c）2﹣a2＝（a+b+c）（b+c﹣a）

∵三角形两边之和大于第三边，

∴a+b+c＞0，b+c﹣a＞0

∴△＝（a+b+c）（b+c﹣a）＞0

∴有两个不相等的实数根

根据一元二次方程根与系数的关系可得：

两根的积是

＝

＞0，则两个根一定同号；

两根的和是﹣

＜0

∴方程的两根都是负数．

故方程有两个不相等的负根．

故选：

C．

7．解：

依题意得x1+x2＝

＝1，x1•x2＝

＝

，

而x1•x2＞x1+x2﹣4，

∴

＞﹣3，

得m＞

；

又一元二次方程2x2﹣2x+3m﹣1＝0的有两个实数根，

∴△＝b2﹣4ac≥0，

即4﹣4×2×（3m﹣1）≥0，

解可得m≤

．

∴

＜m≤

．

故选：

D．

8．解：

∵一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个相等的实数根，

∴△＝b2﹣4ac＝0，

又a+b+c＝0，即b＝﹣a﹣c，

代入b2﹣4ac＝0得（﹣a﹣c）2﹣4ac＝0，

即（a+c）2﹣4ac＝a2+2ac+c2﹣4ac＝a2﹣2ac+c2＝（a﹣c）2＝0，

∴a＝c．

故选：

A．

9．解：

设平均每次提价的百分率为x，

根据题意得：

100（1+x）2＝121，

故选：

C．

10．解：

依题意得（a+b）2＝b（b+a+b），

而a＝1，

∴b2﹣b﹣1＝0，

∴b＝

，而b不能为负，

∴b＝

．

故选：

B．

11．解：

x2﹣5x+6＝0，

（x﹣2）（x﹣3）＝0，

x﹣2＝0，x﹣3＝0，

x1＝2，x2＝3，

根据三角形的三边关系定理，第三边是2或3都行，

①当第三边是2时，三角形的周长为2+4+5＝11；

②

当第三边是3时，三角形的周长为3+4+5＝12；

故选：

C．

12．解：

∵x1+x2＝﹣

，x1•x2＝

，

∴在方程x2+6x+3＝0中，x1+x2＝﹣6，x1•x2＝3，

∴

+

＝

＝

＝

＝10．

故选：

A．

二．填空题（共7小题）

13．解：

解方程x2﹣6x+8＝0得x1＝4，x2＝2；

当4为腰，2为底时，4﹣2＜4＜4+2，能构成等腰三角形，周长为4+2+4＝10；

当2为腰，4为底时4﹣2＝2＜4+2不能构成三角形，

当等腰三角形的三边分别都为4，或者都为2时，构成等边三角形，周长分别为6，12，故△ABC的周长是6或10或12．

14．解：

把实数对（m，﹣2m）代入a2﹣2b+3，得到实数24，

可得m2+4m+3＝24，

移项得m2+4m﹣21＝0，

因式分解得（m﹣3）（m+7）＝0，

解得m＝3（不合题意舍去）或﹣7．

故答案为：

﹣7．

15．解：

设该学校为新增电脑投资的年平均增长率是x．

11（1+x）2＝18.59

x＝30%

则该学校为新增电脑投资的年平均增长率是30%．

11×（1+30%）＝14.3万元．

11+14.3+18.59＝43.89万元．

故答案为：

30%；43.89．

16．解：

设四、五两个月每月的平均增长率是x．

根据题意得：

100（1+x）2＝121，

解得x1＝0.1；x2＝﹣2.1（不合理舍去）．

故四、五两个月每月的平均增长率是10%．

17．解：

当x＞0时，方程x2﹣x﹣1＝0；

∴x＝

；

当x＜0时，方程x2+x﹣1＝0；

∴x＝

，

∴x＝

；

故答案为

或

．

18．解：

根据题意2012年为2500（1+x），2013年为2500（1+x）（1+x）．

则2500（1+x）（1+x）＝3600，

解得x＝0.2或x＝﹣2.2（不合题意舍去）．

故这两年投入教育经费的平均增长率为20%，2012年该市要投入的教育经费为：

2500（1+20%）＝3000万元．

故答案为：

3000．

19．解：

∵x1，x2是方程x2+3x+1＝0的两个实数根，

∴x1+x2＝﹣3，x1x2＝1．

∴

＝

＝

＝7．

故答案为：

7．

三．解答题（共6小题）

20．解：

（1）∵（x﹣3）2﹣2（x﹣3）＝0，

∴（x﹣3）（x﹣5）＝0，

则x﹣3＝0或x﹣5＝0，

解得x＝3或x＝5；

（2）∵9x2＝25，

∴x2＝

，

则x＝±

；

（3）∵x2﹣6x＝98，

∴x2﹣6x+9＝98+9，即（x﹣3）2＝107，

则x﹣3＝±

，

∴x＝3±

；

（4）∵3x2﹣2x﹣3＝0，

∴a＝3，b＝﹣2，c＝﹣3，

则△＝（﹣2）2﹣4×3×（﹣3）＝40＞0，

∴x＝

＝

；

（5）∵（3m+2）2﹣7（3m+2）+10＝0，

∴（3m+2﹣2）（3m+2﹣5）＝0，

∴3m+2﹣2＝0或3m+2﹣5＝0，

解得m＝0或m＝1．

21．解：

（1）∵方程没有实数根

∴b2﹣4ac＝[﹣2（m+1）]2﹣4m2＝8m+4＜0，

∴

，

∴当

时，原方程没有实数根；

（2）由

（1）可知，

时，方程有实数根，

∴当m＝1时，原方程变为x2﹣4x+1＝0，

设此时方程的两根分别为x1，x2，

则x1+x2＝4，x1•x2＝1，

∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝16﹣2＝14，

∴当m＝1时，原方程有两个实数根，这两个实数根的平方和是14．

22．解：

（1）设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形PBCQ的面积为33cm2，

则PB＝（16﹣3x）cm，QC＝2xcm，

根据梯形的面积公式得

（16﹣3x+2x）×6＝33，

解之得x＝5，

（2）设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是10cm，

作QE⊥AB，垂足为E，

则QE＝AD＝6，PQ＝10，

∵PA＝3t，CQ＝BE＝2t，

∴PE＝AB﹣AP﹣BE＝|16﹣5t|，

由勾股定理，得（16﹣5t）2+62＝102，

解得t1＝4.8，t2＝1.6．

答：

（1）P、Q两点从出发开始到5秒时四边形PBCQ的面积为33cm2；

（2）从出发到1.6秒或4.8秒时，点P和点Q的距离是10cm．

23．解：

（1）设经过x秒后，△PBQ的面积等于8cm2．

×（6﹣x）×2x＝8，

解得x1＝2x2＝4，

答：

经过2或4秒后，△PBQ的面积等于8cm2．

（2）设经过y秒后，△PCQ的面积等于12.6cm2．

①0＜y≤4（Q在BC上，P在AB上）时，如图：

（1）连接PC，

则CQ＝8﹣2y，PB＝6﹣y，

∵S△PQC＝

CQ×PB，

∴

×（8﹣2y）×（6﹣y）＝12.6，

解得y1＝5+

＞4（不合题意，舍去），y2＝5﹣

；

②4＜y≤6（Q在CA上，P在AB上），如图

（2）

过点P作PM⊥AC，交AC于点M，

由题意可知CQ＝2y﹣8，AP＝y，

在直角三角形ABC中，sinA＝

＝

，

在直角三角形APM中，sinA＝

，

即

＝

，

∴PM＝

y，

∵S△PCQ＝

CQ×PM，

∴

×（2y﹣8）×

y＝12.6，

解得y1＝2+

＞6（舍去），y2＝2﹣

＜0（负值舍去）；

③6＜y≤9（Q在CA上，P在BC上），如图（3），

过点Q作QD⊥BC，交BC于点D，

∵∠B＝90°，

∴QD∥AB，

∴

，即

＝

，

∴QD＝

，

∵S△CQP＝

×CP×QD，

∴

×（14﹣y）×

＝12.6

解得：

y1＝7，y2＝11（不合题意，舍去）

答：

当（5﹣

）秒或7秒后，△PCQ的面积等于12.6cm2

24．解：

设3月份到5月份营业额的月平均增长率为x，

根据题意得，400×（1+10%）（1+x）2＝633.6，

解得，x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意舍去）．

答：

3月份到5月份营业额的月平均增长率为20%．

25．解：

（1）设甲服装的进价为x元，则乙服装的进价为（500﹣x）元，

根据题意得：

90%•（1+30%）x+90%•（1+20%）（500﹣x）﹣500＝67，

解得：

x＝300，

500﹣x＝200．

答：

甲服装的进价为300元、乙服装的进价为200元．

（2）∵乙服装的进价为200元，经过两次上调价格后，使乙服装每件的进价达到242元，

∴设每件乙服装进价的平均增长率为y，

则200（1+y）2＝242，

解得：

y1＝0.1＝10%，y2＝﹣2.1（不合题意舍去）．

答：

每件乙服装进价的平均增长率为10%；

（3）设每件乙衣服的标价为m圆，则0.8m﹣242≥0，

解得：

m≥302.5，

∵结果取整数，

∴乙衣服的标价至少为303元，才不亏本．