高考文科数学基础知识巩固强化练习试题25.docx
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高考文科数学基础知识巩固强化练习试题25
25 空间几何体
小题基础练
一、选择题
1．以下命题：
①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．
其中正确命题的个数为（ ）
A．0B．1
C．2D．3
答案：
B
解析：
命题①错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥；命题②错，因为这条腰必须是垂直于两底的腰；命题③对；命题④错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可以．故选B.
2．[2019·江西临川二中、新余四中联考]用斜二测画法画出一个水平放置的平面图形的直观图，为如图所示的一个正方形，则原来的图形是（ ）
答案：
A
解析：
由题意知直观图是边长为1的正方形，对角线长为，所以原图形为平行四边形，且位于y轴上的对角线长为2.
3．[2018·全国卷Ⅲ]中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ）
答案：
A
解析：
由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示，由直观图可知其俯视图应选A.
4．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点（如右图所示），用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的正视图为（ ）
答案：
C
解析：
过点A，E，C1的平面与棱DD1，相交于点F，且F是棱DD1的中点，截去正方体的上半部分，剩余几何体的直观图如下图所示，则其正视图应为选项C.
5．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A．3B.
C．7D.
答案：
B
解析：
由三视图可知该几何体是由一个长方体切去一个三棱锥所得，长方体的长、宽、高分别为2,1,2，体积为2×1×2＝4，切去的三棱锥的体积为××1×2×1＝，所以该几何体的体积为4－＝.
6．[2019·淮北月考]一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（ ）
A．21＋B．18＋
C．21D．18
答案：
A
解析：
由几何体的三视图可知，该几何体的直观图如图所示，因此该几何体的表面积为6×＋2××（）2＝21＋.故选A.
7．[2018·北京卷]某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（ ）
A．1B．2
C．3D．4
答案：
C
解析：
由三视图得到空间几何体，如图所示，
则PA⊥平面ABCD，平面ABCD为直角梯形，PA＝AB＝AD＝2，BC＝1，所以PA⊥AD，PA⊥AB，PA⊥BC.又BC⊥AB，AB∩PA＝A，所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB.在△PCD中，PD＝2，PC＝3，CD＝，所以△PCD为锐角三角形．所以侧面中的直角三角形为△PAB，△PAD，△PBC，共3个．
故选C.
8．[2019·四川成都七中二诊]一个棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的体积是（ ）
A．9πB.
C．36πD．18π
答案：
B
解析：
由三视图可知，棱锥为三棱锥，放在长方体中，为如图所示的三棱锥A－BCD.该三棱锥的外接球就是长方体的外接球，外接球的直径等于长方体的体对角线的长，所以球的半径R＝×＝，则外接球的体积V＝π×3＝.故选B.
二、非选择题
9．已知在梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体的表面积为________．
答案：
（5＋）π
解析：
由题意得几何体如图所示，旋转体是底面半径为1，高为2的圆柱挖去一个底面半径为1，高为1的圆锥，所以几何体的表面积为一个圆柱底面与圆柱侧面、圆锥侧面之和，即π×12＋2π×1×2＋π×1×＝（5＋）π.
10．[2019·天津滨海新区七所重点学校联考]一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．
答案：
4＋6π
解析：
由三视图可知，几何体由半个圆柱和一个三棱锥的组合体，故体积为π×22×3＋××4×2×3＝4＋6π.
11．如图是一个几何体的三视图，若其正视图的面积等于8cm2，俯视图是一个面积为4cm2的正三角形，则其侧视图的面积等于________．
答案：
4cm2
解析：
易知三视图所对应的几何体为正三棱柱，设其底面边长为a，高为h，则其正视图的长为a，宽为h，故其面积为S1＝ah＝8；①
而俯视图是一个底面边长为a的正三角形，其面积为S2＝a2＝4.②
由②得a＝4，代入①得h＝2.
侧视图是一个长为a，宽为h的矩形，其面积为S3＝ah＝4（cm2）．
12．[2019·贵州遵义模拟]已知边长为的正三角形的三个顶点都在球O的表面上，且球心O到平面ABC的距离为该球半径的一半，则该球的表面积为________．
答案：
解析：
如图，设OO′⊥平面ABC，垂足是点O′.设球的半径为r.∵边长为的正三角形ABC的三个顶点都在球O的表面上，且球心O到平面ABC的距离为该球半径的
一半，∴AO′＝××＝1，OA＝r，OO′＝r.
∵OA2＝O′A＋OO′2，即r2＝1＋，解得r2＝，∴球O的表面积S＝4πr2＝.
课时增分练
一、选择题
1．[2019·四川资阳联考]给出下列几个命题，其中正确命题的个数是（ ）
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②底面为正多边形，且有相邻的两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等；④若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱．
A．0B．1
C．2D．3
答案：
B
解析：
①错误，只有这两点的连线平行于轴线时才是母线；②正确；③错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等；④平行六面体的两个相对侧面也可能与底面垂直且互相平行，故④不正确．故选B.
2．[2019·福州适应性测试]在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（ ）
答案：
D
解析：
由俯视图和正视图可知，该几何体可看成是由一个半圆锥和一个三棱锥组合而成的，且三棱锥的一个面恰为半圆锥的最大轴截面，故相应的侧视图可以为选项D.
3．[2019·保定模拟]一只蚂蚁从正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到顶点C1的位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是（ ）
A．①②B．①③
C．③④D．②④
答案：
D
解析：
蚂蚁由点A经正方体的表面，按最短路线爬行到顶点C1的位置，若把平面BCC1B1展开到与平面ABB1A1在同一个平面内，在矩形中连接AC1，会经过BB1的中点，故此时的正视图为②.若把平面ABCD展开到与平面CDD1C1在同一个平面内，在矩形中连接AC1，会经过CD的中点，此时正视图为④.其他几种展形方式对应的正视图在题中没有出现或者已在②④中了．故选D.
4．[2019·黑龙江哈尔滨三中模拟]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A．4B．2
C.D.
答案：
D
解析：
由三视图可知，几何体为三棱锥，底面为腰长为2的等腰直角三角形，高为1，则该几何体的体积为××2×2×1＝.故选D.
5．[2019·宁夏吴忠联考]某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的x是（ ）
A．2B．4.5
C．1.5D．3
答案：
C
解析：
由三视图可知，几何体为四棱锥，其底面为直角梯形，面积S＝×（1＋2）×2＝3.由该几何体的体积V＝×3x＝，解得x＝1.5.故选C.
6．[2018·全国卷Ⅲ]设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥DABC体积的最大值为（ ）
A．12B．18
C．24D．54
答案：
B
解析：
由等边△ABC的面积为9可得AB2＝9，所以AB＝6，
所以等边△ABC的外接圆的半径为r＝AB＝2.
设球的半径为R，球心到等边△ABC的外接圆圆心的距离为d，则d＝＝＝2.
所以三棱锥DABC高的最大值为2＋4＝6，
所以三棱锥DABC体积的最大值为×9×6＝18.故选B.
7．[2019·安徽马鞍山模拟]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）
A．25πB．26π
C．32πD．36π
答案：
C
解析：
由三视图可知，该几何体是以俯视图的图形为底面，一条侧棱与底面垂直的三棱锥．如图，三棱锥A－BCD即为该几何体，且AB＝BD＝4，CD＝2，BC＝2，则BD2＝BC2＋CD2，即∠BCD＝90°.故底面外接圆的直径2r＝BD＝4.
易知AD为三棱锥A－BCD的外接球的直径．设球的半径为R，则由勾股定理得4R2＝AB2＋4r2＝32，故该几何体的外接球的表面积为4πR2＝32π.故选C.
8．[2019·长春质量监测
（一）]《九章算术》卷五商功中有如下问题：
今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何？
刍甍：
底面为矩形的屋脊状的几何体（网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1），那么该刍甍的体积为（ ）
A．4B．5
C．6D．12
答案：
B
解析：
如图，由三视图可还原得几何体ABCDEF，过E，F分别作垂直于底面的截面EGH和FMN，将原几何体拆分成两个底面积为3，高为1的四棱锥和一个底面积为，高为2的三棱柱，所以VABCDEF＝2V四棱锥E－ADHG＋V三棱柱EHG－FNM＝2××3×1＋×2＝5，故选B.
二、非选择题
9．[2019·福建莆田九中模拟]在直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱长为2，在底面△ABC中，C＝60°，AB＝，则此直三棱柱的外接球的表面积为________．
答案：
16π
解析：
由题意可知，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面△ABC的外接圆的半径R＝×＝1.两个底面中心的连线的中点与顶点的连线就是球的半径，外接球的半径为＝2，外接球的表面积为4π×22＝16π.
10．[2018·全国卷Ⅱ]已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45°，若△SAB的面积为5，则该圆锥的侧面积为________．
答案：
40π
解析：
如图，∵SA与底面成45°角，
∴△SAO为等腰直角三角形．
设OA＝r，则SO＝r，SA＝SB＝r.
在△SAB中，cos∠ASB＝，
∴sin∠ASB＝，
∴S△SAB＝SA·SB·sin∠ASB
＝（r）2·＝5，
解得r＝2，
∴SA＝r＝4，即母线长l＝4，
∴S圆锥侧＝πr·l＝π×2×4＝40π.
11.
如图所示，四边形A′B′C′D′是一平面图形的水平放置的斜二测画法的直观图，在斜二测直观图中，四边形A′B′C′D是一直角梯形，A′B′∥C′D′，A′D′⊥C′D′，且B′C′与y′轴平行，若A′B′＝6，D′C′＝4，A′D′＝2.求这个平面图形的实际面积．
解析：
根据斜二测直观图画法规则可知，
该平面图形是直角梯形，且AB＝6，CD＝4保持不变．
由于C′B′＝A′D′＝2.所以CB＝4.
故平面图形的实际面积为×（6＋4）×4＝20.
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