数学建模买房问题.docx

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数学建模买房问题

呼伦贝尔学院

HulunbeierUniversity

数学建模竞赛论文

论文题目:

租房还是买房

姓名1：

学号：

专业:

姓名2:

学号：

专业：

姓名3：

学号：

专业：

2011年5月8日

2011年呼伦贝尔学院数学建模竞赛

承诺书

我们仔细阅读了呼伦贝尔学院数学建模的竞赛规则。

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题.

我们知道,抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性.如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B中选择一项填写）:

租房还是买房

所属学院（请填写完整的全名）：

参赛队员（打印并签名）：

1.

2.

3.

日期：

2011年5月9日

评阅编号（由组委会评阅前进行编号）:

2011年呼伦贝尔学院数学建模竞赛

编号专用页

评阅编号（由组委会评阅前进行编号）：

赛区初评记录（可供评阅时使用）:

评

阅

人

总

评

分

评

分

备

注

复评结果：

租房还是买房

一、摘要

我国房地产自20世纪末走出低谷以来，其迅猛发展的势头备受世人瞩目，不仅作为国民经济的支柱产业而对国家宏观经济运行产生巨大影响，而且更与广大百姓的自身利益息息相关。

住房问题关系国计民生，既是经济问题，更是影响社会稳定的重要民生问题.从住房制度改革以来短短几年时间，中国大地上几乎所有城市房产如雨后春笋般拔地而起。

随着我国房地产市场不断升温，由于我国的法制不健全，尤其是金融以及改革领域里出现了各种失误导致房价过高，上涨过快.随着外来人口向大城市集中，租金也大幅度增加。

5月31日，央行公布的第一季度货币政策执行报告显示：

北京居民房贷月供收入比（借款人住房贷款的月房产支出与收入之比）为42%，仅次于上海的45％而排名第二。

6月1日《新京报》报道，在北京、上海等10个大城市中，62％的借款人在买房置业时没有考虑过租房,其中北京高达90%.置业用途中自住、空置、出租的比例为84∶10∶6。

这一调查结果至少说明三个问题:

目前北京市居民房贷月供比例偏高，也就是目前的房价相对收入来说偏高；在北京租房的价格也很高，因此居民90％不考虑租房；置业后空置比例高于出租比例，说明房价增值快，而持有房屋的成本低,因此很多业主对房租收入不太关心。

买房还是租房，这是个困扰很多人的问题。

从租售比的角度看，北京、上海等大城市的房价过高,存在泡沫，因此目前应该租房.但是，从投资的角度看，很多人认为房产从长期看是升值的，是投资，而房租却是消费,因此应该买房。

买房的主要收入是房租和房产升值，主要成本是按揭的债务成本和投入的本金的机会成本，外加房屋持有成本.租房的主要收入是省下来的买房首付款加上每月房租低于按揭款部分的投资收益，主要成本就是房租.把每年的收益/支出按通货膨胀率进行折现,就可以算出买房和租房的回报净现值。

当这两个净现值相等时，买房与租房没有区别。

论文以租房还是买房作为主要对象,通过买房和租房的回报净现值的分析,利用线性规划中的单变量求解找到了买房和租房的回报净现值相等的情况，绘制了一条曲线.

对房产升值与租售比进行作图比较，研究房价与租金的关系，并展开讨论、分析和建立数学模型，利用数学软件进行求解.并在结果分析中做出了具体而又详实的分析。

使它们之间的关系更为明晰。

根据市场房屋价格的变化情况，综合考虑家庭收入、租金收入、储蓄及贷款利率、房屋折旧率、房屋空置率等因素，建立数学模型，为家庭进行住房投资做出决策。

关键词：

租金房产升值净现值租售比线性规划房屋空置率

二、问题重述

1。

1问题背景

住房问题关系国计民生,既是经济问题，更是影响社会稳定的重要民生问题。

随着现在经济的快速发展,买房还是租房，这是个困扰很多人的问题。

从租售比的角度看，北京、上海等大城市的房价过高，存在泡沫，因此目前应该租房。

但是,从投资的角度看，很多人认为房产从长期看是升值的，是投资，而房租却是消费，因此应该买房。

那么到底应该买房还是租房呢？

根据市场房屋价格的变化情况，综合考虑家庭收入、租金收入、储蓄及贷款利率、房屋折旧率、房屋空置率等因素，通过买房和租房的回报净现值的分析，利用线性规划中的单变量求解找到了买房和租房的回报净现值相等的情况，绘制了一条曲线.建立数学模型,利用Matlap数学软件得出最优解,为家庭进行住房投资做出决策.

1.2问题假设

通过市场分析找出影响房价的主要原因，并建立一个城市房价的数学模型，对房价的形成和房地产投机进行深入细致的分析。

对房产升值与租售比进行作图比较，研究房价与租金的关系。

三．符号说明

P：

房价（元/平方米）

p1：

理想房价（元/平方米）

A：

地价（元/平方米）

B：

建安造价（元/平方米）

σ1：

税率（％）

p：

房租

q：

银行按揭

x：

还亲戚借款

y：

差额

k：

房租增长幅度7％

四、模型假设

假设一、房地产产品具有一定的生产周期

假设二、银行贷款利率二十年维持不变。

假设三、房租价格以每年7％的幅度增长.

假设四、供需平衡指：

供应量=需求量

假设五、北京的房产升值速度应该不低于8％左右

假设六、需求量受到本周期的实际房价的影响。

五、问题分析

问题①分析：

本问是要求我们通过分析相关数据，找出影响房价的主要原因,然后根据这些因素建立一个城市房价的数学模型。

同时，根据得出的结论深入细致的分析房价形成、演化机理和房地产投机。

针对本问，我们利用了网络等相关资源，查找各主导因素间的变化关系,确立变量，从而建立模型。

首先，我们可以确定的是房地产业红火发展的关键是社会经济的各项指标综合决定的,社会经济指标的发展是地产业持续发展的推动力。

由此，我们分析相关数据的目的是要得出几条对房地产业影响较大的社会经济指标,从而为继续研究奠定好基石。

我们知道，要去逐一分析每一种经济因素是不可能办到的,只能抓住主要因素去着重分析。

所以我们经互联网搜索及查阅相关资料，大致得出以下几条对房价的影响产生主导作用的因素:

建安成本，市场供求变化，土地成本、各种税费以及当地居民人均收入等.然而，针对本问,虽然我们从相关资料中获取了大量数据，但从实际出发来看这些数据只能作为理论支撑的基础，模型并不是只针对某一个城市，而是具有普遍用途，这样才能完美的达到本题的目的所在通过分析我们知道以下几个关系，成本决定理想价格；理想价格和房价决定需求量；理想价格和地产商的预测价格决定了供应量;需求量和供应量又共同决定了房价.那么首先我们来求理想房价p1，根据理想房价的求法得出其表达式

P1=（1+σ1）＊（A+B）……………①

令1+σ1=a（1+σ1）*B=b，a和b均不为正常数，则可得：

P1=b+a*A…………………………②

从公式①和②中可以看出，地价与理想房价之间为线性正相关关系,同时地价与理想房价之间影响的程度因建安成本、税率和容积率的不同而不同，再者我们可以笼统地说理想房价就是成本费用的具体体现，根据假设，成本不变，所以理想房价也不变。

问题②分析：

首先，我们找到了北京市2009年有关房价、房屋租金的一些数据，根据题目，我们将用matlab软件对相关数据进行拟合,对房价与房屋租金建立相关关系，结合其所得结果与现实情况加以分析.买房的主要收入是房租和房产升值，主要成本是按揭的债务成本和投入的本金的机会成本,外加房屋持有成本。

租房的主要收入是省下来的买房首付款加上每月房租低于按揭款部分的投资收益,主要成本就是房租。

把每年的收益/支出按通货膨胀率进行折现，就可以算出买房和租房的回报净现值。

当这两个净现值相等时，买房与租房没有区别

　　通过这个模型,我发现买房与租房的关系与两个参数相关：

租售比和房产升值速度.当房产升值速度很快时，即使是租售比很高，如达到1:

30左右,买房也比租房值.而如果房产升值的速度很低,甚至是负值时，只有租售比很低,买房才划算。

六、模型建立

问题①模型建立：

北京这套房子的基本情况：

1、房价：

每平米12000；楼层：

20层；面积：

45平米；契税：

16200；房屋维修基金：

10800；装修及家具电器款:

43000；合计：

61万。

2、首付款金额：

20万；来源：

亲戚借款；约定年利率：

6%（银行同期贷款利率为5。

94％）；利息滚动方式:

年复利；还款方式：

第1年—第十年不支付任何本息，第11年-第20年每月支付2000，第21年年初一次性支付520648。

3、银行贷款金额:

41万；年利率:

同期银行贷款利率的七折，即5。

94%*0.7=4.158%；利息滚动方式:

月复利;贷款年限:

30年;还款方式:

每月等额还款1994元。

4、房子现时租赁价格:

每年24000元（水电物业等杂费由承租方另外支付）。

问题②模型建立：

我建立了一个模型来计算为期20年的买房和租房的回报净现值。

表一：

通货膨胀率

3。

00%

房屋持有成本/房租

20.00%

首付比例

20。

00%

按揭贷款利率

6.00％

自有资金投资回报率

3.00%

七、模型求解

问题①模型求解:

第一年：

房租24000，银行按揭1994＊12=23928，还亲戚借款0，差额24000-23928=72

第二年:

房租24000＊1.07=25680,银行按揭23928，还亲戚借款0,差额1752

第三年:

房租27477。

6，银行按揭23928，还亲戚借款0,差额3549。

6

第四年:

房租29401。

03,银行按揭23928，还亲戚借款0，差额5473。

03

第五年：

房租31459。

10,银行按揭23928，还亲戚借款0，差额7531.10

第六年：

房租33661。

24，银行按揭23928，还亲戚借款0，差额9733.24

.。

。

第十一年：

房租47211。

57，银行按揭23928，还亲戚借款24000，差额-716。

43

第十二年：

房租50516。

38,银行按揭23928，还亲戚借款24000,差额2588。

38

第十三年：

房租54052。

53，银行按揭23928，还亲戚借款24000，差额6124。

53

。

。

。

第二十年:

房租86796。

55,银行按揭23928，还亲戚款24000，差额38868.55

二十年房租合计：

983891。

81，银行按揭还款合计478560，还亲戚借款支出240000，净赚983891.81—478560—240000=265331。

81

问题②模型求解：

通过这个模型，我发现买房与租房的关系与两个参数相关:

租售比和房产升值速度。

我利用线性规划中的单变量求解找到了买房和租房的回报净现值相等的情况，绘制了一条曲线。

图一：

八、结果分析

问题①结果分析：

第21年年初,卖掉房子收入100万，一次性还清银行剩余贷款195586，并按约定一次性支付给亲戚520648，净赚1000000-195586—520648=283766。

加上前面二十年用房租抵按揭净赚的265331.81,净赚283766+265331.81=549097.81。

如果说2030年一套二手单身公寓只能卖100万，那么这549097。

81就完全足够买一部跑车了.

问题②结果分析:

　可以看出，即使未来20年房产不升值,在1：

15的租售比情况下买房与租房差不多.而北京目前1:

45的租售比意味着未来20年房产升值速度要达到平均每年8％，买房才与租房差不多。

如果升值速度低于8%，那么还是租房更合算。

而当年东京1:

60的租售比意味着未来20年房产升值速度要达到9.5%以上，买房才比租房值。

　　有了这条曲线，就可以非常容易的判断该买房还是租房。

如果你预计未来20年房产升值速度为3％左右，那么在1:

21或更低的租售比情况下才应该买房。

如果你比较保守，认为未来20年房产升值速度为零,那么在1：

15或者更低的租售比情况下才应该买房.而如果你对未来非常看好，认为未来20年房产升值速度能达到平均每年11%以上,那么1：

120的租售比也不算贵

九、模型的优缺点

模型的优点：

本模型综合采用了多种尽可能成熟的方法和经典理论，如多目标的规划，线性规划等。

这些方法久经考验,可信度十分高.

本模型综合了不同条件下的各种情况来考虑目标的最优化，并给出了在特定条件下的解决方案，使模型更贴近实际，通用性更强。

模型的缺点：

由于题目给的信息不是很多，本模型在求租率和房产升值的时候处理提出了自己的看解，抛弃了不合理的拟合，但是比较简单,这样并不是很全面和精确.

十、模型的扩展

模型建立思想还可以进一步解决投资的收益与风险、股票投资、彩票投注、企业投资、等方面的问题。

模型应该进一步考虑随便投资（利润按利润率求解）的问题，求截该情况下的最优解，还要考虑多阶段的投资。

十一、参考文献

［1]谢金星优化建模与LINDO/LINGO软件清华大学出版社2005年

［2］赫孝良数学建模竞赛西安交通大学出版社2002年

［3］高洪业西方经济学中国人民大学出版社2004年

附录：

公式:

Y=k*p-12＊q—x

第一年：

y=1＊24000-12＊1994=72

第二年:

y=1。

07＊24000—12*1994=1752

第三年:

y=1.07＊25680-12＊1994=3549.6

第四年：

y=1。

07＊27477。

6-12*1994=5473。

03

第五年：

y=1。

07*29401。

03-12＊1994=7531。

10

第六年：

y=1.07＊31459。

10-12＊1994=9733。

24

第七年:

y=1.07＊33661.24-12*1994=12089.53

第八年：

y=1.07*36017.53—12*1994=14610.76

第九年:

y=1。

07＊38538。

76—12＊1994=17308.47

第十年：

y=1。

07＊41236。

47—12＊1994=20194.96

第十一年:

y=1。

07*44122。

96—12*1994-24000=-716.43

第十二年：

y=1。

07＊47211。

57-12＊1994-24000=2588。

38

第十三年：

y=1。

07*50516。

38-12＊1994—24000=6124.53

第十四年：

y=1。

07*54052.53-12＊1994—24000=9908.21

第十五年：

y=1.07＊57836。

21—12*1994—24000=13956.74

第十六年：

y=1。

07*61884。

74—12*1994—24000=18288.67

第十七年：

y=1.07＊66216.67—12*1994—24000=22923。

84

第十八年：

y=1.07*70851.84—12*1994-24000=27883。

47

第十九年：

y=1.07＊75811。

47-12＊1994-24000=33190.27

第二十年：

y=1。

07*81118.27—12＊1994—24000=38868。

55