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群是最简单
第二章群论
群是最简单，最重要，有广泛应用的代数系统。
在本章里主要研究具有某种特殊的群存在，结构和构造等。
学习中我们从群的定义开如直到同态基本定理和不变子群，共讲十一个问题，它是以下几章的基础，本章开头提出的十一问题是：
一、群在的定义及其基本性质七、循环群；
二、单位元、逆元、消去律；八、子群；
三、有限群的另一定义；九、子群的陪集；
四、群的同态；十、不变子群、商群；
五、变换群；十一、同态与不变子群。
六、置换群；
§2.1群的定义
●课时安排约1课时
●教学内容《近世代数基础》张禾瑞著P31-35
群的思想：
第一，它有满足结合律的代数运算；第二，这个代数运算具有逆运算。
定义：
一个非空集合G对一个叫做乘法的代数过算来说作成一个群，则等价于下列条件:
（1）（G，·）有单位元，且G中每一个元有逆元。
（2）（G，·）有左单位元，且G中每个元有左逆元；
（3）（G，·）有右单位元，且G中每个元有右逆元；
（4）a,b∈G，方程a.x=b和y.a=b在G中都有解，是一个有限整数；不然的话，这个群叫做无限群，有限群的元素个数叫做这个群的阶。
定义：
对a,b∈G来说，满足ab=ba条件的群叫做交换群。
例1：
证明若G包含一个元g，且乘法是gg=g，则G对于这个第六法来说作成一个群。
例2：
设G是一个全体整数的集合，证明G对于普通加法来说作成一个群。
例3：
设G是所有不等于零的整数集合，证明G对于普通乘法来说不作成一个群。
习题选讲：
P381，3
●教学重点群的定义，基本特点，群的思想方法，群的判定常用的方法。
●教学难点群定义，群的判定常用的方法，利用群的定义证明性质和判定。
●教学要求理解群的定义，掌握群定义中的四个等价条件，和群的判定方法，多训练（做题）。
●布置作业P351，3
（2）
●教学辅导
一、掌握三个基本概念
（1）群的最本质的特点
（2）群的思想方法主要体现在包含的方面。
（3）代数系充（G，·）是群当且仅当（i）结合律成立（ii）方程ax=b，ya=b在G中有解，其a,b∈G.
二、精选习题：
（1）在群G中方程ax=b，ya=b，a,b∈G都有解，这个解是（）乘法来说
A、不是唯一B、唯一的C、不一定唯一的D、相同的（两方程解一样）
（2）设（G，·）为半群，如果方程ax=b与ya=ba,b∈G在G中有解，（不要求唯一性）则G（）。
A、也作成群B、还是半群C、不一定是群
（3）设Z为整数集，定义规则aob=a+b-2，a,b∈Z证明Z对规则“o”是群
三、考研试题集备课本上写的。
§2.2单位元、逆元、消去律
●课时安排约1课时
●教学内容《近世代数基础》张禾瑞著P35-38
定理1：
在一群G里存在一个并且只存在一个元e，
能使ea-ae=a，对于G的任意元a都对。
定义：
一个群G的唯一的能使ea=ae=a（a是G的任一元）的元e叫做群G的单位元。
定理2：
对于群G的每一个元a来说，在G里存在一个而且只存在一个元a-1，能使：
a-1a=aa-1=e
定义：
唯一的能使a-1a=aa-1=e的元a-1叫做元a的逆元（有时简称逆）
例1：
全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是零，元a的逆元是-a。
定义：
群G的一个元a，能使得am=e的最小的正整数m叫做a的阶。
例3：
G刚好包含x3=1的三个根1，ε1=,ε2=,对于普通乘法来说成一个群，求这群的单位元，且每一元的逆元。
定理3：
一个群的乘法适合
III'消去律：
若ax=x',那么x=x',若ya=y'a，那么y=y'
●教学重点单位元、逆元、消去律、元的阶，并且利用这些概念。
●教学难点群的判定常用的方法。
且半群中消去律与元的可逆性之间的关系和定理的证明（例3）
●习题选讲P381，3
●教学要求理解单位元、逆元、元的阶的定义，初步地掌握利用单位元、逆元、元阶的定义证明有关的性质和定理。
●布置作业P382，4参考教材中：
P1114，7
●教学辅导
一、掌握三个基本概念。
在半群中消去律与元的可逆性之间的关系。
在半群中，消去律成立是每一个元可逆的必要条件，但不是充分条件，对于一个有限半群来说，消去律成立则是每个元可逆的充要条件。
二、关于群的元素的阶
1）关于判定元素幂相等的条件（元a的阶证为|a|）
当|a|=n时，aP=ag<=>n/P-g
当|a|=∞时，aP=ag<=>P=g
三、精选习题（侧重概念、技巧性的基本题）
1、设（G，·）是半群，满足G有右单位元e：
ae=a,a∈G；
2、设（G，·）为半群，满足，G中每一个元素a都有右逆元素a'：
aa'=e
§2.3有限群的另一定义
●课时安排约1课时
●教学内容《近世代数基础》张禾瑞著P38-40
定理：
一个有乘法的有限集合G，若是适合I，II和III'，那么它也适合III。
有限群的另一定义：
一个有乘法的有限不空集合G作成一个群，假如I，III，III'能被满足。
例：
G={所有不等于零的整数}
对于普通乘法来说这个G适合I，II，III'，可是不适合III。
●教学重点有限群的定义，利用有限群的思想，利用定义证明有关定理和例子。
●教学辅导作业下一节一起进行。
§2.4群的同态
●课时安排约1课时
●教学内容《近世代数基础》张禾瑞著P40-44）
设G是一个群，G是一个不空集合，并有一个代数运算，这个代数运算叫做乘法，也用普通表示乘法的符号来表示。
定理1：
假设G与对于它们的乘法来说同态，那么也是一个群。
定理2：
假定G和是两个群，在G到的一个同态满射之下，G的单位元e的象是的单位元，G的元a的逆元a-1的象是a的象的逆元。
例1：
设A={a,b,c},A的乘法由下表夫定：
abc
aabc
bbca
ccab
的集合，G是全体整数对普加法来说作成的一个群，找出它们之间的一个同态映射？
且判断A是不是一个群。
例2：
证明乘法群G={1,-1,i,-i}和乘法群G2={-1,1}同态的。
●教学重点群的同态定义，利用群的同态定义证明由G是群可以推出G'也是群（G~G'条件下）
●教学难点掌握群同态定义中的同态映射的要求（2例题）
教学要求：
理解群同态思想，理解若群G~G'则群G的许多代数性质可以传递给它的同态象。
●布置作业P44习题
●教学辅导
一、1、同态和同构的区别
2、若G~G'，则可以推出G'是群，但反之未必成立。
二、精选习题
1、规定（Z，+）到（2Z，+）的映射ф：
n→2n，n∈Z其中Z是群，证明2Z也是群。
2、群同下的同态映射的要求是（）
A、单射B、映射C、满射D、一般代数运算
3、若G是一个群，是一个非空像，且G~中G同的次序掉换，则原命是（）成立。
A、一定B、不一定C、不成立
§2.5变换群
●课时安排约1课时
●教学内容《近世代数基础》张禾瑞编P44-50
集合A到A的所有变换的集合，关于变换的乘法是一个半群。
定理1：
假定G是集合A的若干个变换所作成的集合，并且G包含恒等变换ε，若是对于变换的乘法来说作成一个群，则G只包含A的--变换。
定义1：
一个集合A的若干个--变换的乘法作成的群叫做A的一个变换群。
定理2：
一个集合A的所有的--变换成一个变换群。
定理3：
任何一个群都同一个变换群同构。
例1：
设A={1，2}且:
τ11→1，2→1
τ21→2，2→2
τ31→1，2→2
τ41→2，2→1
都是A的所有变换，求其中的--变换。
例2：
在例1里取几个变换来算一算τ1τ2，τ2τ4的乘积。
例3：
设A是一个平面上的所有点所作成的集合，平面的一个线定点的施转可以看成A的一个双变换，设G是所有绕定点施转变换的集合，那么G关于变换乘法作成一个变换群。
（班里解，这例子中的作成变换群的原因）。
●习题选讲P502，4
●教学重点变换群的定义，Cayley定理，变换群的判定常用的方法（例1，2）
●教学难点变换群的定义，利用变换群在几何上的实际应用和群的理论上的重要性（凯莱定理和例3）
●教学要求理解变换群的定义应用几何上的实际问题，并且理解变换群在群论上的重要性，同群论中具有的普遍性，弄清楚变换群和变换群的区别。
●布置作业P502，4，5
●教学辅导
一、掌握三个基本概念
（1）所以给了一个集合A，除了全部--变换构成群外，的确还可以有别的（）变换群。
（2）变换群一般（）交换群。
（3）（根据凯采定理）任何一个群（有限群）都与一个变换群代数（）
A、不相等B、相等C、范围小D、范围大
二、精选习题：
假定A是所有实数作成集合，证明所有A的可以写成x→ax+ba,b是有理数，a≠0形式的变换作成一个变换群。
§2.6置换群
●课时安排约1课时
●教学内容《近世代数基础》张禾瑞著P50-56
定义：
一个有限集合的一个--变换叫做一个置换一个有限集合的若干个置换作成的群叫做置换群。
定义：
一个包含n个元的集合的全部置换作成的群叫做n次对称群，记作Sn
定理1：
n次对称群Sn的阶是n！
定义：
Sn的一个把ai1变到ai2,ai2变到ai3,....aiκ变到ai1，而使得其余的元，假如还有的话，不变的置换，叫做一个κ-循环置换，用符号：
（i1i2.....iκ），（i2i3....iκi1），.....或（iκi1....iκ-1）来表示。
定理2：
每一个n个元的置换π都可以写成若干个互相没有共同数字的（不相连的）循环置换的乘积。
定理3：
每一个有限群都有与一个置换群同构。
●习题选讲P561，2，5
●教学重点置换，转换群，n次对称群，循环置换的定义，利用这些概念的定义证明每一个有限群都一个置换群同构（例3，例5）
●教学难点置换群中元素是n次置换非常具体，所以n次置换，及置换乘积是本节中较难的概念，（例3，例4）习题选讲。
●教学要求理解置换群，n次对称群，循环置换的定义，搞清楚置换乘法的先后顺序是从右到左，并且搞清楚置换的循环分解，多做练习。
●布置作业P563，4
●教学辅导
一、掌握四个基本概念
（1）置换的第一种方法（n个数字的时）
（2）置换的第二种方法（i1i2...ik）,（i2i3....iki1）...或（iki1...ik-1）
（3）对置换的乘积来说辅导置换乘法的先后顺序和置换的循环分解。
（4）变换群与置换群区别（普遍性来解释）。
二、精选习题
1、置换群是变换群（）
A、对B、错C、不一定
2、S3中所有不能与（123）交换的元。
A、（12），（13），（23）；B、
（1），（12），（123）
C、（13），（23），（132）；D、
（1），（12），（13）
3、每一个有限群都与一个置换群（）
A、同态B、相等C、同构D、不相等
三、考研试题集锦
§2.7循环群
●课时安排约1课时
●教学内容《近世代数基础》张禾瑞著P56-61
定义：
若一个群G的每一个元都是G的某一个固定元a的乘方，我们就把G叫做循群；G由元a所生成的，且用符号G=a来表示，a叫做G的一个生成元。
定理：
假定G是一个由元a所生成的循环群，那么G的构造完全可以由a的阶来决定。
a的阶若是无限，那么G与整数加群同构；
a的阶若是一个有限整数n，那么G与模n乘余类加群同构。
例题：
例1：
设G是包含模n的n个乘余类，规定一个G的代数运算，把这个代数运算叫做加法，用普通表示加法的符号来表示，那么G是否作成一个群，若G作成一个群，则G是不是作成一个乘余类加群。
例2：
设G是全体整数的集合，并且G对普通的加法来说作成一个群（整数加群），那么G对这个运算来说作成一个循环群，I是生成元。
例3：
设G={.....,10-2,10-1,100,101,102,....}数的乘法是G的代数运算，那么{G，·}是一个群，判断它是否循环群。
●习题选讲P612,5
●教学重点
G=的定义，利用G=（a）的定义，证明有关的定理和命题，（即：
循环群，乘余类加群，定理）。
●教学难点
G=（a）的构选问题，利用G=（a）的定义证明若a为无限阶的，则（a）≌{Z,+}；若a的阶为n，则（a）≌{Zn，+}。
●教学要求
理解循环群的思想，便理想循环群结构中的主要的结果（i）数量总是，（ii）构造问题，（iii）循环群的生成元。
●布置作业P611，3，5
●教学辅导
一、掌握三个基本的概念，设循环群G=（a）
（1）|a|=∞=>（a）≌（Z，+）
（2）|a|=n=>（a）≌（Zn,+）
（3）对于n阶循环群（a），有ar是（a）的生成元<=>（r,n）=1
二、精选习题
（1）同构的观点看，循环群有且只有两种，分别（）
A、G=（a）与G的子群B、（Z，+）与（Zn，+）
C、变换群与置换群D、（Q，+）与（Zn，+）
（2）无限循环群（a）有且仅有两个生成元（）
A、an和a-1B、an和aC、a和a-1
§2.8子群
●课时安排约1课时
●教学内容《近世代数基础》张禾瑞著P61-64
子群思想
定义：
一个群G的一个集H叫做G的一个子群，假如H对于G的乘法来说作成一个群，记作：
H≤G。
定理1：
一个群G的一个不空集H作成G的一个子群的充分且必要条件是（i）a,b∈H=>ab∈H，（ii）a∈H=>a-1∈H。
推论：
假定H是群G的一个子群，那么H的单位元就是G的单位元，H的任一元a在H里的逆元就是a在G里的元。
定理2：
一个群G的一个不空子集H作成G的子群的充分必要条件是：
（iii）a,b∈H=>ab-1∈H。
定理3：
一个群G的一个非空有限子集H作成G的一个子集的充要条件是：
a,b∈H=>ab∈H。
定义：
（生成子群的定义结构过程教材上P69页中）
●习题选讲P643，6
●教学重点
子群定义，利用子群定义证明有关的问题，群的一个非空集组成子群的充要条件，即定理1，定理2，定理3和生成子群。
●教学难点
作成子群的充分必要条件的证明过程，子群的判定方法。
●教学要求
理解子群包括三层意思，理解子群的判定方法和构造群的子群的方法，多训练。
●布置作业P641，4，3
●教学要求
一、掌握四个基本概念：
规定G是群H≠ф且HG
（1）H是G的子半群<=>a,b∈H有a，b∈H。
（2）H≤G<=>a,b∈H有ab,a-1∈H
（3）H≤G<=>a,b∈Heab-1∈H
（4）当H是有限集时H≤G<=>a,b∈H有ab∈H。
二、精选题（习题）
（1）子群包含的三层意思是（）
A、HG；H成群；H与G有相同的运算
B、H≠G；H是G的子半群；H有两种运算。
C、HG；H有单位元；H的运算相同。
（2）设S是群G的非空子集，G的含S的所有的子群的交仍是G的子群，这个子群称为G的由（）子群。
A、G生成的B、G不作成的C、S生成的D、元0生成的。
（3）Bu={
（1）,（12）,（34）,（13）,（24）,（14）,（23）}
是否对称群的Su的子群。
§2.9子群的陪集
●课时安排约2课时
●教学内容《近世代数基础》张禾瑞著P65-70
子群的陪集思想是：
实质上是用子群对群进行分类的问题，关于陪集的定义，有两种最基本的出发点，一种是利用子集的乘积的概念，另一种是等价关系的概念。
定义：
由等价关系~所决定的类叫做子群H的右陪集，包含元a的右陪集用符号Ha来表示。
定义：
由等价关系~'所决定的类叫做子群H的左陪集，包含元a的左陪集用符号aH来表示。
定理1：
一个子群H的右、左陪集的个数相等。
定义：
一个群G的一个子群H的右陪集（左陪集）的个数叫做H在G里的指数。
定理2：
设H是一个有限群G的子群，那么H的阶n和它在G里的指数j都能整除G的阶N，并且N=nj
定理3：
一个有限群G的任一个元a的阶n都整除G的阶。
引理：
一个子群H与H的每一个右陪集Ha之间都存在一个映射。
例题：
例1：
设置换群S3，其子群为H={
（1），（12）}，求H的所有右倍集。
例2：
三次对称群S3的子群H={
（1），（12）}求H在S3中的指数。
●习题选讲P702，3
●教学重点
左、右陪集的定义，群G的子群H的阶，H在G里的指数；任两个左（右）陪集间存在双射的概念（引理P69）
●教学难点左（右）陪集的定义，利用左（右）陪集的定义掌握左（右）陪集的判别条件。
●教学要求理解左（右）陪集的思想，理解陪集定义的最基本的两种出发点。
●布置作业P701，5
●教学辅导
一、精选题
（1）当G为有限群，子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数（）
A、不相等B、0C、相等D、不一定相等。
（2）n阶有限群G的子群H的阶必须是n的（）
A、倍数B、次数C、约数D、指数
（3）任意一个元素a所在的左陪集和右陪集是（）
A、相等B、不相等C、不一定相等。
二、掌握以下概念
设H为G的子群则：
（1）若a∈bH，则aH=bH
（2）若a∈Hb，则Ha=Hb
（3）若H的任一两个左（右）陪集之间必存在一个双射；
§2.10不变子群
●课时安排约4课时
●教学内容《近世代数基础》张禾瑞著P70-76
定义：
群G的子群H，如果满足条件：
Na=aN，a∈G，则N称为G的不变子群。
定理1：
设N是G的子群，则以下四个条件是等价的：
（1）N是G的不变子群；
（2）aNa-1=N,a∈G
（3）aNa-1N,a∈G
（4）ana-1∈N,a∈G,n∈N
定义：
一个群G的一个不变子群N的陪集所作成的群叫做一个商群，这个群用符号G/N来表示。
商群G/N的元的个数等于N的指数，当G有限群时
=G/N的阶
例题：
例1：
任一个群G的子群G和e总是不变子群。
例2：
设G为群，令C={a∈G|an=naa∈G}证明C为G的不变子群。
例3：
一个交换群G的每一个子群H都是不变子群。
例4：
G=S3，则N={
（1）,（123）,（132）}是一个不变子群
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