陕西省中考数学试题解析.docx
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陕西省中考数学试题解析
陕西省2015年中考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1．计算：
（﹣
）0=（ ）
A．
1
B．
﹣
C．
0
D．
考点：
零指数幂
分析：
根据零指数幂：
a0=1（a≠0），求出（﹣
）0的值是多少即可．
解答：
解：
（﹣
）0=1．
故选：
A．
点评：
此题主要考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：
①a0=1（a≠0）；②00≠1．
2．（3分）（2015•陕西）如图是一个螺母的示意图，它的俯视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：
简单组合体的三视图．.
分析：
根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
解答：
解：
从上面看外面是一个正六边形，里面是一个没有圆心的圆，
故选：
B．
点评：
本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．
3．（3分）（2015•陕西）下列计算正确的是（ ）
A．
a2•a3=a6
B．
（﹣2ab）2=4a2b2
C．
（a2）3=a5
D．
3a2b2÷a2b2=3ab
考点：
整式的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．.
分析：
根据同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方、整式的除法，即可解答．
解答：
解：
A、a2•a3=a5，故正确；
B、正确；
C、（a2）3=a6，故错误；
D、3a2b2÷a2b2=3，故错误；
故选：
B．
点评：
本题考查了同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方、整式的除法，解决本题的关键是熟记同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方、整式的除法的法则．
4．（3分）（2015•陕西）如图，AB∥CD，直线EF分别交直线AB，CD于点E，F．若∠1=46°30′，则∠1的度数为（ ）
A．
43°30′
B．
53°30′
C．
133°30′
D．
153°30′
考点：
平行线的性质．.
分析：
先根据平行线的性质求出∠EFD的度数，再根据补角的定义即可得出结论．
解答：
解：
∵AB∥CD，∠1=46°30′，
∴∠EFD=∠1=46°30′，
∴∠2=180°﹣46°30′=133°30′．
故选C．
点评：
本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：
两线平行，同位角相等．
5．（3分）（2015•陕西）设正比例函数y=mx的图象经过点A（m，4），且y的值随x值的增大而减小，则m=（ ）
A．
2
B．
﹣2
C．
4
D．
﹣4
考点：
正比例函数的性质．.
分析：
直接根据正比例函数的性质和待定系数法求解即可．
解答：
解：
把x=m，y=4代入y=mx中，
可得：
m=±2，
因为y的值随x值的增大而减小，
所以m=﹣2，
故选B
点评：
本题考查了正比例函数的性质：
正比例函数y=kx（k≠0）的图象为直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y值随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y值随x的增大而减小．
6．（3分）（2015•陕西）如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE=BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（ ）
A．
2个
B．
3个
C．
4个
D．
5个
考点：
等腰三角形的判定与性质．
分析：
根据已知条件分别求出图中三角形的内角度数，再根据等腰三角形的判定即可找出图中的等腰三角形．
解答：
解：
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠DBC=
∠ABC=36°，
∴∠A=∠ABD=36°，
∴BD=AD，
∴△ABD是等腰三角形；
在△BCD中，∵∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠C=180°﹣36°﹣72°=72°，
∴∠C=∠BDC=72°，
∴BD=BC，
∴△BCD是等腰三角形；
∵BE=BC，
∴BD=BE，
∴△BDE是等腰三角形；
∴∠BED=（180°﹣36°）÷2=72°，
∴∠ADE=∠BED﹣∠A=72°﹣36°=36°，
∴∠A=∠ADE，
∴DE=AE，
∴△ADE是等腰三角形；
∴图中的等腰三角形有5个．
故选D．
点评：
此题考查了等腰三角形的判定，用到的知识点是等腰三角形的判定、三角形内角和定理、三角形外角的性质、三角形的角平分线定义等，解题时要找出所有的等腰三角形，不要遗漏．
7．（3分）（2015•陕西）不等式组
的最大整数解为（ ）
A．
8
B．
6
C．
5
D．
4
考点：
一元一次不等式组的整数解．.
分析：
先求出各个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后求出答案即可．
解答：
解：
∵解不等式①得：
x≥﹣8，
解不等式②得：
x＜6，
∴不等式组的解集为﹣8≤x＜6，
∴不等式组的最大整数解为5，
故选C．
点评：
本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集求出不等式组的解集，难度适中．
8．（3分）（2015•陕西）在平面直角坐标系中，将直线l1：
y=﹣2x﹣2平移后，得到直线l2：
y=﹣2x+4，则下列平移作法正确的是（ ）
A．
将l1向右平移3个单位长度
B．
将l1向右平移6个单位长度
C．
将l1向上平移2个单位长度
D．
将l1向上平移4个单位长度
考点：
一次函数图象与几何变换．.
分析：
利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得出即可．
解答：
解：
∵将直线l1：
y=﹣2x﹣2平移后，得到直线l2：
y=﹣2x+4，
∴﹣2（x+a）﹣2=﹣2x+4，
解得：
a=﹣3，
故将l1向右平移3个单位长度．
故选：
A．
点评：
此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确把握变换规律是解题关键．
9．（3分）（2015•陕西）在▱ABCD中，AB=10，BC=14，E，F分别为边BC，AD上的点，若四边形AECF为正方形，则AE的长为（ ）
A．
7
B．
4或10
C．
5或9
D．
6或8
考点：
平行四边形的性质；勾股定理；正方形的性质．.
专题：
分类讨论．
分析：
设AE的长为x，根据正方形的性质可得BE=14﹣x，根据勾股定理得到关于x的方程，解方程即可得到AE的长．
解答：
解：
如图：
设AE的长为x，根据正方形的性质可得BE=14﹣x，
在△ABE中，根据勾股定理可得x2+（14﹣x）2=102，
解得x1=6，x2=8．
故AE的长为6或8．
故选：
D．
点评：
考查了平行四边形的性质，正方形的性质，勾股定理，关键是根据勾股定理得到关于AE的方程．
10．（3分）（2015•陕西）下列关于二次函数y=ax2﹣2ax+1（a＞1）的图象与x轴交点的判断，正确的是（ ）
A．
没有交点
B．
只有一个交点，且它位于y轴右侧
C．
有两个交点，且它们均位于y轴左侧
D．
有两个交点，且它们均位于y轴右侧
考点：
抛物线与x轴的交点．.
分析：
根据函数值为零，可得相应的方程，根据根的判别式，公式法求方程的根，可得答案．
解答：
解：
当y=0时，ax2﹣2ax+1=0，
∵a＞1
∴△=（﹣2a）2﹣4a=4a（a﹣1）＞0，
ax2﹣2ax+1=0有两个根，函数与有两个交点，
x=
＞0，
故选：
D．
点评：
本题考查了抛物线与x轴的交点，利用了函数与方程的关系，方程的求根公式．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计12分，其中12、13题为选做题，任选一题作答）
11．（3分）（2015•陕西）将实数
，π，0，﹣6由小到大用“＜”号连起来，可表示为 ﹣6
．
考点：
实数大小比较．
分析：
正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
解答：
解：
≈2.236，π≈3.14，
∵﹣6＜0＜2.236＜3.14，
∴﹣6
．
故答案为：
﹣6
．
点评：
此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：
正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
12．（3分）（2015•陕西）正八边形一个内角的度数为 135° ．
考点：
多边形内角与外角．.
分析：
首先根据多边形内角和定理：
（n﹣2）•180°（n≥3且n为正整数）求出内角和，然后再计算一个内角的度数．
解答：
解：
正八边形的内角和为：
（8﹣2）×180°=1080°，
每一个内角的度数为
×1080°=135°．
故答案为：
135°．
点评：
此题主要考查了多边形内角和定理，关键是熟练掌握计算公式：
（n﹣2）•180（n≥3）且n为整数）．
13．（2015•陕西）如图，有一滑梯AB，其水平宽度AC为5.3米，铅直高度BC为2.8米，则∠A的度数约为 27.8° （用科学计算器计算，结果精确到0.1°）．
考点：
解直角三角形的应用-坡度坡角问题．.
分析：
直接利用坡度的定义求得坡角的度数即可．
解答：
解：
∵tan∠A=
=
≈0.5283，
∴∠A=27.8°，
故答案为：
27.8°．
点评：
本题考查了坡度坡角的知识，解题时注意坡角的正切值等于铅直高度与水平宽度的比值，难度不大．
14．（3分）（2015•陕西）如图，在平面直角坐标系中，过点M（﹣3，2）分别作x轴、y轴的垂线与反比例函数y=
的图象交于A，B两点，则四边形MAOB的面积为 10 ．
考点：
反比例函数系数k的几何意义．.
分析：
设点A的坐标为（a，b），点B的坐标为（c，d），根据反比例函数y=
的图象过A，B两点，所以ab=4，cd=4，进而得到S△AOC=
|ab|=2，S△BOD=
|cd|=2，
S矩形MCDO=3×2=6，根据四边形MAOB的面积=S△AOC+S△BOD+S矩形MCDO，即可解答．
解答：
解：
如图，
设点A的坐标为（a，b），点B的坐标为（c，d），
∵反比例函数y=
的图象过A，B两点，
∴ab=4，cd=4，
∴S△AOC=
|ab|=2，S△BOD=
|cd|=2，
∵点M（﹣3，2），
∴S矩形MCDO=3×2=6，
∴四边形MAOB的面积=S△AOC+S△BOD+S矩形MCDO=2+2+6=10，
故答案为：
10．
点评：
本题主要考查反比例函数的对称性和k的几何意义，根据条件得出S△AOC=
|ab|=2，S△BOD=
|cd|=2是解题的关键，注意k的几何意义的应用．
15．（3分）（2015•陕西）如图，AB是⊙O的弦，AB=6，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45°．若点M，N分别是AB，BC的中点，则MN长的最大值是 3
．
考点：
三角形中位线定理；等腰直角三角形；圆周角定理．.
分析：
根据中位线定理得到MN的最大时，AC最大，当AC最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值．
解答：
解：
∵点M，N分别是AB，BC的中点，
∴MN=
AC，
∴当AC取得最大值时，MN就取得最大值，
当AC时直径时，最大，
如图，
∵∠ACB=∠D=45°，AB=6，
∴AD=6
，
∴MN=
AD=3
故答案为：
3
．
点评：
本题考查了三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质及圆周角定理，解题的关键是了解当什么时候MN的值最大，难度不大．
三、解答题（共11小题，计78分，解答时写出过程）
16．（5分）（2015•陕西）计算：
×（﹣
）+|﹣2
|+（
）﹣3．
考点：
二次根式的混合运算；负整数指数幂．.
专题：
计算题．
分析：
根据二次根式的乘法法则和负整数整数幂的意义得到原式=﹣
+2
+8，然后化简后合并即可．
解答：
解：
原式=﹣
+2
+8
=﹣3
+2
+8
=8﹣
．
点评：
本题考查了二次根式的计算：
先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了负整数整数幂、
17．（5分）（2015•陕西）解分式方程：
﹣
=1．
考点：
解分式方程．.
专题：
计算题．
分析：
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解答：
解：
去分母得：
x2﹣5x+6﹣3x﹣9=x2﹣9，
解得：
x=
，
经检验x=
是分式方程的解．
点评：
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
18．（5分）（2015•陕西）如图，已知△ABC，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成面积相等的两部分．（保留作图痕迹，不写作法）
考点：
作图—复杂作图．.
分析：
作BC边上的中线，即可把△ABC分成面积相等的两部分．
解答：
解：
如图，直线AD即为所求：
点评：
此题主要考查三角形中线的作法，同时要掌握若两个三角形等底等高，则它们的面积相等．
19．（5分）（2015•陕西）某校为了了解本校九年级女生体育测试项目“仰卧起坐”的训练情况，让体育老师随机抽查了该年级若干名女生，并严格地对她们进行了1分钟“仰卧起坐”测试，同时统计了每个人做的个数（假设这个个数为x），现在我们将这些同学的测试结果分为四个等级：
优秀（x≥44）、良好（36≤x≤43）、及格（25≤x≤35）和不及格（x≤24），并将统计结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全上面的条形统计图和扇形统计图；
（2）被测试女生1分钟“仰卧起坐”个数的中位数落在 良好 等级；
（3）若该年级有650名女生，请你估计该年级女生中1分钟“仰卧起坐”个数达到优秀的人数．
考点：
条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．.
分析：
（1）根据各个等级的百分比得出答案即可；
（2）根据中位数的定义知道中位数是第25和26个数的平均数，由此即可得出答案；
（3）首先根据扇形图得出优秀人数占的百分比，条形统计图可以求出平均数的最小值，然后即可求出答案．
解答：
解：
（1）
；
（2）∵13+20+12+5=50，
50÷2=25，25+1=26，
∴中位数落在良好等级，
故答案为：
良好；
（3）650×26%=169（人），
即该年级女生中1分钟“仰卧起坐”个数达到优秀的人数是169．
点评：
本题难度中等，主要考查统计图表的识别；解本题要懂得频率分布直分图的意义．同时考查了平均数和中位数的定义．
20．（7分）（2015•陕西）如图，在△ABC中，AB=AC，作AD⊥AB交BC的延长线于点D，作AE∥BD，CE⊥AC，且AE，CE相交于点E，求证：
AD=CE．
考点：
全等三角形的判定与性质．.
专题：
证明题．
分析：
根据平行线的性质得出∠EAC=∠ACB，再利用ASA证出△ABD≌△CAE，从而得出AD=CE．
解答：
证明：
∵AE∥BD，
∴∠EAC=∠ACB，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠B=∠EAC，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE，
∴AD=CE．
点评：
此题考查了全等三角形的判定与性质，用到的知识点是全等三角形的判定与性质、平行线的性质，关键是利用ASA证出△ABD≌△CAE．
21．（7分）（2015•陕西）晚饭后，小聪和小军在社区广场散步，小聪问小军：
“你有多高？
”小军一时语塞．小聪思考片刻，提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高．于是，两人在灯下沿直线NQ移动，如图，当小聪正好站在广场的A点（距N点5块地砖长）时，其影长AD恰好为1块地砖长；当小军正好站在广场的B点（距N点9块地砖长）时，其影长BF恰好为2块地砖长．已知广场地面由边长为0.8米的正方形地砖铺成，小聪的身高AC为1.6米，MN⊥NQ，AC⊥NQ，BE⊥NQ．请你根据以上信息，求出小军身高BE的长．（结果精确到0.01米）
考点：
相似三角形的应用．.
分析：
先证明△CAD～△MND，利用相似三角形的性质求得MN=9.6，再证明△EFB～△MFN，即可解答．
解答：
解：
由题意得：
∠CAD=∠MND=90°，∠CDA=MDN，
∴△CAD～△MND，
∴
，
∴
，
∴MN=9.6，
又∵∠EBF=∠MNF=90°，
∠EFB=∠MFN，
∴△EFB～△MFN，
∴
，
∴
∴EB≈1.75，
∴小军身高约为1.75米．
点评：
本题考查的是相似三角形的判定及性质，解答此题的关键是相似三角形的判定．
22．（7分）（2015•陕西）胡老师计划组织朋友暑假去革命圣地延安两日游，经了解，现有甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人640元，且提供的服务完全相同，针对组团两日游的游客，甲旅行社表示，每人都按八五折收费；乙旅行社表示，若人数不超过20人，每人都按九折收费，超过20人，则超出部分每人按七五折收费，假设组团参加甲、乙两家旅行社两日游的人数均为x人．
（1）请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用y（元）与x（人）之间的函数关系式；
（2）若胡老师组团参加两日游的人数共有32人，请你计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助胡老师选择收取总费用较少的一家．
考点：
一次函数的应用．.
专题：
应用题．
分析：
（1）根据总费用等于人数乘以打折后的单价，易得y甲=640×0.85x，对于乙两家旅行社的总费用，分类讨论：
当0≤x≤20时，y乙=640×0.9x；当x＞20时，y乙=640×0.9×20+640×0.75（x﹣20）；
（2）把x=32分别代入
（1）中对应得函数关系计算y甲和y乙的值，然后比较大小即可．
解答：
解：
（1）甲两家旅行社的总费用：
y甲=640×0.85x=544x；
乙两家旅行社的总费用：
当0≤x≤20时，y乙=640×0.9x=576x；当x＞20时，y乙=640×0.9×20+640×0.75（x﹣20）=480x+1920；
（2）当x=32时，y甲=544×32=17408（元），y乙=480×32+1920=17280，
因为y甲＞y乙，
所以胡老师选择乙旅行社．
点评：
本题考查了一次函数的应用：
利用实际问题中的数量关系建立一次函数关系，特别对乙旅行社的总费用要采用分段函数解决问题．
23．（7分）（2015•陕西）某中学要在全校学生中举办“中国梦•我的梦”主题演讲比赛，要求每班选一名代表参赛．九年级
（1）班经过投票初选，小亮和小丽票数并列班级第一，现在他们都想代表本班参赛．经班长与他们协商决定，用他们学过的掷骰子游戏来确定谁去参赛（胜者参赛）．
规则如下：
两人同时随机各掷一枚完全相同且质地均匀的骰子一次，向上一面的点数都是奇数，则小亮胜；向上一面的点数都是偶数，则小丽胜；否则，视为平局，若为平局，继续上述游戏，直至分出胜负为止．
如果小亮和小丽按上述规则各掷一次骰子，那么请你解答下列问题：
（1）小亮掷得向上一面的点数为奇数的概率是多少？
（2）该游戏是否公平？
请用列表或树状图等方法说明理由．（骰子：
六个面上分别刻有1，2，3，4，5，6个小圆点的小正方体）
考点：
游戏公平性；列表法与树状图法．.
分析：
（1）首先判断出向上一面的点数为奇数有3种情况，然后根据概率公式，求出小亮掷得向上一面的点数为奇数的概率是多少即可．
（2）首先应用列表法，列举出所有可能的结果，然后分别判断出小亮、小丽获胜的概率是多少，再比较它们的大小，判断出该游戏是否公平即可．
解答：
解：
（1）∵向上一面的点数为奇数有3种情况，
∴小亮掷得向上一面的点数为奇数的概率是：
．
（2）填表如下：
1
2
3
4
5
6
1
（1，1）
（1，2）
（1，3）
（1，4）
（1，5）
（1，6）
2
（2，1）
（2，2）
（2，3）
（2，4）
（2，5）
（2，6）
3
（3，1）
（3，2）
（3，3）
（3，4）
（3，5）
（3，6）
4
（4，1）
（4，2）
（4，3）
（4，4）
（4，5）
（4，6）
5
（5，1）
（5，2）
（5，3）
（5，4）
（5，5）
（5，6）
6
（6，1）
（6，2）
（6，3）
（6，4）
（6，5）
（6，6）
由上表可知，一共有36种等可能的结果，其中小亮、小丽获胜各有9种结果．
∴P（小亮胜）=
，P（小丽胜）=
=
，
∴游戏是公平的．
点评：
（1）此题主要考查了判断游戏公平性问题，要熟练掌握，首先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．
（2）此题主要考查了列举法（树形图法）求概率问题，解答此类问题的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
24．（8分）（2015•陕西）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点B作⊙O的切线DE，与AC的延长线交于点D，作AE⊥AC交DE于点E．
（1）求证：
∠BAD=∠E；
（2）若⊙O的半径为5，AC=8，求BE的长．
考点：
切线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．.
分析：
（1）根据切线的性质，和等角的余角相等证明即可；
（2）根据勾股定理和相似三角形进行解答即可．
解答：
（1）证明：
∵AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点B作⊙O的切线DE，
∴∠ABE=90°，
∴∠BAE+∠E=90°，
∵∠DAE=90°，
∴∠BAD+∠BAE=90°，
∴∠BAD=∠E；
（2）解：
连接BC，如图：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵AC=8，AB=2×5=10，
∴BC=
，
∵∠BCA=∠ABE=90°，∠BAD=∠E，
∴△ABC∽△EAB，
∴
，
∴
，
∴BE=
．
点评：
本题考查了切线的性质、相似三角形等知识点，关键是根据切线的性质和相似三角形的性质分析．
25．（10分）（2015•陕西）在平面直角坐标系中
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