高中课件高三数学立体几何复习.docx

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高中课件高三数学立体几何复习

第九单元立体几何

第一节空间几何体的结构及其三视图和直观图

基础梳理

1.多面体

1有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边

形的公共边都互相平行,由这些面所围成的多面体叫做棱柱.

2有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由

这些面所围成的多面体叫做棱锥.

3用一个平行于棱锥底面的平面截棱锥,底面和截面之间的这部分

多面体叫做棱台.2.旋转

1以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围

成的旋转体叫做圆柱.

2以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴,其余两边旋转

形成的面所围成的旋转体体叫做圆锥.

3以半圆的直径所在的直线为旋转轴,将半圆旋转一周形成的旋转

体叫做球体,简称球.

3.三视图和直观图

1三视图是从一个几何体的正前方、正左方、正上方三个不同的

方向看这个几何体,描绘出的图形,分别称为正视图、侧视图、俯视

图.

2三视图的排列顺序:

先画正视图,俯视图放在正视图的下方,侧视

图放在正视图的右方.

3三视图的三大原则:

长对正、高平齐、宽相等.4水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法:

①在已知图形中,取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O,画直观图时,

把它们画成对应的x′轴和y′轴,两轴相交于O′,且使∠x′O′y′45°或135°,

用它们确定的平面表示水平面.

②已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中,分别画成平行于x′轴

或y′轴的线段.

③已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不变;平行于y

轴的线段,在直观图中长度变为原来的一半.

典例分析

题型一空间几何体的结构特征

【例1】根据下列对几何体结构特征的描述,说出几何体的名称.

1由八个面围成,其中两个面是互相平行且全等的正六边形,其他各面

都是矩形;

2一个等腰梯形绕着两底边中点的连线所在的直线旋转180°形成的封

闭曲面所围成的图形;

3一个直角梯形绕较长的底边所在的直线旋转一周形成的曲面所围成

的几何体.分析要判断几何体的类型,从各类几何体的结构特征入手,以柱、

锥、台的定义为依据,把复杂的几何体分割成几个简单的几何体.

解1如图1所示,该几何体满足有两个面平行,其余六个面都是矩

形,可使每相邻两个面的公共边都互相平行,故该几何体是正六棱柱.

2如图2所示,等腰梯形两底边中点的连线将梯形平分为两个直角梯

形,每个直角梯形旋转180°形成半个圆台,故该几何体为圆台.

3如图3所示,由梯形ABCD的顶点A引AO⊥CD于O点,将直角梯形分为

一个直角三角形AOD和矩形AOCB,绕CD旋转一周形成一个组合体,该组

合体由一个圆锥和一个圆柱组成.

图1图2图3学后反思对于不规则的平面图形绕轴旋转问题,要对原平面图形作

适当的分割,再根据圆柱、圆锥、圆台的结构特征进行判断.

举一反三

1观察如图几何体,分析它们是由哪些基本几何体组成的,并说出主

要结构特征.

解析1是一个四棱柱和一个四棱锥组成的,它有9个面,9个顶

点,16条棱.2是由一个四棱台、一个四棱柱和一个球组成的,其

主要结构特征就是相应四棱台、四棱柱和球的结构特征.题型二柱、锥、台中的计算问题

【例2】正四棱台的高是17cm,两底面边长分别是4cm和16cm,求棱台的

侧棱长和斜高.

分析求棱台的侧棱长和斜高的关键是找到相关的直角梯形,然后构

造直角三角形,解决问题.

BC

解如图所示,设棱台的两底面的中心分别是、O,和BC的中点分别

O11

1

E

OEEO

1

是和E,连接OO、EE、OB、OB、OE、OE,则四边形OBBO和

11

11111111

都是直角梯形.

AB

11

∵4cm,AB16cm,

OE

11

22

∴2cm,OE8cm,2cm,OB8cm,OB

11

2

2

BBOOOBOB?

∴

1111

19cm,

2

2

EEOOOEOE513?

1111

∴棱台的侧棱长为19cm,斜高为cm.

513学后反思

（1）把空间问题转化为平面问题去解是解决立体几何

问题的常用方法.

（2）找出相关的直角梯形,构造直角三角形是解题的关键,正棱

台中许多元素都可以在直角梯形中求出.

举一反三

2.（2009?

上海）若等腰直角三角形的直角边长为2,则以一直角边所

在的直线为轴旋转一周所成的几何体的体积是_____.

解析如图,等腰直角三角形旋转而成的旋转体为圆锥.

1

1182

2

R

VS?

hπ?

hπ××2.

2

3

333

8答案3题型三三视图与直观图

【例3】螺栓是由棱柱和圆柱构成的组合体,如下图,画出它的三视图.

分析螺栓是棱柱、圆柱组合而成的,按照画三视图的三大原则

“长对正,高平齐,宽相等”画出.

解该物体是由一个正六棱柱和一个圆柱组合而成的,正视图反映正

六棱柱的三个侧面和圆柱侧面,侧视图反映正六棱柱的两个侧面和圆

柱侧面,俯视图反映该物体投影后是一个正六边形和一个圆中心重

合.它的三视图如下图:

学后反思在绘制三视图时,若相邻两物体的表面相交,表面的交线

是它们的分界线,在三视图中,分界线和可见轮廓线都用实线画出.例

如上图中,表示上面圆柱与下面棱柱的分界线是正视图中的线段AB、

侧视图中的线段CD以及俯视图中的圆.

举一反三

3.2008?

广东将正三棱柱截去三个角如图1所示,A、B、C分别是

△GHI三边的中点得到几何体如图2,则该几何体按图2所示方向的侧

视图为解析由正三棱柱的性质得,侧面AED⊥底面EFD,则侧视图必为直

角梯形,且线段BE在梯形内部.

答案A

题型四几何体的直观图

【例4】12分用斜二测法画出水平放置的等腰梯形的直观图.

分析画水平放置的直观图应遵循以下原则:

1坐标系中∠x′O′y′45°;

2横线相等,即A′B′AB,C′D′CD;

11

3竖线是原来的,即O′E′OE.

22画法1如图1,取AB所在直线为x轴,AB中点O为原点,建立直角坐标

系,…………………………………………………………..3′

画对应的坐标系x′O′y′,使∠x′O′y′45°……….5′

1

2以O′为中点在x′轴上取A′B′AB,在y′轴上取O′E′OE,以E′为中点画

2

C′D′‖x′轴,并使C′D′CD……………10′

3连接B′C′、D′A′,所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的

直观图,如图2……………………………..12′图1图2

学后反思在原图形中要建立适当的直角坐标系,一般取图形中的某

一横线为x轴,对称轴为y轴,或取两垂直的直线为坐标轴,原点可建

在图形的某一顶点或对称中心、中点等.坐标系建得不同,但画法规

则不变,关键是画出平面图形中相对应的顶点.举一反三

4.如图所示,矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图,其中

O′A′6cm,O′C′2cm,则原图形是（）

A.正方形

B.矩形

C.菱形

D.一般的平行四边形

解析∵在直观图中,平行于x轴的边的长度不变,平行于y轴的边

1

2

的长度变为原来的,∴原图中,OA6cm,OD4cm,

2

∴OC6cm,BCAB6cm,∴原图形为菱形.

答案C易错警示

【例】画出如图1所示零件的三视图.

错解图1的零件可看做是一个半圆柱、一个柱体、一个圆柱的组合,

其三视图如图2图1图2

错解分析错误原因是图中各视图都没有画出中间的柱体和圆柱的

交线,画图时应画出其交线.

正解考点演练

ABCD

10.（2010?

潍坊模拟）如图,已知正四棱台ABCD-的上底面

1111

BC

边长为1,下底面边长为2,高为1,则线段的长是_____.

1

O

BD

解析连接上底面对角线的中点和下底面

1

11

OOBOO

BD的中点O,得棱台的高,过点作的平

111

行线交BD于点E,连接CE.在△BCE中,由BC2,

2

BE,∠CBE45°,利用余弦定理可得

2

2

10?

1014

2

BC1?

CE,故在Rt△中易得?

BEC1?

1

2

22?

14

答案211.圆台的两底面半径分别为5cm和10cm,高为8cm,有一个过圆

台两母线的截面,且上、下底面中心到截面与两底面交线的距离分

别为3cm和6cm,求截面面积.

解析如图所示截面ABCD,取AB中点F,CD中点E,连接OF,,

OE

1

EF,,OA,则为直角梯形,ABCD为等腰梯形,EF为梯形ABCD的高,

OEFO

OD

1

1

在直角梯形中,

OEFO

1

2

2EFOOOFOE73（cm）,?

11

22

在Rt△中,∴DEODOE4（cm）,

OED

11

1

22

同理,AFOAOF8（cm）,

1

2

S?

248731273cm梯形ABCD

212.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,轴截面的面积等于

2

cm

392,母线与轴的夹角是45°,求这个圆台的高、母线长和两底面半

径.

解析圆台的轴截面如图所示,设圆台上、下底面半径分别为xcm,3x

AA

cm.延长交的延长线于S,在Rt△SOA中,∠ASO45°,则

1OO

1

∠SAO45°,

∴SOAO3x,x,∴OO2x,

SOAO

1

111

1

S6x2x2x392

又,∴x7.

轴截面

2

OO

故圆台的高114cm,母线长14cm,

l

2

2OO

1

两底面半径分别为7cm,21cm.第二节空间几何体的表面积与体积

基础梳理

1.柱体、锥体、台体的侧面积,就是各侧面面积之和;表面积是各个面

的面积之和,即侧面积与底面积之和.

2.把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形,称为它的展开图,它

的表面积就是展开图的面积.

3.圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积

S2rl,S2rrl;?

圆柱侧柱

Srl,Srrl;?

圆锥侧锥

22

S?

r'rl,S?

r'rr'lrl?

圆台侧台4.柱、锥、台体的体积

1

3

Vabc,Va,VSh,VSh

长方体正方体柱锥

3

1

VS'SSS'h?

台

3

这是柱体、锥体、台体统一计算公式,特别地,圆柱、圆锥、圆台

还可以分别写成:

11

2222

Vrh,Vrh,V?

hr'r'rr?

圆柱圆锥圆台

33

5.球的体积及球的表面积

4

32

设球的半径为R,VR,S4R

球球

3典例分析

题型一几何体的表面积问题

【例1】已知一个正三棱台的两底面边长分别为30cm和20cm,且其侧

面积等于两底面面积之和,求棱台的高.

分析要求正棱台的高,首先要画出正棱台的高,使其包含在某

一个特征直角梯形中,转化为平面问题,由已知条件列出方程,

求解所需的几何元素.

ABCD

O

解如图所示,正三棱台ABC-中,O、分别为两底面中心,D、分

1111

1

BC

别为BC和中点,则为棱台的斜高.

DD

11

1

103

AB3OD

设20,AB30,则OD5,,

1111

3

13

22

SS+S

由,得

20+303DD20+30

下

侧上1

24

13

DD3

∴

1

3

2

2

OODD-ODOD43?

在直角梯形OODD中,

1111

11

∴棱台的高为4cm.

3学后反思1求解有关多面体表面积的问题,关键是找到其特征几何图

形,解决旋转体的表面积问题,要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图.

（2）借助于平面几何知识,利用已知条件求得所需几何要素.

举一反三

1.圆台侧面的母线长为2a,母线与轴的夹角为30°,一个底面的半径是

另一个底面半径的2倍.求两底面的半径与两底面面积之和.

解析如图,设圆台上底面半径为r,则下底面半径为2r,∠ASO30°,

r

在Rt△SO′A′中,sin30°,∴SA′2r.

SA'

2r

在Rt△SOA中,sin30°,∴SA4r.

SA

∴SA-SA′AA′,即4r-2r2a,ra.

2

222

∴SSS?

r?

2r5r5a?

12

2

∴圆台上底面半径为a,下底面半径为2a,两底面面积之和为5a题型二几何体的体积问题

【例2】已知四棱台两底面均为正方形,边长分别为4cm,8cm,侧

棱长为8cm,求它的侧面积和体积.

分析由题意知,需求侧面等腰梯形的高和四棱台的高,然后利用平

面图形面积公式和台体体积公式求得结论.

解如图,设四棱台的侧棱延长后交于点P,则△PBC为等腰三角形,

BC

取BC中点E,连接PE交于点E,则PE⊥BC,EE为侧面等腰梯形的

11

11

高,作PO⊥底面ABCD交上底面于点O,连接OE、OE.

111

在△PBC和△PBC中,

11

PBBC41

111

PBBC82

∴,B为PB的中点,E为PE的中点.

PBBB8

11

11

2222

PEPBBE164415

在Rt△PEB中,

1

EEPE215

1

2在Rt△POE中,

2

222

POPEOE4154414cm1

OOPO214cm

1

2

1

2S4S448215?

4815cm四棱台侧梯形BCCB

11

2

VVV

四棱台四棱锥P-ABCD四棱锥PABCD

1111

11SPOSPO

四边形ABCD四边形ABCD1

1111

33

1122414

222?

8414?

4214cm?

333

学后反思

（1）求棱台的侧面积与体积要注意利用公式以及正棱台中的“特

征直角三角形”和“特征直角梯形”,它们是架起“求积”关系式中的未知量与满

足题设条件中几何图形元素间关系的“桥梁”.

（2）平行于棱台底面的截面分棱台的侧面积与体积比的问题,通常是“还台

为锥”,而后利用平行于棱锥底面的截面性质去解.“还台为锥”借助于轴截面,

将空间问题转化为平面问题,求出相关数据,进行计算.“还台为锥”是解决

棱台问题的重要方法和手段.举一反三

2.如图,在多面体ABCDEF中,已知四边形ABCD是边长为1的正方

形,且△ADE、△BCF均为正三角形,EF‖AB,EF2,则该多面体的

体积为解析如图,分别过A、B作EF的垂线,垂

足分别为G、H,连接DG、CH,易求得

3

1

EGHF,AGGDBHHC,

2

2

122SS1,AGDBHC

224VVVV

EADGFBHCAGDBHC

1211212?

1

3423424

23

2

答案3题型三组合体的体积和表面积问题

【例3】12分如图,在等腰梯形ABCD中,AB2DC2,∠DAB60°,E为AB的

中点,将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起,使A、B重合,求形成三棱

锥的外接球的体积.

分析易知折叠成的几何体为棱长为1的正四

面体,欲求外接球的体积,求其外接球半径即

可.

解由已知条件知,在平面图形中,

AEEBBCCDDADEEC1……………………………….1′

所以折叠后得到一个正四面体.

方法一:

如图,作AF⊥面DEC,垂足为F,F即为△DEC的中心…………3′

取EC中点G,连接DG、AG,过外接球球心O作OH⊥面AEC,则垂足H为△AEC

的中心…………………….5′

∴外接球半径可利用△OHA∽△GFA求得.

23

3

∵AG,∴AHAG,

3

23

2?

36

1?

∴AF,?

…………7′?

33?

在△AFG和△AHO中,根据三角形相似可知,

33AGAH6…………10′

23

OA

AF4

6

3

44666

3?

OA

∴外接球体积为…………….12′

3

3348

方法二:

如图,把正四面体放在正方体中.显然,正四面体的外接球就

是正方体的外接球…………………………..4′

∵正四面体棱长为1,

2

∴正方体棱长为,………………………….6′

2

2

∴外接球直径2R,3…………………10′

2

466

3

6?

?

∴R,∴体积为………………12′

348

4学后反思1折叠问题是高考经常考查的内容之一,解决这类问题要

注意对翻折前后线线、线面的位置关系,所成角及距离加以比较.一

般来说,位于棱的两侧的同一半平面内的元素其相对位置的关系和数

量关系在翻折前后不发生变化,分别位于两个半平面内的元素其相对

位置关系和数量关系则发生变化;不变量可结合原图形求证,变化量

应在折后立体图形中求证.对某些翻折不易看清的元素,可结合原图

形去分析、计算,即将空间问题转化为平面问题.

（2）由方法二可知,有关柱、锥、台、球的组合体,经常是把正方

体、长方体、球作为载体,去求某些量.解决这类问题,首先要把这

些载体图形的形状、特点及性质掌握熟练,把问题进行转化,使运算

和推理变得更简单,体现了转化思想是立体几何中一个非常重要的思

想方法.

举一反三

3.已知正四棱锥的底面边长为a,侧棱长为a.求它的外接球的体积.

2解析设外接球的半径为R,球心为O,则OAOCOS,所以O为△SAC

的外心,即△SAC的外接圆半径就是外接球的半径,

∵ABBCa,∴ACa,

2

∵SASCACa,

2

∴△SAC为正三角形.

由正弦定理,得

AC2a26

2Ra

0

sinASCsin603

6a486

33R,V?

R?

a

球

3327易错警示

涉及组合体问题,关键是正确地作出截面图形,把立体几何问题转化

为平面问题进行解决,解此类问题时往往因不能正确地作出截面图形

而导致错误.

【例】已知球的内接正方体的体积为V,求球的表面积.

错解如图所示,作圆的内接正方形表示正方体的截面,设正方

体的棱长为x,球半径为R,则有

3V,

xx2R,

2

2

232

3

RV,S4R2V

解得

球

2

错解分析过球内接正方体的一个对角面作球的大圆截面,得到一

个矩形,矩形的对角线长为x,不是x.

3

2正解如图所示,过正方体的对角面作球的大圆截面,设正方体的

棱长为x,球半径为R,则有

3V,

xx2R3,

3

232

3

RV,S4R3V

解得

球

2

考点演练

10.（2009?

辽宁）设某几何体的三视图如下（长度单位为m）:

求该几何体的体积.解析三视图所对应的立体图形如图所示.由题意可得平面

PAC⊥平面ABC,

11

3V×4×3×24.m

32

AA

11.如图,一个三棱柱形容器中盛有水,且侧棱8.若侧面水

AABB

1

11

平放置时,液面恰好过AC、BC、、的中点.当底面ABC水平放置

AC

BC

1111

时,液面高为多少?

AABB

解析当侧面水平放置时,水的

11

形状为四棱柱形,底面ABFE为梯形,设

3

SS

△ABC的面积为S,则

ABFE

43

VSAA6S

1

水

4

当底面ABC水平放置时,水的形状为三棱柱形,设水面高为h,则

V

有Sh,∴6SSh,∴h6.

水

故当底面ABC水平放置时,液面高为6.

12.（2009?

广东改编）某高速公路收费站入口处的安全标识墩

如图1所示.墩的上半部分是正四棱锥P-EFGH,下半部分是长方体

ABCD-EFGH.图2、图3分别是该标识墩的正视图和俯视图.

（1）请画出该安全标识墩的侧视图;

（2）求该安全标识墩的体积图1图2图3解析

（1）侧视图同正视图,如图2所示.

（2）该安全标识墩的体积为

1

22

VVV?

40604020

PEFGHABCDEFGH

3

3320003200064000cm第三节空间点、直线、平面之间的位置关系

基础梳理

1.平面的基本性质符号语言

名称文字语言图形

如果一条直线上有两个

Al,Bl,A?

点在一个平面内,那么这

公理1

Bl?

条直线在这个平面内

经过不在同一条直线上A、B、C不共线A、B、

C∈平面α且α是唯一

公理2

的三个点确定一个平面

的

如果不重合的两个平面若P∈α,P∈β,则α∩

有一个公共点,那么它们βa,且P∈a

公理3

有且只有一条过这个点

的公共直线平行于同一条直若a‖b,b‖c,

线的两条直线互则a‖c

公理4

相平行

公推经过一条直线和若点A直线a,

理论1直线外一点,有且则A和a确定一

只有一个平面个平面α

2

推两条相交直线确a∩bP有

的论2定一个平面且只有一个平

推

面α,使a论

α,b?

α

推两条平行直线确a‖b有且

论3定一个平面只有一个平面α,使aα,bα2.空间直线与直线的位置关系

1位置关系相交共面①共面与否平行异面一个公共点:

相交

②公共点个数平行无公共点异面

2公理4平行公理:

平行于同一直线的两条直线互相平行.

3定理:

空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或

互补.（4）异面直线的夹角

①定义:

已知两条异面直线a、b,经过空间任意一点O作直线a′‖a,b′‖b,

我们把两相交直线a′、b′所成的角叫做异面直线a、b所成的角（或夹角）.

②范围:

θ∈（0,].特别地,如果两异面直线所成的角是,我们就?

称这两条直线垂直,记作a⊥b.

2

2

3.空间中的直线与平面的位置关系直线在平面内?

?

有无数个公共点直线与平面相交?

?

有且只有一个公共点直线在平面外直线与平面平行?

?

无公共点4.平面与平面的位置关系

平行?

?

无公共点

相交?

?

有且只有一条公共直线

?

典例分析

题型一点、线、面的位置关系

【例1】下列命题:

①空间不同三点确定一个平面;

②有三个公共点的两个平面必重合;

③空间两两