遍历二叉树的非递归算法.docx
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遍历二叉树的非递归算法
目录
6.1树的定义和基本术语0
6.2二叉树1
6.2.1二叉树的定义1
6.2.2二叉树的性质3
6.2.3二叉树的存储结构4
6.3树和森林5
6.4二叉树的先|中|后序遍历算法6
6.5先|后|中序遍历的应用扩展8
6.5.1基于先序遍历的二叉树（二叉链）的创建8
6.5.2统计二叉树中叶子结点的数目8
6.5.3求二叉树的高度9
6.5.4释放二叉树的所有结点空间10
6.5.5删除并释放二叉树中以元素值为x的结点作为根的各子树11
6.5.6求位于二叉树先序序列中第k个位置的结点的值11
6.5.7线索二叉树12
6.5.8树和森林的遍历13
6.6二叉树的层次遍历15
6.7判断一棵二叉树是否为完全二叉树16
6.8哈夫曼树及其应用17
6.8.1最优二叉树（哈夫曼树）17
6.8.2哈夫曼编码17
6.9遍历二叉树的非递归算法18
6.9.1先序非递归算法18
6.9.2中序非递归算法18
6.9.3后序非递归算法19
第6章二叉树和树
6.1树的定义和基本术语
1、树的递归定义
1）结点数n=0时，是空树
2）结点数n>0时
有且仅有一个根结点、m个互不相交的有限结点集——m棵子树
2、基本术语
结点：
叶子（终端结点）、根、内部结点（非终端结点、分支结点）；
树的规模：
结点的度、树的度、结点的层次、树的高度（深度）
结点间的关系：
双亲
（1）—孩子（m），祖先—子孙，兄弟，堂兄弟
兄弟间是否存在次序：
无序树、有序树
去掉根结点
非空树森林
引入一个根结点
3、树的抽象数据类型定义
树特有的操作：
查找：
双亲、最左的孩子、右兄弟
结点的度不定，给出这两种操作可以查找到一个结点的全部孩子
插入、删除：
孩子
遍历：
存在一对多的关系，给出一种有规律的方法遍历（有且仅访问一次）树中的结点
ADTTree{
数据对象：
D={ai|ai∈ElemSet,i=1,2,…,n,n≥0}
数据关系：
若D为空集，则称为空树；
若D仅含一个数据元素，则R为空集，否则R={H}，H是如下二元关系：
（1）在D中存在唯一的称为根的数据元素root，它在关系H下无前驱；
（2）若D-{root}≠Ф，则存在D-{root}的一个划分D1,D2,…,Dm（m>0）（Di表示构成第i棵子树的结点集），对任意j≠k（1≤j,k≤m）有Dj∩Dk=Ф，且对任意的i（1≤i≤m），唯一存在数据元素xi∈Di,有∈H（H表示结点之间的父子关系）；
（3）对应于D-{root}的划分，H-{,…,}有唯一的一个划分H1,H2,…,Hm（m>0）（Hi表示第i棵子树中的父子关系），对任意j≠k（1≤j,k≤m）有Hj∩Hk=Ф，且对任意i（1≤i≤m），Hi是Di上的二元关系，（Di,{Hi}）是一棵符合本定义的树，称为根root的子树。
基本操作：
InitTree（&T）
操作结果：
构造空树T
DestroyTree（&T）
初始条件：
树T已存在
操作结果：
销毁树T
ClearTree（&T）
初始条件：
树T已存在
操作结果：
将树T清为空树
TreeEmpty（T）
初始条件：
树T已存在
操作结果：
若T为空树，则返回TRUE，否则返回FALSE
TreeDepth（T）
初始条件：
树T已存在
操作结果：
返回树T的深度
Root（T）
初始条件：
树T已存在
操作结果：
返回T的根
Value（T,cur_e）
初始条件：
树T已存在，cur_e是T中某个结点
操作结果：
返回cur_e的值
Assign（T,&cur_e,value）
初始条件：
树T已存在，cur_e是T中某个结点
操作结果：
结点cur_e赋值为value
Parent（T,cur_e）
初始条件：
树T已存在，cur_e是T中某个结点
操作结果：
若cur_e是T的非根结点，则返回它的双亲，否则函数值为“空”
LeftChild（T,cur_e）
初始条件：
树T已存在，cur_e是T中某个结点
操作结果：
若cur_e是T的非叶子结点，则返回它的最左孩子，否则返回“空”
RightSibling（T,cur_e）
初始条件：
树T已存在，cur_e是T中某个结点
操作结果：
若cur_e有右兄弟，则返回它的右兄弟，否则返回“空”
InsertChild（&T,p,i,c）
初始条件：
树T已存在，p指向T中某个结点，1≤i≤p所指结点的度+1，非空树c与T不相交
操作结果：
插入c为T中p所指结点的第i棵子树。
DeleteChild（&T,p,i）
初始条件：
树T已存在,p指向T中某个结点，1≤i≤p所指结点的度
操作结果：
删除T中p所指结点的第i棵子树。
TraverseTree（T,visit（））
初始条件：
树T已存在，visit是对结点操作的应用函数
操作结果：
按某种次序对T的每个结点调用函数visit（）一次且至多一次。
一旦visit（）失败，则操作失败
}ADTTree
6.2二叉树
一般树的度不定，直接考虑其操作比较困难，故首先考虑度为二的树。
这里引入二叉树。
6.2.1二叉树的定义
1、二叉树的特殊性
·0≤度≤2
·子树有左右之分（子树的个数=1或2时）
注意：
0≤度≤2的有序树≠二叉树
当某个结点只有一棵子树时，不存在序的概念
2、二叉树的抽象数据类型定义
二叉树相对树的特殊性：
最左的孩子、右兄弟左孩子、右孩子
遍历的规律性：
L（左子树）、D（根）、R（右子树）的排列上
限定为L在R前访问（有对称关系的，只须考虑其中的一种）
ADTBinaryTree{
数据对象：
D={ai|ai∈ElemSet,i=1,2,…,n,n≥0}
数据关系：
若D为空集，则称为空树；
若D仅含一个数据元素，则R为空集，否则R={H}，H是如下二元关系：
（1）在D中存在唯一的称为根的数据元素root，它在关系H下无前驱；
（2）若D-{root}≠Ф，则存在D-{root}的一个划分DL,DR（左、右子树的结点集），且DL∩DR=Ф；
（3）若DL≠Ф，则DL中存在唯一元素xL,有∈H（H表示结点之间的父子关系），且存在DL上的关系HL
H；若DR≠Ф，则DR中存在唯一元素xR,有∈H，且存在DR上的关系HR
H；
（3）（DL,{HL}）是一棵符合本定义的二叉树，称为根的左子树；（DR,{HR}）是一棵符合本定义的二叉树，称为根的右子树。
基本操作：
InitBiTree（&T）
操作结果：
构造空二叉树T
DestroyBiTree（&T）
初始条件：
二叉树T已存在
操作结果：
销毁二叉树T
ClearBiTree（&T）
初始条件：
二叉树T已存在
操作结果：
将二叉树T清为空树
BiTreeEmpty（T）
初始条件：
二叉树T已存在
操作结果：
若T为空二叉树，则返回TRUE，否则返回FALSE
BiTreeDepth（T）
初始条件：
二叉树T已存在
操作结果：
返回二叉树T的深度
Root（T）
初始条件：
二叉树T已存在
操作结果：
返回T的根
Value（T,cur_e）
初始条件：
二叉树T已存在，cur_e是T中某个结点
操作结果：
返回cur_e的值
Assign（T,&cur_e,value）
初始条件：
二叉树T已存在，cur_e是T中某个结点
操作结果：
结点cur_e赋值为value
Parent（T,cur_e）
初始条件：
二叉树T已存在，cur_e是T中某个结点
操作结果：
若cur_e是T的非根结点，则返回它的双亲，否则函数值为“空”
LeftChild（T,cur_e）
初始条件：
二叉树T已存在，cur_e是T中某个结点
操作结果：
若cur_e是T的非叶子结点，则返回它的左孩子，否则返回“空”
RightChild（T,cur_e）
初始条件：
二叉树T已存在，cur_e是T中某个结点
操作结果：
若cur_e有右孩子，则返回它的右孩子，否则返回“空”
LeftSibling（T,cur_e）
初始条件：
二叉树T已存在，cur_e是T中某个结点
操作结果：
返回cur_e的左兄弟，若cur_e是T的左孩子或无左兄弟，则返回“空”
RightSibling（T,cur_e）
初始条件：
二叉树T已存在，cur_e是T中某个结点
操作结果：
返回cur_e的右兄弟，若cur_e是T的右孩子或无右兄弟，则返回“空”
InsertChild（&T,p,LR,c）
初始条件：
二叉树T已存在，p指向T中某个结点，LR为0或1，非空二叉树c与T不相交
操作结果：
插入c为T中p所指结点的左或右子树。
p所指结点的原有左或右子树则成为c的右子树
DeleteChild（&T,p,LR）
初始条件：
二叉树T已存在，p指向T中某个结点，LR为0或1
操作结果：
根据LR为0或1，删除T中p所指结点的左或右子树。
PreOrderTraverse（T,visit（））
初始条件：
二叉树T已存在，visit是对结点操作的应用函数
操作结果：
先序遍历T，对每个结点调用函数visit（）一次且仅一次。
一旦visit（）失败，则操作失败
InOrderTraverse（T,visit（））
初始条件：
二叉树T已存在，visit是对结点操作的应用函数
操作结果：
中序遍历T，对每个结点调用函数visit（）一次且仅一次。
一旦visit（）失败，则操作失败
PostOrderTraverse（T,visit（））
初始条件：
二叉树T已存在，visit是对结点操作的应用函数
操作结果：
后序遍历T，对每个结点调用函数visit（）一次且仅一次。
一旦visit（）失败，则操作失败
LevelOrderTraverse（T,visit（））
初始条件：
二叉树T已存在，visit是对结点操作的应用函数
操作结果：
层序遍历T，对每个结点调用函数visit（）一次且仅一次。
一旦visit（）失败，则操作失败
}ADTBinaryTree
6.2.2二叉树的性质
1、性质1：
第i层至多有2i-1个结点（由每个结点最多只有2个孩子推出）
2、性质2：
深度为k的二叉树至多有2k-1个结点（由性质1，将各层最多的结点数累加，再结合等比数列的求和得出）
思考：
深度为k的二叉树至少有多少个结点？
（k个）深度为k的b叉树至多/至少有多少个结点？
（（bk-1）/（b-1），k）
3、性质3：
n0=n2+1（ni表示二叉树中度为i的结点个数）
从两个角度考虑：
二叉树中结点的构成（根据度）n=n0+n1+n2
二叉树中充当其余结点的孩子的结点数n-1（去掉根）=n1+2×n2
满二叉树：
达到性质1,2中所述的最大值情况
完全二叉树：
去掉最下一层的结点，其余结点形成一棵满二叉树；叶子集中在最下2层（或1层），最下一层的结点总是尽可能地占满左边的位置
4、性质4：
具有n个结点的完全二叉树的深度为
5、性质5：
结点间的编号关系
考虑二叉树的顺序映像问题，寻求一种将二叉树映像为向量的方法：
对完全二叉树从上至下，从左至右，从根开始依次编号（1..n）。
孩子编号
双亲编号
求双亲
i
i/2（>0）
求孩子
左：
2*i（2*i+1（i
右孩子编号
左孩子编号
求左兄弟
i（奇数，i>1）
i-1（>0）
求右兄弟
i+1（i（偶数，i思考：
满k叉树中结点间的编号关系？
孩子编号
双亲编号
求双亲
p
（k≥2）
求第i个孩子
p·k+i-（k-1）（p
结点
结点的左兄弟
求左兄弟
p（（p-1）%k≠1）
p-1（>0）
求右兄弟
p+1（p（（p-1）%k≠0）
6.2.3二叉树的存储结构
1、二叉树的顺序存储结构
1）方法
二叉树→补虚结点形成完全二叉树→自上而下、自左至右存储
2）类型定义
#defineMAX_TREE_SIZE100/*二叉树的最大结点数*/
typedefElemTypeSqBiTree[MAX_TREE_SIZE];/*0号单元存储根结点*/
必须引入特殊符号表示虚结点的值
上述类型定义的缺陷：
未指明实际二叉树占用的长度，可改进为：
typedefstruct{
ElemTypeelem[MAX_TREE_SIZE+1];/*1号单元存储根结点*/
intlength;
}SqBiTree;
3）不足：
空间的利用率不高
如：
若深度为5且仅含有5个结点的二叉树，必须要占用24~25-1空间。
rchild
lchild
parent
2、二叉树的链式存储结构
1）引入辅助空间表示结点间的相对关系
双亲
（1）——孩子
（2）（如右图）
lchild
data
rchild
parent
lchild
data
rchild
二叉链表三叉链表
若需要找指定结点的双亲，则用三叉链表可在O
（1）时间内获得某结点的双亲；而用二叉链表则需从根开始，采用一定的巡查方法进行搜索。
2）二叉链表的类型定义
typedefstructBiTNode{
ElemTypedata;
structBiTNode*lchild,*rchild;/*左右孩子指针*/
}BiTNode,*BiTree;
3）二叉链表的链域
若有n个结点，则共有2n个链域；其中n-1不为空，指向孩子。
4）二叉树（链式存储）的创建
输入序列与二叉树的映射关系
（1）完全二叉树的顺序映射
通过补虚结点，将一般的二叉树转变成完全二叉树，再对该完全二叉树的结点按自上而下、自左至右进行输入。
（2）二叉树的先序遍历
通过补虚结点，使二叉树中各实际结点均具有左右孩子，再对该二叉树按先序遍历进行输入。
（3）二叉树的两种遍历序列：
先序+中序，后序+中序
6.3树和森林
1、树的存储结构
1）双亲表示法
针对每一结点，附设指示其双亲位置的数据域。
采用顺序表（非顺序映像）。
#defineMAX_TREE_SIZE100/*树的最大结点数*/
typedefstructPTNode{
ElemTypedata;
intparent;
}PTNode;
typedefstruct{
PTNodenodes[MAX_TREE_SIZE];
intn;/*结点数*/
}PTree;
2）孩子表示法
各结点的孩子数是不定的，用顺序表表示必须给出树的度的最大值，以及每一结点的实际度数，空间浪费大。
故以链表存储每一结点的所有孩子的位置信息。
typedefstructCTNode{/*孩子结点*/
intchild;/*孩子结点的位置编号*/
structCTNode*next;/*下一个孩子结点*/
}*ChildPtr;
typedefstruct{
TElemTypedata;
ChildPtrfirstchild;/*孩子链表的头指针*/
}CTBox;
typedefstruct{
CTBoxnodes[MAX_TREE_SIZE];
intn,r;/*结点数和根的位置*/
}CTree;
3）孩子兄弟法
二叉链表表示。
针对每一结点，引入其第一个孩子和下一个右兄弟的位置域。
typedefstructCSNode{
ElemTypedata;
structCSNode*firstchild,*nextsibling;/*第一个孩子、下一个兄弟指针*/
}CSNode,*CSTree;
2、森林与二叉树的转换
森林用孩子兄弟法表示，形成二叉链表，可以将它理解为一个二叉树的二叉链表；
二叉树用二叉链表表示，可以将该二叉链表理解为孩子兄弟链表，从而获得森林。
6.4二叉树的先|中|后序遍历算法
1、遍历
·对于二叉树中的结点，有且仅访问一次
·遍历的规律性：
L（左子树）、D（根）、R（右子树）的排列上
限定L在R前访问（有对称关系的，只须考虑其中的一种）
·先（根）序遍历DLR
·中（根）序遍历LDR
·后（根）序遍历LRD
2、二叉树遍历的递归实现
二叉树的递归定义性质，决定了它的很多算法都可用递归实现，遍历就是其中之一。
对于二叉树的遍历，可以不去具体考虑各子问题（左子树、根、右子树）的遍历结果是什么，而去考虑如何由各子问题的求解结果构成原问题（二叉树）的遍历结果——递归规律的确定。
必须注意的是，当二叉树小到一定程度，即空树时，应直接给出解答——递归结束条件及处理。
三种遍历的区别（右图）：
所经过的搜索路线是相同的；只是访问结点的时机不同。
每一结点在整个搜索路线中会经过3次（第一次进入到该结点、由左子树回溯到该结点、由右子树回溯到该结点），如在第一次遇到时就访问该结点，那么称之为先序；第二次经过时访问为中序；第三次经过时访问则为后序。
1）先序遍历
StatusPreOrderTraverse（BiTreeT,Status（*Visit）（ElemTypee））{
if（T!
=NULL）{
if（Visit（T->data））
if（PreOrderTraverse（T->lchild,Visit））
if（PreOrderTraverse（T->rchild,Visit））
returnOK;
returnERROR;
}
elsereturnOK;
}
2）后序遍历
StatusPostOrderTraverse（BiTreeT,Status（*Visit）（ElemTypee））{
if（T!
=NULL）{
if（PostOrderTraverse（T->lchild,Visit））
if（PostOrderTraverse（T->rchild,Visit））
if（Visit（T->data））
returnOK;
returnERROR;
}
elsereturnOK;
}
3）中序遍历
StatusInOrderTraverse（BiTreeT,Status（*Visit）（ElemTypee））{
if（T!
=NULL）{
if（InOrderTraverse（T->lchild,Visit））
if（Visit（T->data））
if（InOrderTraverse（T->rchild,Visit））
returnOK;
returnERROR;
}
elsereturnOK;
}
6.5先|后|中序遍历的应用扩展
利用二叉树的遍历算法，适当修改访问结点操作的内容，可以得到求解许多问题的算法。
✧二叉树的创建（基于先序遍历）
✧二叉树的线索化
✧查找指定结点：
在访问结点时，判断当前访问的结点是否是指定的结点，若是则返回该结点位置，否则继续遍历；
✧查找位于某种遍历次序中的第k位的结点：
遍历前，引入一计数器，用来统计已访问过的结点数，初值为0；在访问结点时，将该计数器增1，并看是否达到k，……；
✧求叶子结点的数目：
遍历前，引入叶子结点计数器，初值为0；访问结点时，将该计数器增1；遍历结束，则计数器中的值即为所求解；
✧判断二叉树中是否仅包含有度为2和0的结点：
访问结点时，判断该结点孩子的有无情况，……
✧求指定结点的层次：
孩子结点的层次比其双亲结点层次多一；
✧求二叉树的高度：
二叉树的高度=max（左子树的高度,右子树的高度）+1
6.5.1基于先序遍历的二叉树（二叉链）的创建
【本例特征】
如何基于二叉树的先序、中序、后序遍历的递归算法进行问题求解？
【思路】
先序遍历PreOrderTraverse
创建CreateBiTree
输入
二叉链表示的二叉树的头指针T
带虚结点的先序序列ch
输入的表现方式
参数
由输入设备输入scanf（&ch）
输出
对结点的访问结果
二叉链表示的二叉树的头指针T
输出的表现方式
由输出设备输出
变参
空树（递归结束）的条件及处理
（直接求解）
T==NULL
ch==END_DATA（表示虚结点的值）
空
T=NULL
根结点的访问
（子问题直接求解）
Visit（T->data）
T=（BiTree）malloc（sizeof（BiTNode））
T->data=ch
左子树
（使用递归调用的解）
PreOrderTraverse（T->lchild）
CreateBiTree（T->lchild）
右子树
（使用递归调用的解）
PreOrderTraverse（T->rchild）
CreateBiTree（T->rchild）
【算法】见《数据结构（C语言版）》P131算法6.4。
6.5.2统计二叉树中叶子结点的数目
【本例特征】
如何通过全局变量、变参、返回值三种渠道返回处理结果？
【思路】
在遍历二叉树时，对一些特殊的结点（无左右孩子）进行计数。
可以修改遍历算法的结点访问操作为对特殊结点的判定和计数过程，需要注意的是计数器的处理方式。
可以有以下几种计数处理：
·用遍历函数的返回值传出求得的叶子结点的数目；
·为遍历函数增加一个引用参数，用来传出指定二叉树的叶子结点数目。
·引入全局的计数器，初始为0；
此处，遍历次序的选择对本算法没有太大影响。
【算法1全局的计数器】
//n为叶子结点的计数器
intn=0;
voidleaf（BiTreeT）
{//利用二叉树的先序遍历
if（T!
=NULL）{
//访问结点->叶子的判定和计数
if（T->lchild==NULL&&T->rchild==NULL）n++;
leaf（T->lchild）;
leaf（T->rchild）;
}
}//调用结束，即可由n获得二叉树T的叶子结点数目，需注意下次调用前须n=0;
【算法2以函数返回值返回】
//函数值为T的叶子结点数
intleaf（BiTreeT）
{//利用二叉树的中序遍历,n为局部变量
n
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