高数练习题.docx
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高数练习题
函数、极限与连续练习题
、单选题
连续点B、可去间断点C、跳跃间断点D、无穷间断点
6、当xr0时，sinxx2与x比较是（）°
A、较高阶的无穷小B、较低阶无穷小
C、等价无穷小D、同阶无穷小
7、当x>0时，a厂x-1^x是无穷小量，则（）
A、a是比2x高阶的无穷小B、a是比2x低阶的无穷小
C、a与2x是同阶但不等价的无穷小D、a与2x是等价的无穷小
8、函数y=xInx…•x2•1,x•R是（）°
A、偶函数B、奇函数C、非奇非偶函数D、不能确定
9、已知当x>0时,
1
1ax23-1与cosx-1是等价无穷小，则a的值为
10、若limfx存在，则（）°
XX
e_e_
11、函数y匕％的反函数是（
e+e一
二、填空题
5、
sin（x—2lim2
x2x-4
lim1j"bx32一2,
x—门Xx1
sinx
y=ex的连续区间是
X2x-1
2
16、
3x5.
limsin=
x—「’5x6x
17、
设fex=x,x0,
_1
，贝Ufsinxa
1
19、
2
fx1=x3x5,则fx-1=
20、
arcsinx-1小”
2，贝UX=1点是f（X）的
x-1
间断点。
21、
（lim-x1x-1
计算题
1、计算lim3
xQ.x31
、求极限lim'—―-
xy（x+1./
的值。
x2-x'1
3、求lim2—1
XT：
4x-2
xsinx
、求极限啊亍。
—
-arctanx
5、求lim2
的值。
6
xJ-：
:
1
x
JI
、计算lim注零
x0In1x3
7、
-3x2
~7。
-x-x1
r、CSCX
、求pm1sinx的值。
9、
计算lim
x]0
/7x_x
e—e
8sin3x
-（ex-1）cos-。
10、求lim
x10si
.22inxx
11、求lim-
n—.、n
1
2~
n21
n21
的值。
12、求lim1_2x—3。
x>4
2x2
13、求lim2
x4x-2
In12x
、求lim
x10d-3x-1
的值。
导数与微分练习题
、单选题
fX。
2h-fX。
=（）h
A、0B、1C、2D、-2
1一一
4、设曲线y2在点M处的切线平行于X轴，则点M的坐标为（）。
1+x
f1）f1）
A、！
I：
B、11，iC、0,1D、0,—1
5、设fX在点X=X0处可导，且
fX。
=-2，则帆
）。
11
A、B、2C、D、-2
22
6、设曲线y=x2，x-2在点M处的切线斜率未3,则点M的坐标为（）。
A、1,0B、-1,0C、2,4D、-2,0
7、设y二f：
；：
-2x，则y二（）。
A、f~2xiB、-f_2xiC、2f_2xiD、-2f_2xj
8、设fx=lnsinx，则dy二（）。
1
A、dXB、-cotxdxC、cotxdxD、tanxdx
sinx
为（
A、
A、
（c为常数）。
A、F,xF2x=c
、必为
22224
A、6sec2xb、6tan2xsec2xc、3sin2xcos2xd、6tan2x
A、y1=2xB、y=2x1C、y=2x-3D
A、
填空题
3、
4、
设y=f（Inx）efF，其中f可微，贝Udy=
曲线在点12,0处的切线方程为
2x
6、曲线y=X・43厂X在点2,6处的法线方程为
dx
1、
8、y=x31nx,（x>0），贝Uy（4）=。
9、函数fx=x3上点处切线斜率为3。
10、设y=in13-，则dy二。
11、设函数fx=艮•a与gx=bx2c都通过点：
；厂1,0且在点［-1,0有公切线，则
a—，b—，c二。
2
12、设y二lnlnx，贝qdy二。
13、设y二fsinx2,f为可导函数，则史二。
、计算题
y=xarctanx-ln1x2的导数y。
2、
y=xsinx的导数y°
3、求y=lncos
dx
4、求与抛物线y=x2-2x5上连接两点P（1,4）与Q（3,8）的弦平行，且与抛物线相切的直线方程。
5、求由参量方程
x=acost
{3,所确定的函数的一阶导数
y二asint
dy和二阶导数歸
6、设
匸X=td
f
y=e（t_1）
dx2
7、求幕指函数y=xx（x0）的导数。
22y
8、已知ln（x+y）=arctan丄，求y。
x
32
9、已知函数f（x）=4xaxbx5的图像在x=1处的切线方程为y=-12x，且f
（1）--12，①求
函数f（x）的解析式；②求函数f（x）在［-3,1］上的最值。
10、已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d的图像过点P（0，2），且在点M（-1，f（―1））处的切线方程为6^y7=0。
①求函数y二f（x）的解析式；②求函数y二f（x）的单调区间。
1、
2、
3、
4、
5、
6、
7、
9、
、单选题
导数的应用练习题
函数y二fx点xo处取得极大值，则必有（
A、
fXo=0,fXo0
fXo]=o,fXo-0
fx在a,b内二阶可导，且
单调增加且是凸的单调减少且是凸的
曲线f=xe」在（
A、
B、
D、
在［-匚?
2上曲线为凹的,
在-:
：
2上曲线为凸的,
、fXo:
:
:
0
、fXo=0且fXo不存在
fXo0,fXo：
：
0,则fx在a,b内（）°
、单调增加且是凹的
、单调减少且是凹的
在2,•:
:
上曲线是凸的;
在2,•:
:
上曲线是凹的;
在［-匚&「•［上曲线为凸的;
在［一匚比•：
：
上曲线为凹的。
曲线fx［=eX-x在区间
A、单调增加且是凹的
C、单调减少且是凹的
方程ex-x-1=0（
0内是（
、单调增加且是凸的
、单调减少且是凸的
A、没有实根
C、有且共有两个不同的实根
、有且仅有一个实根
、由三个不同的实根
F列函数中，在1-1,11上满足罗尔定理条件的是（
A、Inx2B、
1
C、COSXD、
x2+1
曲线y=（x—12（x—3f的拐点个数是（
A、
fx=x-12x1,
增加，曲线是凹的增加，曲线是凸的
x€（-oa,址），则在区间''11内,
12'丿
fX单调（
、减少，曲线是凹的
、减少，曲线是凸的
设函数fx在x=0的某邻域内可导，且
f0i=0,lim—X
xtsinx
1
，则（
C、f0是fx的一个极大值D、f0是fX的一个极小值
10、f（x）二（x1）（x2）（x3），则方程f（x）=0（）
A、仅有一个实根B、有两个实根C、有三个实根D、无实根
132
11、函数fx］=—x-3x9x在区间1.0,4］上哪一点处的值最大（）。
3
A、4B、0C、2D、3
二、填空题
1、函数fx=x_sinx在区间0,二上。
（填单调递增或递减）
2、函数fx=x3-3x2-9x1在［-2,6］上的最大值是。
3、求函数y=2x3，3x2-12x1的单调递增区间是。
4、曲线y=3x5-5x3有个拐点。
5、求y=2x3-6x2-18x-7,x•1,4】的最大值点。
6、曲线y=x2丄的凸区间为。
7、求y=x2cosx在区间0,—上的最大值是。
〔2」
211
是极大值，则
8、已知曲线y=fx上任意点的切线斜率为3x2-3x-6，且当x--1时，丫=三
fx=。
三、计算题1、求函数y=x-lnx1的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间。
2、一房地产公司有50套公寓要出租，当月租金定位2000元时，公寓会全部租出去，当月租金每增加100
元时，就会多一套公寓租不出去，而租出去的公寓每套每月需花费200元的维修费，试问租金定位多少时，
可获得最大收入？
最大收入是多少？
x3
3、已知函数y2，求
（X-1）
（1）函数的增减区间和极值；
）函数图形的凹凸区间及拐点;
（3）函数图形的渐近线。
X
4、求函数y2的单调区间、极值、凹凸区间和拐点。
1+X2
2
5、求函数fX〕：
〔X-1X3的单调区间与极值点。
6、求函数fx=x'-2x2•x-1在1.0,21上的极值，最大值、最小值。
7、（经济管理类的做）某商品的需求函数为Z=ZP=75_P2,（P为价格）
（1）求P=4的边际意义；
（2）P=4时需求价格的弹性的经济意义；
（3）当P为多少时，总收益最大？
最大值是多少？
四、证明题
1、设ab0，求证：
生边：
：
|门©：
：
空丸。
abb
2
2、证明：
设x1，求证：
x-1lnx_x-1。
3、试证明：
对任意自然数n>1，方程xn+xnJL+"|+x=1在f-,1内有唯一实根。
辽丿
4、试证明：
当x>>1时，ln（x+Ji十x2）>”x。
Jl+x2
5、设f（X）在0,11连续，在0,1可导，且f01=f1］=0,求证：
存在匚三［0,1，使f1；］：
1。
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