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素理想环

正式定义[编辑]

∙环R的理想P是素理想，当且仅当它是一个真理想（也就是说，P≠R），且对于R的任何两个理想A和B使得AB⊆P，都有A⊆P或B⊆P。

交换环的素理想[编辑]

素理想对交换环有一个较简单的描述：

如果R是一个交换环，那么R的理想P是素理想，如果它具有以下两个性质：

∙只要a，b是R的两个元素，使得它们的乘积ab位于P内，那么要么a位于P内，要么b位于P内。

∙P不等于整个环R。

这推广了素数的以下性质：

如果p是一个素数，且p能整除两个整数的乘积ab，那么p要么能整除a，要么能整除b。

因此，我们可以说：

正整数n是素数，当且仅当理想nZ是Z的素理想。

例子[编辑]

∙如果R表示复系数二元多项式环C[X,Y]，那么由多项式Y2−X3−X−1生成的理想是素理想（参见椭圆曲线）。

∙在整系数多项式环Z[X]中，由2和X生成的理想是素理想。

它由所有系数项为偶数的多项式组成。

∙在任何环R中，极大理想是一个理想M，它是R的所有真理想的集合中的极大元，也就是说，M包含在R的正好两个理想内，即M本身和整个环R。

每一个极大理想实际上是素理想；在主理想整环中，每一个非零的素理想都是极大的，但这一般不成立。

∙如果M是光滑流形，R是M上的光滑函数环，而x是M中的一个点，那么所有满足f（x）=0的光滑函数f形成了R内的一个素理想（甚至是极大理想）。

性质[编辑]

∙交换环R中的理想I是素理想，当且仅当商环R/I是整环。

∙环R的理想I是素理想，当且仅当R\I在乘法运算下封闭。

∙每一个非零的交换环都含有至少一个素理想（实际上它含有至少一个极大理想），这是克鲁尔定理的一个直接结果。

∙一个交换环是整环，当且仅当{0}是一个素理想。

∙一个交换环是域，当且仅当{0}是唯一的素理想，或等价地，当且仅当{0}是一个极大理想。

∙一个素理想在环同态下的原像是素理想。

∙两个素理想的和不一定是素理想。

例如，考虑环

，它的素理想为P=（x2+y2-1）和Q=（x）（分别由x2+y2-1和x生成）。

然而，它们的和P+Q=（x2+y2-1,x）=（y2-1,x）不是素理想。

注意商环具有零因子意味着不是整环，因此P+Q不能是素理想。

非交换环的素理想[编辑]

如果R是非交换环，那么R的理想P是素理想，如果它具有以下两个性质：

∙只要a，b是R的两个元素，使得对于R的所有元素r，它们的乘积arb都位于P内，那么要么a位于P内，要么b位于P内。

∙P不等于整个环R。

对于交换环，这个定义等价于前面所述的定义。

对于非交换环，这两个定义是不同的。

使ab位于P内意味着a或b位于P内的理想称为完全素理想。

完全素理想是素理想，但反过来不成立。

例如，n×n矩阵环中的零理想是素理想，但不是完全素理想。

例子[编辑]

∙任何极大理想都是素理想。

∙任何本原理想都是素理想。

∙任何素环的零理想都是素理想。

参考文献[编辑]

∙DavidS.DummitandRichardM.Foote.AbstractAlgebra第三版.JohnWiley&Sons,Inc.2004年:

第255–256页.

环的定义类似于可交换群，只不过在原来“+”的基础上又增添另一种运算“·”（注意我们这里所说的+与·一般不是通常意义下我们所熟知的加法和乘法）。

在抽象代数中，研究环的分支为环论。

[隐藏]

1定义

∙1.1基本性质

2环的相关概念

∙2.1特殊的环

∙3例子

4环的理想

∙4.1示例

∙4.2基本性质

∙4.3相关概念

∙5有关环的其它概念

定义[编辑]

集合R和定义于其上的二元运算+和·，（R,+,·）构成一个环，若它们满足：

1（R,+）形成一个交换群，其单位元称为零元素，记作‘0’。

即：

∙（R,+）是封闭的

∙（a+b）=（b+a）

∙（a+b）+c=a+（b+c）

∙0+a=a+0=a

∙∀a∃（−a）满足a+−a=−a+a=0

2（R,·）形成一个半群，即：

∙（a·b）·c=a·（b·c）

∙（R,·）是封闭的

3乘法关于加法满足分配律：

∙a·（b+c）=（a·b）+（a·c）

∙（a+b）·c=（a·c）+（b·c）

其中，乘法运算符·常被省略，所以a·b可简写为ab。

此外，乘法是比加法优先的运算，所以a+bc其实是a+（b·c）。

基本性质[编辑]

考虑一个环R，根据环的定义，易知R有以下性质：

∙∀a∈R，a·0=0·a=0；（这也是为什么0作为加法群的单位元，却被称为“零元素”）

∙∀a，b∈R，（-a）·b=a·（-b）=-（a·b）；

环的相关概念[编辑]

特殊的环[编辑]

幺环

若环R中，（R,·）构成幺半群。

即：

∃1∈R，使得∀a∈R，有1·a=a·1=a。

则R称为幺环。

此时幺半群（R,·）的幺元1，亦称为环R的幺元。

交换环

若环R中，（R,·）还满足交换律，从而构成交换半群，即：

∀a，b∈R，有ab=ba，则R称为交换环。

无零因子环

若R中没有非0的零因子，则称R为为无零因子环。

∙此定义等价于以下任何一条：

∙R\{0}对乘法形成半群；

∙R\{0}对乘法封闭；

∙R中非0元素的乘积非0；

整环

无零因子的交换幺环称为整环。

例：

整数环，多项式环

唯一分解环

若整环R中每个非零非可逆元素都能唯一分解，称R是唯一分解环.

除环

若环R是幺环，且R\{0}对R上的乘法形成一个群，即：

∀a∈R\{0}，∃a^{-1}∈R\{0}，使得a^{-1}·a=a·a^{-1}=1。

则R称为除环。

∙除环不一定是交换环。

反例：

四元数环。

∙交换的除环是体。

主理想环

每个理想都是主理想的整环称为主理想环。

单环

若幺环R中的极大理想是零理想，则称R为单环。

商环

质环

例子[编辑]

∙集环：

非空集的集合R构成一个环，当且仅当它满足以下几个条件中任何一个：

∙R对集合的并和差运算封闭，即：

∀E，F∈R⇒E∪F∈R，E-F∈R；

∙R对集合的交和对称差运算封闭，即：

∀E，F∈R⇒E∩F∈R，E△F∈R；

∙R对集合的交，差以及无交并运算封闭。

这样得到的集环以交为乘法，对称差为加法；以空集为零元，并且由于∀E∈R，E∩E=E·E=E，因此它还是布尔环。

∙整数环是一个典型的交换且含单位环。

∙有理数环，实数域，复数域都是交换的含单位元环。

∙所有项的系数构成一个环A的多项式全体A[X]是一个环。

称为A上的多项式环。

∙n为正整数，所有n×n的实数矩阵构成一个环。

环的理想[编辑]

主条目：

理想

考虑环（R,+,），依环的定义知（R,+）是阿贝尔群。

集合I⊆R，考虑以下条件：

4（I,+）构成（R,+）的子群。

5∀i∈I，r∈R，有i·r∈I。

6∀i∈I，r∈R，有r·i∈I。

若I满足条件1，2则称I是R的右理想；若I满足条件1，3则称I是R的左理想；若I满足条件1，2，3，即I既是R的右理想，也是R的左理想，则称I为R的双边理想，简称理想。

示例[编辑]

∙整数环的理想：

整数环Z只有形如的nZ理想。

基本性质[编辑]

∙在环中，（左，右，双边）理想的和与交仍然是（左，右，双边）理想。

∙在除环中，（左，右）理想只有平凡（左，右）理想。

∙对于环R的两个理想A，B，记

。

则由定义易知：

6若A是R的左理想，则AB是R的左理想；

6若B是R的右理想，则AB是R的右理想；

6若A是R的左理想，B是R的右理想，则AB是R的双边理想。

相关概念[编辑]

真（左，右，双边）理想

若R的（左，右，双边）理想I满足：

I是R的真子集，I称为R的真（左，右，双边）理想。

极大（左，右，双边）理想

环R及其真（左，右，双边）理想I，I被称为R的极大（左，右，双边）理想，若不存在R的真（左，右，双边）理想J,使得I是J的真子集。

∙若I是极大（左，右）理想，又是双边理想，则I是极大理想。

∙极大双边理想不一定是极大（左，右）理想。

生成理想

环R，A⊆R，定义=RA+AR+RAR+ZA，则易知：

∙是环R的理想，并且是R中所有包含子集A的理想的交,即是R中包含子集A的最小理想。

称为由子集A生成的理想，A称为的生成元集。

由环R中单个元素生成的理想称为R的主理想。

即，设a∈R，则<{a}>称为R的主理想。

素理想

真理想I被称为R的素理想，若∀理想A，B⊆R，AB⊆I⇒A⊆I或B⊆I。

素环

若环R的零理想是素理想，则称R是素环（或质环）。

无零因子环是素环。

在交换环R中，真理想I是素理想的充分且必要条件是：

是素环.

半素理想

环R的真理想I，若∀理想A，A2⊆I⇒A⊆I。

则称I是环R的半素理想。

∙半素理想是一类比素理想相对较弱条件的理想，因为素理想是半素理想，但半素理想未必是素理想。

∙除环的零理想是极大理想。

在有单位元的环中，如果零理想是其极大理想,称这种环是单环。

除环是单环，域也是单环。

反之则不对，即存在不是除环的单环。

∙定理1在整数环Z中，由p生成的主理想是极大理想的充分必要条件是：

∙定理3设I是环R的左理想，则I是R的极大左理想的充分必要条件是对R的任意一个不含在I中的左理想J都有

设b是环中的非零元素，称a为左零因子，如果ab=0；同样可以定义右零因子。

通称零因子；

循环群[编辑]

在群论里，循环群是指能由单个元素生成的群。

即存在一群内的元素g（此元素称为此群的生成元），使得群内的每个元素均为g的若干次方，当群的运算以乘法表示时（为g的倍数，若群的运算以加法表示）。

单位一的6次复数根在乘法下形成循环群。

z是本原元而z2不是，因为z的奇数幂不是z2的幂。

设（G，·）为一个群，若存在一G内的元素g，使得G=={gn∀n}，则称G关于运算“·”形成一个循环群。

由群内的一个元素所生成的群均为循环群，而且是此群的子群。

当群G内含有g的唯一子群为G本身时，可证明G是循环群。

例如，若G={e,g1,g2,g3,g4,g5},则G为循环的，且G同构于模6的加法群：

{

}。

分类[编辑]

对于每一个正整数n，都存在唯一一个（在同构的意义上）阶为此正整数n的循环群，或者说，所有的n阶循环群都和模n的同余类构成的加法群Z/nZ同构。

如果一个循环群的阶是无限的，那么它同构于整数关于加法构成的群。

因此，循环群已被完全分类，是最简单的一种群。

标记[编辑]

由于循环群必然是阿贝尔群，且与加法群Z/nZ或整数的加法群同构，它的运算常常会以加法写出，且被标记为Zn；但数论学家一般会避免使用这种标记，因为它和对应于一个素数的p进数环或局部化的标记相冲突，容易混淆，因此也有直接记作Z/nZ，或以乘法写出，标记为Cn的。

（如在C5中的g3g4=g2，在同构的意义上和Z/5Z中的

因此，要了解循环群的一般性质，只需要看这些群有什么性质就可以了。

所以，循环群是最容易去学习的群，且有许多的良好性质。

设G是一个n（n可能是无限的，代表同构于整数）阶的循环群，g是G中一个元素，则：

∙若n为无限的，则恰好存在两个生成元，对Z而言，被称为1及−1，且其他同构于G的群均是无限循环群。

∙若n为有限的，则存在着恰好φ（n）个生成元，其中φ为欧拉函数。

∙G的每一个子群都是循环群。

且确实地，每一个G的m阶有限子群皆为模m的加法群{0,1,2,3,...,m−1}。

而每一个G的无限子群都可以表示成mZ，同构于Z。

∙Cn同构于Z/nZ（Z在nZ上的商群），因为Z/nZ={0+nZ,1+nZ,2+nZ,3+nZ,4+nZ,...,n−1+nZ}

以n为模之加法的{0,1,2,3,4,...,n−1}。

∙Z/nZ的生成元为和n互素的整数之同余类；其生成元的数目被称为φ（n），其中φ为欧拉函数。

∙更一般的，若d为n的约数，则在Z/nZ中，阶为d的元素有φ（d）个。

同余类m的目为n/gcd（n,m）。

∙若p一素数，则阶为p的群都同构于循环群Zp。

∙Zn和Zm两个循环群的直积是循环群当且仅当n和m互素。

故Z12（一个循环群）会是Z3和Z4的直积，而不会是Z6和Z2的直积。

∙由定义直接可知，循环群有一其型式为之非常简单的展现。

∙阿贝尔群的基本定理说明每一个有限生成阿贝尔群都是有限多个循环群的直积。

∙Zn和Z都是可交换环。

若p为一素数，则Zp为一有限域，且亦可标记为Fp或GF（p）。

其他每一个具有p个元素的域都与其同构。

∙环Zn的可逆元为和n互素的数。

它们形成一个整数模n的乘法群；它有φ（n）个元素，记作Zn×。

例如，当n=6时有Zn×={1,5}，而当n=8时则有Zn×={1,3,5,7}。

∙实际上可以证明，Zn×为循环的当且仅当n为2或4或pk或2pk，其中p为一奇素数，k≥1。

这里，Zn×的每个生成元被称为模n的原根。

因此，Zn×在n=6时是循环的，但在n=8时则不是，而转而会同构于克莱因四元群。

艾森斯坦判别法是代数的定理，给出了判定整系数多项式不能分解为整系数多项式乘积的充分条件。

由高斯定理，这判别法也是多项式在有理数域不可约的充分条件。

给了多项式g（x）=3x4+15x2+10，试确定它能否分解为有理系数多项式之积。

试用艾森斯坦判别法。

素数2和3都不适合，考虑素数p=5。

5整除x的系数15和常数项10，但不整除首项3。

而且52=25不整除10。

所以g（x）在有理数域不可约。

有时候不能直接用判别法，或者可以代入y=x+a后再使用。

例如考虑h（x）=x2+x+2。

这多项式不能直接用判别法，因为没有素数整除x的系数1。

但把h（x）代入为h（x+3）=x2+7x+14，可立刻看出素数7整除x的系数和常数项，但72=49不整除常数项。

要使用艾森斯坦判别法，先作代换x=y+1。

新的常数项是p，除首项是1外，其他项的系数是二项式系数

，k大于0，所以可以被p除尽。

初等证明[编辑]

对多项式f（x）取模p，也就是把它的系数映射到域

上。

这样它便化为

，其中c为非零常数。

因为在域上的多项式有唯一分解，f在模p上会分解为单项式。

如果f是在有理数上可约的，那么会有多项式g,h使得f=gh。

从上可知g和h取模p分别为

和

，满足c=de。

因为g和h模p的常数项为零，这表示g和h的常数项均可被p整除，所以f的常数项a0可以被p2整除，与f系数的假设矛盾。

因此得证。

更进一步的解释[编辑]

依据牛顿图的理论在其p进制数域，我们考虑一系列点的下凸集。

（0,1）,（1,v1）,（2,v2）,...,（n−1,vn-1）,（n,0）,

其中vi是ai关于p的最高次幂。

对于一个艾森斯坦多项式，对0

∙对于每个素数p，群Zp×为具有p-1个元素的循环群。

更一般性地，任一域中的乘法群之有限子群都是循环的。

例子[编辑]

在二维和三维空间里，n折旋转对称的对称群为Cn，属Zn抽象群类型。

在三维里，亦存在其他代数地相同的对称群，详见三维点群。

需留意的是，圆的所有旋转所组成之群S1（圆群）不是循环的，甚至不是可数的。

∙n次单位根形成一个关于乘法的n阶循环群。

∙每一个有限域之有限扩张的伽罗瓦群是有限且循环的；相反地，给定一有限域F和一有限循环群G，则存在一个F的有限域扩张，其伽罗瓦群为G。

表示[编辑]

有限循环群的环图全是有着其元素在各个角上的n边形。

下面环图中的黑角表示是单位元，而其他的角则为群的其他元素。

一个环包括著连接着单位元之元素的接续之次方。

子群[编辑]

所有循环群的子群及商群都是循环的。

特别地，Z的子群为mZ的形式，其中m为非负整数。

对于不同的m，mZ形式的子群是不同的，且除了当然群（m=0）外都同构于Z。

Z的子群格同构于以可除性排序之自然数格的对偶。

所有Z的商群都是有限的，除了一个当然的例外Z/{0}之外。

对每个n的正约数d，群Z/nZ恰好有一个d目的子群，它由n/d的剩余类所产生。

其不存在其他的子群。

故其子群格会同构于以可除性排序之n的约数所组成的集合。

其中有一个很特别的：

一个循环群是简单的当且仅当其目（元素数目）为素数。

举一个实际的问题，给定一个n目之有限子群C，其生成元为g，并要求求得以某一整数k之gk所生成的子群之大小m。

这里，m会是能使mk能被n整除之最小正整数。

因此其为n/t，其中t为k和n的最大公约数。

换句话说，由gk产生之子群之指标为t。

其理由在数论中被称为指标计算算法。

自同态[编辑]

阿贝尔群Zn的自同态环会同构于此阿贝尔群，且使其构成一个环。

在此同构之下，数字r会对应于将每个元素映射至其n次乘积之值上之Zn的自同态。

此一自同态只有在r和n互素时会是个双射函数，所以Zn的自同构群会同构于群Zn×（见上面）。

Zn的自同构群有时会被称为Zn的特征群，且此一群的建构会直接导致对狄利克雷特征的定义。

相似地，加法群Z的自同态环会同构于环Z，且其自同构群会同构于环Z的单位群，即{−1,+1}

Z2。

引用[编辑]

∙Gallian,Joseph,Contemporaryabstractalgebra.4th,Boston:

HoughtonMifflin.1998,ISBN978-0-669-86179-2（英文）,especiallychapter4.

∙Herstein,I.N.,Abstractalgebra.3rd,PrenticeHall.1996,MR1375019,ISBN978-0-13-374562-7,especiallypages53–60.

素数，又称素数，指在大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，无法被其他自然数整除的数（也可定义为只有1和本身两个因数的数）。

比1大但不是素数的数称为合数。

1和0既非素数也非合数。

素数在数论中有着非常重要的地位。

抽象代数亦称近世代数，是研究各种代数系结构及性质的分支学科。

它是在初等代数基础上经过数系概念的推广，与实施代数运算范围的扩大，从18世纪末萌芽到20世纪30年代，逐步形成现代数学的主要分支之一。

抽象代数是研究以任意对象作为元素的集合，赋予元素间的若干合成法则——即对集合中任意元素a，b有集合中惟一的元素c与之对应——称为运算，并且这些运算满足于特定的一些条件——称为公理.随着集合所赋予的运算及其所满足的公理体系的不同而形成各种不同的代数系，如群、环、域、格、模（包括向量空间）、代数等.[1]

抽象代数作为数学的一门学科，主要研究对象是代数结构，比如群、环、域、模、向量空间和代数。

这些代数结构中，有的在19世纪就已经被给出了正式的定义。

事实上，对抽象代数的研究是应数学更严格化的要求而发展起来的。

对抽象代数的研究还使人们形成了对全部数学和自然科学的基础性逻辑假设（的复杂性）的整体认识，现今，几乎没有那一个数学分支用不到代数学的结论。

此外，随着抽象代数的发展，代数学家们发现：

明显不同的逻辑结构通过类比可以得到一个很简练的由公理构成的核心。

这对深入研究代数的数学家是有益的，并赋予他们更大的本领。

“抽象代数”这词，是为了与“初等代数”区别开，后者教授公式和代数表达式的运算方法，其中有实数、复数和未知项。

20世纪初，抽象代数有时也称为现代代数，近世代数。

在泛代数中有时用抽象代数这一称呼，但作者大多简单的称作“代数”。

近世代数即抽象代数。

代数是数学的其中一门分支，当中可大致分为初等代数学和抽象代数学两部分。

初等代数学是指19世纪上半叶以前发展的方程理论，主要研究某一方程〔组〕是否可解，如何求出方程所有的根〔包括近似根〕，以及方程的根有何性质等问题。

法国数学家伽罗瓦〔1811-1832〕在1832年运用「群」的思想彻底解决了用根式求解代数方程的可能性问题。

他是第一个提出「群」的思想的数学家，一般称他为近世代数创始人。

他使代数学由作为解方程的科学转变为研究代数运算结构的科学，即把代数学由初等代数时期推向抽象代数即近世代数时期。

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