《切线的判定与性质》教案导学案同步练习.docx

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《切线的判定与性质》教案导学案同步练习

《第2课时　切线的判定与性质》教案

【教学目标】

1．掌握判定直线与圆相切的方法，并能运用直线与圆相切的方法进行计算与证明．

2．掌握直线与圆相切的性质，并能运用直线与圆相切的性质进行计算与证明．

3．能运用直线与圆的位置关系解决实际问题．

【教学过程】

一、情境导入

约在6000年前，美索不达米亚人做出了世界上第一个轮子——圆型的木盘，你能设计一个办法测量这个圆形物体的半径吗？

二、合作探究

探究点一：

切线的判定

【类型一】判定圆的切线

如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC＝CD，∠D＝30°，求证：

CD是⊙O的切线．

证明：

连接OC，∵AC＝CD，∠D＝30°，∴∠A＝∠D＝30°.∵OA＝OC，∴∠2＝∠A＝30°，∴∠1＝60°，∴∠OCD＝90°，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线．

方法总结：

切线的判定方法有三种：

①利用切线的定义，即与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；②到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；③经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

探究点二：

切线的性质

【类型一】利用切线进行证明和计算

如图，PA为⊙O的切线，A为切点．直线PO与⊙O交于B、C两点，∠P＝30°，连接AO、AB、AC.

（1）求证：

△ACB≌△APO；

（2）若AP＝

，求⊙O的半径．

（1）证明：

∵PA为⊙O的切线，A为切点，∴∠OAP＝90°.又∵∠P＝30°，∴∠AOB＝60°，又OA＝OB，∴△AOB为等边三角形．∴AB＝AO，∠ABO＝60°.又∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°.在△ACB和△APO中，∠BAC＝∠OAP，AB＝AO，∠ABO＝∠AOB，∴△ACB≌△APO.

（2）解：

在Rt△AOP中，∠P＝30°，AP＝

，∴AO＝1，∴CB＝OP＝2，∴OB＝1，即⊙O的半径为1.

【类型二】切线的性质与判定的综合应用

如图，AB是⊙O的直径，点F、C是⊙O上的两点，且

＝

＝

，连接AC、AF，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D，垂足为D.

（1）求证：

CD是⊙O的切线；

（2）若CD＝2

，求⊙O的半径．

分析：

（1）连接OC，由弧相等得到相等的圆周角，根据等角的余角相等推得∠ACD＝∠B，再根据等量代换得到∠ACO＋∠ACD＝90°，从而证明CD是⊙O的切线；

（2）由

＝

＝

推得∠DAC＝∠BAC＝30°，再根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求得AB的长，进而求得⊙O的半径．

（1）证明：

连接OC，BC.∵

＝

，∴∠DAC＝∠BAC.∵CD⊥AF，∴∠ADC＝90°.∵AB是直径，∴∠ACB＝90°.∴∠ACD＝∠B.∵BO＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∵∠ACO＋∠OCB＝90°，∠OCB＝∠OBC，∠ACD＝∠ABC，∴∠ACO＋∠ACD＝90°，即OC⊥CD.又∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线．

（2）解：

∵

＝

＝

，∴∠DAC＝∠BAC＝30°.∵CD⊥AF，CD＝2

，∴AC＝4

.在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，AC＝4

，∴BC＝4，AB＝8，∴⊙O的半径为4.

【类型三】探究圆的切线的条件

如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC＝10，BC＝12，P是

上的一个动点，过点P作BC的平行线交AB的延长线于点D.

（1）当点P在什么位置时，DP是⊙O的切线？

请说明理由；

（2）当DP为⊙O的切线时，求线段BP的长．

解析：

（1）当点P是

的中点时，得

＝

，得出PA是⊙O的直径，再利用DP∥BC，得出DP⊥PA，问题得证；

（2）利用切线的性质，由勾股定理得出半径长，进而得出△ABE∽△ADP，即可求出DP的长．

解：

（1）当点P是

的中点时，DP是⊙O的切线．理由如下：

∵AB＝AC，∴

＝

，又∵

＝

，∴

＝

，∴PA是⊙O的直径．∵

＝

，∴∠1＝∠2，又AB＝AC，∴PA⊥BC.又∵DP∥BC，∴DP⊥PA，∴DP是⊙O的切线．

（2）连接OB，设PA交BC于点E.由垂径定理，

得BE＝

BC＝6.在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE＝

＝8.设⊙O的半径为r，则OE＝8－r，在Rt△OBE中，由勾股定理，得r2＝62＋（8－r）2，解得r＝

.在Rt△ABC中，AP＝2r＝

，AB＝10，∴BP＝

＝

.

三、板书设计

【教学反思】

教学过程中，强调只要出现切线就要想到半径，就要想到有垂直的关系，要形成一个定势思维.

《第2课时切线的判定与性质》教案

【教学目标】

（一）教学知识点

1．能判定一条直线是否为圆的切线．

2．会过圆上一点画圆的切线．

3．会作三角形的内切圆．

（二）能力训练要求

1．通过判定一条直线是否为圆的切线，训练学生的推理判断能力．

2．会过圆上一点画圆的切线，训练学生的作图能力．

（三）情感与价值观要求

经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点．

经历探究圆与直线的位置关系的过程，掌握图形的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题．

【教学重点】

探索圆的切线的判定方法，并能运用．

作三角形内切圆的方法．

【教学难点】

探索圆的切线的判定方法．

教学方法：

师生共同探索法．

【教学过程】

Ⅰ．创设问题情境，引入新课

[师]上节课我们学习了直线和圆的位置关系，圆的切线的性质，懂得了直线和圆有三种位置关系：

相离、相切、相交．判断直线和圆属于哪一种位置关系，可以从公共点的个数和圆心到直线的距离与半径作比较两种方法进行判断，还掌握了圆的切线的性质、圆的切线垂直于过切点的直径．

由上可知，判断直线和圆相切的方法有两种，是否仅此两种呢？

本节课我们就继续探索切线的判定条件．

Ⅱ．新课讲解

1．探索切线的判定条件

投影片（§3．5．2A）

如下图，AB是⊙O的直径，直线l经过点A，l与AB的夹角∠α，当l绕点A旋转时，

（1）随着∠α的变化，点O到l的距离d如何变化？

直线l与⊙O的位置关系如何变化？

（2）当∠α等于多少度时，点O到l的距离d等于半径r？

此时，直线l与⊙O有怎样的位置关系？

为什么？

[师]大家可以先画一个圆，并画出直径AB，拿直尺当直线，让直尺绕着点A移动．观察∠α发生变化时，点O到l的距离d如何变化，然后互相交流意见．

[生]

（1）如上图，直线l1与AB的夹角为α，点O到l的距离为d1，d1＜r，这时直线l1与⊙O的位置关系是相交；当把直线l1沿顺时针方向旋转到l位置时，∠α由锐角变为直角，点O到l的距离为d，d＝r，这时直线l与⊙O的位置关系是相切；当把直线l再继续旋转到l2位置时，∠α由直角变为钝角，点O到l的距离为d2，d2＜r，这时直线l与⊙O的位置关系是相离．

[师]回答得非常精彩．通过旋转可知，随着∠α由小变大，点O到l的距离d也由小变大，当∠α＝90°时，d达到最大．此时d＝r；之后当∠α继续增大时，d逐渐变小．第

（2）题就解决了．

[生]

（2）当∠α＝90°时，点O到l的距离d等于半径．此时，直线l与⊙O的位置关系是相切，因为从上一节课可知，当圆心O到直线l的距离d＝r时，直线与⊙O相切．

[师]从上面的分析中可知，当直线l与直径之间满足什么关系时，直线l就是⊙O的切线？

请大家互相交流．

[生]直线l垂直于直径AB，并经过直径的一端A点．

[师]很好．这就得出了判定圆的切线的又一种方法：

经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线．

2．做一做

已知⊙O上有一点A，过A作出⊙O的切线．

分析：

根据刚讨论过的圆的切线的第三个判定条件可知：

经过直径的一端，并且垂直于直径的直线是圆的切线，而现在已知圆心O和圆上一点A，那么过A点的直径就可以作出来，再作直径的垂线即可，请大家自己动手．

[生]如下图．

（1）连接OA．

（2）过点A作OA的垂线l，l即为所求的切线．

3．如何作三角形的内切圆．

投影片（§3．5．2B）

如下图，从一块三角形材料中，能否剪下一个圆使其与各边都相切．

分析：

假设符号条件的圆已作出，则它的圆心到三角形三边的距离相等．因此，圆心在这个三角形三个角的平分线上，半径为圆心到三边的距离．

解：

（1）作∠B、∠C的平分线BE和CF，交点为I（如下图）．

（2）过I作ID⊥BC，垂足为D．

（3）以I为圆心，以ID为半径作⊙I．

⊙I就是所求的圆．

[师]由例题可知，BE和CF只有一个交点I，并且I到△ABC三边的距离相等，为什么？

[生]∵I在∠B的角平分线BE上，∴ID＝IM，又∵I在∠C的平分线CF上，∴ID＝IN，∴ID＝IM＝IN．这是根据角平分线的性质定理得出的．

[师]因此和三角形三边都相切的圆可以作出一个，因为三角形三个内角的平分线交于一点，这点为圆心，这点到三角形三边的距离相等，这个距离为半径，圆心和半径都确定的圆只有一个．并且只能作出一个，这个圆叫做三角形的内切圆（inscribedcircleoftriangle），内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心（incenter）．

4．例题讲解

投影片（§3．5C）

如下图，AB是⊙O的直径，∠ABT＝45°，AT＝AB．

求证：

AT是⊙O的切线．

分析：

AT经过直径的一端，因此只要证AT垂直于AB即可，而由已知条件可知AT＝AB，所以∠ABT＝∠ATB，又由∠ABT＝45°，所以∠ATB＝45°．

由三角形内角和可证∠TAB＝90°，即AT⊥AB．

请大家自己写步骤．

[生]证明：

∵AB＝AT，∠ABT＝45°．

∴∠ATB＝∠ABT＝45°．

∴∠TAB＝180°－∠ABT－∠ATB＝90°．

∴AT⊥AB，即AT是⊙O的切线．

Ⅲ．课堂练习

随堂练习

Ⅳ．课时小结

本节课学习了以下内容：

1．探索切线的判定条件．

2．会经过圆上一点作圆的切线．

3．会作三角形的内切圆．

4．了解三角形的内切圆，三角形的内心概念．

Ⅴ．课后作业

习题3．8

Ⅵ．活动与探究

已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD．

求证：

DC是⊙O的切线．

分析：

要证DC是⊙O的切线，需证DC垂直于过切点的直径或半径，因此要作辅助线半径OD，利用平行关系推出∠3＝∠4，又因为OD＝OB，OC为公共边，因此△CDO≌△CBO，所以∠ODC＝∠OBC＝90°．

证明：

连结OD．

∵OA＝OD，∴∠1＝∠2，

∵AD∥OC，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4．

∴∠3＝∠4．

∵OD＝OB，OC＝OC，

∴△ODC≌△OBC．

∴∠ODC＝∠OBC．

∵BC是⊙O的切线，

∴∠OBC＝90°．

∴∠ODC＝90°．

∴DC是⊙O的切线．

《第2课时切线的判定与性质》导学案

★知识管理

1、圆的切线的性质

切线的性质定理：

推论1：

经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。

推论2：

经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

2.圆的切线的判定定理：

问：

判断直线与圆相切有哪些方法？

3.三角形内切圆：

★热身练习

1．如图1，AB与⊙O切于点B，AO=6cm，AB=4cm，则⊙O的半径为（）

A．4

cmB．2

cmC．2

cmD．

m

2.如图2，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC=80°，则∠BOC=（）

A．130°B．100°C．50°D．65°

3．如图3，已知∠AOB=30°，M为OB边上任意一点，以M为圆心，2cm为半径作⊙M，当OM=______cm时，⊙M与OA相切．

4．如图4，AB为半圆O的直径，CB是半圆O的切线，B是切点，AC交半圆O于点D，已知CD=1，AD=3，那么cos∠CAB=________．

★典型例题

例：

如图，

分别与

相切于点

，点

在

上，且

，

，垂足为

．

（1）求证：

；

（2）若

的半径

，

，求

的长．

★追踪练习

1.已知：

如图，△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sinB=

，∠CAD=30°．

（1）求证：

AD是⊙O的切线；

（2）若OD⊥AB，BC=5，求AD的长．

2.如图，在△ABC中，∠C=90°，以BC上一点O为圆心，以OB为半径的圆交AB于点M，交BC于点N．

（1）求证：

BA·BM=BC·BN；

（2）如果CM是⊙O的切线，N为OC的中点，当AC=3时，求AB的值．

★挑战新高

如图，AB为⊙O的直径，AC，BD分别和⊙O相切于点A，B，点E为圆上不与A，B重合的点，过点E作⊙O的切线分别交AC，BD于点C，D，连接OC，OD分别交AE，BE于点M，N．

（1）若AC=4，BD=9，求⊙O的半径及弦AE的长；

（2）当点E在⊙O上运动时，试判定四边形OMEN的形状，并给出证明．

《第2课时切线的判定与性质》同步练习

1．过圆上一点可以作圆的______条切线；过圆外一点可以作圆的_____条切线；过圆内一点的圆的切线______．

2．以三角形一边为直径的圆恰好与另一边相切，则此三角形是_______．

3．下列直线是圆的切线的是（）

A．与圆有公共点的直线B．到圆心的距离等于半径的直线

C．垂直于圆的半径的直线D．过圆直径外端点的直线

4．OA平分∠BOC，P是OA上任意一点（O除外），若以P为圆心的⊙P与OC相切，那么⊙P与OB的位置位置是（）

A．相交B．相切C．相离D．相交或相切

5．△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12，以B为圆心，5为半径的圆与直线AC的位置关系是（）

A．相切B．相交C．相离D．不能确定

6．如图，AB是半径⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，且AC=CD．

（1）求证：

CD是⊙O的切线；

（2）若OA=2，求AC的长．

7．如图，AB是半圆O的直径，AD为弦，∠DBC=∠A．

（1）求证：

BC是半圆O的切线；

（2）若OC∥AD，OC交BD于E，BD=6，CE=4，求AD的长．

8．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，过点B作BE∥CD，交AC的延长线于点E，连结BC．

（1）求证：

BE为⊙O的切线；

（2）如果CD=6，tan∠BCD=

，求⊙O的直径．

9．在直角坐标系中，⊙M的圆心坐标为M（a，0），半径为2，如果⊙M与y轴相离，那么a的取值范围是______．

10．菱形的对角线相交于O，以O为圆心，以点O到菱形一边的距离为半径的⊙O与菱形其它三边的位置关系是（）

A．相交B．相离C．相切D．无法确定

11．平面直角坐标系中，点A（3，4），以点A为圆心，5为半径的圆与直线y=－x的位置关系是（）

A．相离B．相切C．相交D．以上都有可能

12．如图，已知：

△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sin=

，∠D=30°．

（1）求证：

AD是⊙O的切线；

（2）若AC=6，求AD的长．

13．已知：

如图，A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于B点，OC=BC，AC=

OB．

（1）求证：

AB是⊙O的切线；

（2）若∠ACD=45°，OC=2，求弦CD的长．

14．如图，P为⊙O外一点，PO交⊙O于C，过⊙O上一点A作弦AB⊥PO于E，若∠EAC=∠CAP，求证：

PA是⊙O的切线．

15．如图，A是以BC为直径的⊙O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作⊙O的切线，与CA的延长线相交于点E，G是AD的中点，连结OG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P．

（1）求证：

BF=EF；

（2）求证：

PA是⊙O的切线；

（3）若FG=BF，且⊙O的半径长为3

，求BD和FG的长度．

答案:

1．1，2，不存在2．直角三角形3．B4．B5．A6．

（1）略

（2）2

7．

（1）略

（2）

8．

（1）略

（2）

9．a>2或a<－2

10．C11．C12．

（1）略

（2）6

13．

（1）略

（2）

+

14．提示：

连结OA，证OA⊥AP

15．

（1）略

（2）略（3）BD=2

，FG=3