1028数阵图幻方学生版.docx
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1028数阵图幻方学生版
数阵图
（一）
在神奇的数学王国中，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷。
它就是数阵，一座真正的数字迷宫，它对喜欢探究数字规律的人有着极大的吸引力，以至有些人留连其中，用毕生的精力来研究它的变化，就连大数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣。
那么，到底什么是数阵呢？
我们先观察下面两个图：
左上图中有3个大圆，每个圆周上都有四个数字，有意思的是，每个圆周上的四个数字之和都等于13。
右上图就更有意思了，1～9九个数字被排成三行三列，每行的三个数字之和与每列的三个数字之和，以及每条对角线上的三个数字之和都等于15，不信你就算算。
上面两个图就是数阵图。
准确地说，数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵。
要排出这样巧妙的数阵图，可不是一件容易的事情。
我们还是先从几个简单的例子开始。
例1把1～5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。
例2把1～5这五个数填入下页左上图中的○里（已填入5），使两条直线上的三个数之和相等。
例3把1～5这五个数填入右图中的○里，使每条直线上的三个数之和相等。
例4将1～7这七个自然数填入左下图的七个○内，使得每条边上的三个数之和都等于10。
例5将10～20填入左下图的○内，其中15已填好，使得每条边上的三个数字之和都相等。
例1～5都具有中心数是重叠数，并且每边的数字之和都相等的性质，这样的数阵图称为辐射型。
例4的图中有三条边，每边有三个数，称为辐射型3—3图；例5有五条边每边有三个数，称为辐射型5—3图。
一般地，有m条边，每边有n个数的形如下图的图形称为辐射型m－n图。
辐射型数阵图只有一个重叠数，重叠次数是“直线条数”-1，即m-1。
对于辐射型数阵图，有
已知各数之和+重叠数×重叠次数=直线上各数之和×直线条数。
由此得到：
（1）若已知每条直线上各数之和，则重叠数等于
（直线上各数之和×直线条数-已知各数之和）÷重叠次数。
如例1、例4。
（2）若已知重叠数，则直线上各数之和等于（已知各数之和+重叠数×重叠次数）÷直线条数。
如例2、例5。
（3）若重叠数与每条直线上的各数之和都不知道，则要从重叠数的可能取值分析讨论，如例3。
练习一
1.将1～7这七个数分别填入左下图中的○里，使每条直线上的三个数之和都等于12。
如果每条直线上的三个数之和等于10，那么又该如何填？
2.将1～9这九个数分别填入右上图中的○里（其中9已填好），使每条直线上的三个数之和都相等。
如果中心数是5，那么又该如何填？
3.将1～9这九个数分别填入右图的小方格里，使横行和竖列上五个数之和相等。
（至少找出两种本质上不同的填法）
4.将3～9这七个数分别填入左下图的○里，使每条直线上的三个数之和等于20。
5.将1～11这十一个数分别填入右上图的○里，使每条直线上的三个数之和相等，并且尽可能大。
6.将1～7这七个数分别填入下图的○里，使得每条直线上三个数之和与每个圆圈上的三个数之和都相等。
练习二1.把1～8填入下页左上图的八个○里，使每个圆圈上的五个数之和都等于20。
2.把1～6这六个数填入右上图的○里，使每个圆圈上的四个数之和都相等。
3.将1～8填入左下图的八个○中，使得每条边上的三个数之和都等于15。
4.将1～8填入右上图的八个○中，使得每条直线上的四个数之和与每个圆周上的四个数之和都相等。
5.将1～7填入右图的七个○，使得每条直线上的各数之和都相等。
6.把1，3，5，7，9，11，13分别填入左图中的七个空块中，使得每个圆内的四个数之和都等于34。
上一讲我们讲了仅有一个“重叠数”的辐射型数阵图的填数问题，这一讲我们讲有多个“重叠数”的封闭型数阵图。
例1将1～8这八个数分别填入右图的○中，使两个大圆上的五个数之和都等于21。
例2将1～6这六个自然数分别填入右图的六个○内，使得三角形每条边上的三个数之和都等于11。
例3将1～6这六个自然数分别填入上图的六个○中，使得三角形每条边上的三个数之和都相等。
例4将2～9这八个数分别填入右图的○里，使每条边上的三个数之和都等于18。
以上例题都是封闭型数阵图。
一般地，在m边形中，每条边上有n个数的形如下图的图形称为封闭型m-n图。
与“辐射型m-n图只有一个重叠数，重叠次数是m-1”不同的是，封闭型m-n图有m个重叠数，重叠次数都是1次。
对于封闭型数阵图，因为重叠数只重叠一次，所以
已知各数之和+重叠数之和
=每边各数之和×边数。
由这个关系式，就可以分析解决封闭型数阵图的问题。
前面我们讲了辐射型数阵图和封闭型数阵图，虽然大多数数阵问题要比它们复杂些，但只要紧紧抓住“重叠数”进行分析，就能解决很多数阵问题。
例5把1～7分别填入左下图中的七个空块里，使每个圆圈里的四个数之和都等于13。
分析与解：
这道题的“重叠数”很多。
有重叠2次的（中心数，记为a）；有重叠1次的（三个数，分别记为b，c，d）。
根据题意应有
（1+2+…+7）+a+a+b+c+d=13×3，
即a+a+b+c+d=11。
因为1+2+3+4=10，11-10=1，所以只有a=1，b，c，d分别为2，3，4才符合题意，填法见右上图。
练习
1.把1～8填入下页左上图的八个○里，使每个圆圈上的五个数之和都等于20。
2.把1～6这六个数填入右上图的○里，使每个圆圈上的四个数之和都相等。
3.将1～8填入左下图的八个○中，使得每条边上的三个数之和都等于15。
4.将1～8填入右上图的八个○中，使得每条直线上的四个数之和与每个圆周上的四个数之和都相等。
5.将1～7填入右图的七个○，使得每条直线上的各数之和都相等。
6.把1，3，5，7，9，11，13分别填入左图中的七个空块中，使得每个圆内的四个数之和都等于34。
第六讲幻方
知识导航
三阶幻方的性质：
1.中心位置上的数等于幻和除以3；
2.角上得数等于和它不相邻的两条边上的数的平均数；
3.中心数两头的数等于中心数的2倍。
例1：
我们先来一起解决三道难度相差很大的题目，目的在于总结出三阶幻方的若干重要性质。
如下图，将1—9填入3×3的方格表中，使得每行每列以及两条对角线上的三个数字之和都相等，你一共可以得到多少种填法？
参考答案---具体填法如下：
2
9
4
2
7
6
8
3
4
8
1
6
7
5
3
9
5
1
1
5
9
3
5
7
6
1
8
4
3
8
6
7
2
4
9
2
4
9
2
4
3
8
6
7
2
6
1
8
3
5
7
9
5
1
1
5
9
7
5
3
8
1
6
2
7
6
8
3
4
2
9
4
总结：
这里要强调一点：
奇偶性分析并不是解决幻方题的典型方法，只在某些特殊的题目中会被用到。
在上面这个解题过程中，我们用到了一点技巧，希望同学们加以领会。
本题中，我们看到所有经过中心的直线上，两端数字的平均数就等于中间这个E。
那么我们来问一个深入一点的问题：
你认为这是在这道题中才产生的特殊性质，还是所有的三阶幻方都应该具有类似的性质？
还有，就是上面我们曾经得出的那个“幻和”的3倍就等于这九个数之和的这条性质，它能不能推广到所有的三阶幻方？
【巩固】.请你将3~11这9个数字填入下面的方格中，使横、竖、斜行三个数的和相等。
例2：
下图是一个三阶幻方，请说明幻和等于3倍的E且D+F=2×E。
D
E
F
第2题
解析：
有了第1题的基础，大家应该对本题感到不是那么陌生了，只要把第1题的一部分解题过程搬过来就行。
这道题也是让大家看一看如何把一个特殊的解题过程变成一条普遍的规律或性质。
解：
首先把题目中的空白格子标上不同的字母，以便表述。
A
B
C
D
E
F
G
H
I
首先，只考虑包含E的四条直线，得到A+E+I=“幻和”，B+E+H=“幻和”，C+E+G=“幻和”，D+E+F=“幻和”。
然后，把这四个式子的左右两边分别相加，得到（A+B+C+D+E+F+G+H+I）+3×E=4倍的“幻和”,而另一方面，如果我们只考虑幻方的三行，则有A+B+C=D+E+F=G+H+I=“幻和”，因此A+B+C+D+E+F+G+H+I=3倍的“幻和”。
所以，3×E=“幻和”，而“幻和”=D+E+F，于是D+F=2×E。
总结：
同样的分析办法，还可以得到A+I=B+H=C+G=D+F=2×E（请大家自己说明）。
本题回答了例1评议中提出的两个问题，从而我们得到三阶幻方的两条重要性质。
性质1：
“幻和”的3倍等于这九个数之和；
性质2：
所有经过中心的直线上，两端数字的平均数就等于正中间的数字。
B
A
C
第3题
例3：
上图是一个三阶幻方，请说明A+B=2×C。
解析：
这是一道难题，它之所以难，就在于条件太少，只有三阶幻方的概念可以用。
于是我们就想到利用性质1和2，看看能不能解决问题。
当然，只利用题目中的A、B、C三个位置上的数字是不可能做出来的，至少还要利用一个其它位置上的数字作为过渡，比如我们可以选择左上角的数字，并用x来表示它：
x
B
A
*
C
下面我们要用到比较法，其实也就是性质1。
解：
现在考虑*处的数字。
如果我们只看上面第一行和右边第一列，可以知道*+C=B+x，也就是*=B+x-C；而如果我们只看中间第二行和左上到右下的对角线，可以知道x+C=A+*，也就是*=x+C-A。
所以B+x-C=x+C-A，两边可以都去掉x，就得到A+B=2×C。
总结：
这就是幻方的性质3，也被形象的称为“T”字型性质。
当然，类似本题中这样A+B=2×C的性质还有另外3种不同方向的表达形式，大家应该自己可以总结出来。
“T”字型性质是非常重要，而且神奇的性质，它神奇就神奇在三阶幻方有无穷多个，看起来好像数字怎么填都可以。
但是这条性质却告诉我们在离得这么远的三个位置上的数字之间却有着这样简单的关系，三阶幻方中的数字不是随便怎么填都可以的，中间还潜藏着一些更深层次的特殊性质。
这正是数学的魅力所在。
例4：
那么究竟我们总结出来的3条性质有什么用呢，
请完成下面的三阶幻方：
17
29
19
第4题
（2）
100
19
95
第4题
（1）
总结：
最后重申几点注意事项：
I.这些性质只适用于三阶幻方，对于四阶和四阶以上的幻方，有些性质可能就不成立了，而有些需要修改，请同学们慎重，具体问题具体处理。
II.这几条性质适合于所有的三阶幻方，并没有局限性。
2、四阶幻方
例1、4阶幻方的填法：
将数字从左到右、从上到下按顺序填写：
这个方阵的对角线，已经用颜色标出。
将对角线上的数字，换成与它互补（同色）的数字。
这里，n×n+1=4×4+1=17；把1换成17-1=16；把6换成17-6=11；把11换成17-11=6……换完后就是一个四阶幻方。
（见右上图）
例2、用1至16这十六个数编制一个四阶幻方。
解析：
可用“错位移动法”来填。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解：
（1）
1
15
14
4
12
6
7
9
8
10
11
5
13
3
2
16
（2）正确结果
课后练习
5
6
1.在九宫图中，第一行第三列的位置上填5，第二行第一列位置上填6，如下图.请你在其他方格中填上适当的数，使方阵横、纵、斜三个方向的三个数之和均为27.
2、在下图的九个方格中,每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，则N=.
8
N
6
16
12
3、请你将5~13这9个数字填入下面的左边方格中，使横、竖、斜行三个数的和相等。
4、编制一个三阶幻方（右上），使其幻和等于24.
5、用3至18这16个数排出一个4阶幻方。
6、在下图中填入不大于15且互不相等的8个数，使每行每斜行的三个数的和都等于30.
[同步巩固演练]
1、用8—16这9个数排成一个三阶幻方
2、用3—11这9个数补全图中的幻方，并求出幻和。
4
8
5
第2题
3、在图的空格中填入不大于15且互不相同的自然数（其中已填好一个数），使每一个横行、竖列和对角线上的三个数之和都等于30。
9
第3题
14
4、在图（a）（b）的空格中填入不大于15且互不相同的数（其中已填好一个数），使每一横行，每一竖列和对角线上的三个数之和都等于30。
8
（a）（b）
第4题
5、将5—20这16个数排成一个四阶幻方。
6、将5—29这25个数排成一个五阶幻方。
7、将7—42这36个数排成一个六阶幻方。
[能力拓展平方]
1、在图中的方格中填入不相同的数，使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等，问图中左上角的数是几？
？
19
13
第1题
2、从1—13这十三个数中选出12个数填到图的方格中，使每一横行四个数之和相等，每一竖列三数之和也相等。
3、在图中每个方格内填一个数，使得每行、每列及每条对角线上的四个方格中的数都是1、3、5、7，那么带“☆”号的两个方格中的数之和等于几？
1
3
5
7
7
1
☆
☆
第2题第3题
4、在3×3的方阵图中，每格中填入一个不同的自然数，使得每一行、每一列及对角线上的三个数的乘积都相等。
5、将八个数填入图的空格中，使这八个数的总和等于12，如果总和为13、14、15呢？
6、将1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数，分别填入图的九个方格，使第二行组成的三位数是第一行组成的三位数的2倍，第三行组成的三位数是第一行组成的三位数的3倍。
第5题第6题
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