湖南省邵阳市邵东市第一中学学年高一下学期第一次月考数学试题.docx
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湖南省邵阳市邵东市第一中学学年高一下学期第一次月考数学试题
湖南省邵阳市邵东市第一中学2021-2022学年高一下学期第一次月考数学试题
学校:
___________姓名：
___________班级：
___________考号：
___________
一、单选题
1．复数
（i为虚数单位）的虚部为（ ）
A．
B．6C．3D．
2．已知向量
，则
（ ）
A．（1，－2）B．（1，2）
C．（5，6）D．（2，0）
3．已知球的两个平行截面的面积分别为
和
，它们位于球心的同一侧，且距离为1，那么这个球的半径是（ ）
A．4B．3C．2D．0.5
4．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝6，b＝7，c＝5，则sinC＝（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
6．
内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若
，则
一定是（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
7．在
中，点D在线段
上，且满足
，点Q为线段
上任意一点，若实数x，y满足
，则
的最小值为（ ）
A．4B．
C．8D．
8．在一个正三角形的三边上，分别取一个距顶点最近的十等分点，连接形成的三角形也为正三角形（如图1所示，图中共有2个正三角形）．然后在较小的正三角形中，以同样的方式形成一个更小的正三角形，如此重复多次，可得到如图2所示的优美图形（图中共有11个正三角形），这个过程称之为迭代．在边长这个过程称之为迭代．在边长为81的正三角形三边上，分别取一个三等分点，连接成一个较小的正三角形，然后迭代得到如图3所示的图形（图中共有10个正三角形），其中最小的正三角形面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．已知
为虚数单位，则以下四个说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．若复数
为纯虚数，则
D．复数
的虚部为
10．下列说法中正确的是（ ）
A．长方体是直四棱柱
B．两个面平行，其余各面是梯形的多面体是棱台
C．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
D．平行六面体不是棱柱
11．对于
ABC，有如下判断，其中正确的判断是（ ）
A．在非等腰
ABC中，满足
，则
ABC为钝角三角形；
B．若
，
，
，则符合条件的
ABC有两个；
C．若
，则
ABC为锐角三角形；
D．若
ABC的面积
，
，则
的最大值为1.
12．“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：
圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.如图，已知圆O的半径为2，点P是圆O内的定点，且
，弦AC、BD均过点P，则下列说法正确的是（ ）
A．
为定值B．
的取值范围是
C．当
时，
为定值D．
的最大值为12
三、填空题
13．设
，
是两个不共线的非零向量，若向量
与
的方向相反，则k＝________.
14．如图，
是水平放置的
的直观图，则
的周长为________．
15．如图所示，半圆的直径AB＝2，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则（
＋
）·
的最小值是________．
16．若满足条件
，
的
有两个，则边长
的取值范围是________．
四、解答题
17．已知
，
，
，
，
是复平面上的四个点，且向量
，
对应的复数分别为
，
.
（1）若
，求
，
；
（2）若
，
为实数，求
，
的值.
18．已知两个非零向量
和
不共线，
，
，
．
（1）若
，求
的值；
（2）若A、B、C三点共线，求
的值．
19．如图，已知圆锥的顶点为P，O是底面圆心，AB是底面圆的直径，
，
．
（1）求圆锥的表面积；
（2）经过圆锥的高PO的中点
作平行于圆锥底面的截面，求截得的圆台的体积．
20．
的内角
的对边分别为
，已知
．
（1）求
；
（2）若
为锐角三角形，且
，求
面积的取值范围．
21．设常数
，函数
．
（1）若
为偶函数，求
的值；
（2）若
，求方程
在区间
上的解．
22．已知向量
，
，函数
，
.
（1）若
的最小值为-1，求实数
的值；
（2）是否存在实数
，使函数
，
有四个不同的零点？
若存在，求出
的取值范围；若不存在，请说明理由.
参考答案：
1．A
【解析】
【分析】
根据复数虚部的概念直接求解.
【详解】
由复数的概念知，复数
的虚部为
.
故选：
A
2．A
【解析】
【分析】
由已知条件直接求解即可
【详解】
因为向量
，
所以
，
故选：
A.
3．B
【解析】
【分析】
作出图形，设球心到较大的截面圆圆心的距离为
，并计算出两个截面圆的半径，
球体半径列出有关
的方程，求出
即可得出球体的半径的值.
【详解】
如图所示，
设球
的半径为
，设截面圆
的半径为
，截面圆
的半径为
，
由题意可知，
，截面圆
的面积为
，得
.
截面圆
的面积为
，得
.
设
，则
，即
，解得
，
则
，因此，这个球的半径为
.
故选：
B.
4．C
【解析】
【分析】
根据余弦定理求得
，判断角C的范围，继而求得答案.
【详解】
因为a＝6，b＝7，c＝5，所以
，
则C为锐角
故
，
故选：
C.
5．A
【解析】
【分析】
利用对数函数，指数函数单调性及中间值比大小.
【详解】
，
，
，故
.
故选：
A
6．C
【解析】
【分析】
利用余弦定理角化边整理可得.
【详解】
由余弦定理有
，整理得
，故
一定是直角三角形.
故选：
C
7．D
【解析】
【分析】
由向量共线定理及推论得到
，再使用基本不等式求出最小值.
【详解】
由题知点D满足
，由
，由点Q在线段
上，结合向量的三点共线定理可得
，
，
，则
，当且仅当
，即
等号成立，即D选项正确.
故选：
D
8．A
【解析】
【分析】
先用余弦定理得到边长之间的关系，再结合归纳推理找到规律，求出最小正三角形的边长即可．
【详解】
解：
设最大正三角形的边长为
，则
，
其内部迭代出的正三角形的边长分别为
，
，
，
，
由余弦定理得
，
同理得，
，
，
，
，
最小的正三角形的面积为
．
故选：
A．
9．AD
【解析】
【分析】
由虚数的运算性质，可判定A正确；根据虚数不能比较大小，可判定B不正确；由
时，可判定C不正确；根据复数的概念，可判定D正确.
【详解】
对于A中，由虚数的运算性质，可得
，所以A正确；
对于B中，根据虚数不能比较大小，所以B不正确；
对于C中，例如：
当
时，
，此时
，所以C不正确；
对于D中，根据复数的概念，可得复数
的虚部为
，所以D正确.
故选：
AD.
10．AC
【解析】
【分析】
根据棱柱、棱锥、棱台的定义判断．
【详解】
长方体是直四棱柱，A正确；
两个平面平行，其余各面是梯形的多面体，
当侧棱延长后不交于同一点时，就不是棱台，B错；
正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，C正确；
平行六面体一定是棱柱，D错．
故选：
AC．
11．ABD
【解析】
【分析】
A.由
或
求解判断；B.根据
，
，
，利用余弦定理求解判断；C.举例判断；D.根据
ABC的面积
求得A，再根据
，得到
，然后由
，求解判断；
【详解】
A.在非等腰
ABC中，满足
，所以
或
，解得
（舍去））或
，故
ABC为钝角三角形，故正确；
B.因为
，
，
，由余弦定理得
，即
，则
，
因为
，所以
，所以
则符合条件的
ABC有两个，故正确；
C.当
时，满足
，
ABC为直角三角形，故错误；
D.因为
ABC的面积
，且
，所以
，则
，因为
，所以
，
所以
，当
时，等号成立，故正确；
故选：
ABD
12．AC
【解析】
【分析】
根据题设中的圆幂定理可判断AC的正误，取
的中点为
，连接
，利用向量的线性运算可判断B的正误，根据直径的大小可判断D的正误.
【详解】
如图，设直线
与圆
于
，
.
则
故A正确.
取
的中点为
，连接
，则
，
而
，故
的取值范围是
，故B错误.
当
时，
，故C正确.
因为
，故
，故D错误.
故选：
AC
13．
【解析】
【分析】
根据共线向量定理可得
，解方程即可得到答案；
【详解】
由题意知，
．
，又
不共线，
∴
.
故答案为：
14．
【解析】
【分析】
根据斜二测画法的规则得到直角三角形
的直角边长，用勾股定理求出斜边长可得结果.
【详解】
根据斜二测画法的规则可知，
，
，
，
所以
，
所以
的周长为
.
故答案为：
.
【点睛】
关键点点睛：
掌握斜二测画法的规则是解题关键.
15．
【解析】
【详解】
试题分析：
因为点O是线段AB的中点，所以向量
=
.所以
=
.又因为向量
是互为相反向量.所以
=-2
=-2
=
.所以填
.
考点：
1.向量的求和运算.2.向量的数量积.3.最值问题.
16．
【解析】
【详解】
分析：
根据正弦定理，将式子中边转化成角，求出∠C的度数；利用存在两个解的条件求出BC的取值范围．
详解：
因为
所以
，由正弦定理可得
，因为三角形中
所以
，即
过B作AC边上的高BD，垂足为D，则
，若存在两个三角形ABC
则
解得
点睛：
本题考查了正弦定理的综合应用．正弦定理解题时，要根据边长关系确定多个解的情况，属于中档题．
17．
（1）
，
（2）
【解析】
【分析】
（1）求出
，
，由题得
，解方程组即得解；
（2）由题得
，解方程组即得解.
【详解】
（1）∵
，
，
所以
，
，
所以
，
又
，
∴
，∴
，
∴
，
.
（2）由
（1）得
，
，
∵
，
为实数，
∴
，∴
.
【点睛】
本题主要考查复数的概念和计算，考查复数的模的计算，考查向量对应的复数的计算和复数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
18．
（1）-1
（2）-1
【解析】
【分析】
（1）根据
即可得出，
，由
即可得出1+k＝0，从而求出k的值；
（2）根据A，B，C三点共线即可得出
，从而可得出
，根据平面向量基本定理即可得出
，解出k即可．
【详解】
解：
（1）
；
∴
=
；
∵
；
∴k+1=0；
∴k=-1；
（2）∵A，B，C三点共线；
∴
；
∴
；
∴
；
∵
不共线；
∴由平面向量基本定理得，
；
解得k=-1．
【点睛】
本题考查向量减法的几何意义，以及向量的数乘运算，平面向量基本定理．
19．
（1）
；
（2）
．
【解析】
【分析】
（1）由题意可知，该圆锥的底面半径
，母线
，从而可求出锥的表面积，
（2）先求出大圆锥的高，从而可求出小圆锥的高，进而可得圆台的体积等于大圆锥的体积减去小圆锥的体积
【详解】
解：
（1）由题意可知，该圆锥的底面半径
，母线
．
∴该圆锥的表面积
．
（2）在
中，
，
∵
是PO的中点，∴
．
∴小圆锥的高
，小圆锥的底面半径
，
∴截得的圆台的体积
．
20．
（1）
;
（2）
.
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理化简题中等式，得到关于B的三角方程，最后根据A,B,C均为三角形内角解得
.
（2）根据三角形面积公式
，又根据正弦定理和
得到
关于
的函数，由于
是锐角三角形，所以利用三个内角都小于
来计算
的定义域，最后求解
的值域.
【详解】
（1）根据题意
，由正弦定理得
，因为
，故
，消去
得
．
，
因为故
或者
，而根据题意
，故
不成立，所以
，又因为
，代入得
，所以
.
（2）因为
是锐角三角形，由
（1）知
，
得到
，
故
，解得
.
又应用正弦定理
，
，
由三角形面积公式有：
.
又因
故
，
故
.
故
的取值范围是
【点睛】
这道题考查了三角函数的基础知识，和正弦定理或者余弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查
是锐角三角形这个条件的利用．考查的很全面，是一道很好的考题.
21．
（1）
;
（2）
或
或
.
【解析】
【分析】
（1）根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出，
（2）先求出a的值，再根据三角形函数的性质即可求出．
【详解】
（1）∵
，
∴
，
∵
为偶函数，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
；
（2）∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，或
，
∴
，或
，
∵
，
∴
或
或
【点睛】
本题考查了三角函数的化简和求值，以及三角函数的性质，属于基础题．
22．
（1）
；
（2）
.
【解析】
【详解】
试题分析：
（1）利用向量数量积的公式化简函数
即可．
（2）求出函数
的表达式，利用换元法结合一元二次函数的最值性质进行讨论求解即可．
（3）由
=0得到方程的根，利用三角函数的性质进行求解即可．
试题解析：
（1）∵
，
，
∴
，
∵
∴
，
，令
，
∴
∵
，对称轴为
，
①当
即
时，当
时，
∴
舍，
②当
即
时，当
时，
∴
，
③当
即
是，当
时，
∴
舍，
综上，
.
（2）令
，即
，
∴
或
，∵
，
有四个不同的零点，
∴方程
和
在
上共有四个不同的实根，
∴
∴
∴
.
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