高中数学新课程创新教学设计案例50篇不等式.docx

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高中数学新课程创新教学设计案例50篇不等式

48不等式的性质

教材分析

这节的主要内容是不等式的概念、不等式与实数运算的关系和不等式的性质．这部分内容是不等式变形、化简、证明的理论依据及基础．教材通过具体实例，让学生感受现实生活中存在大量的不等关系．在不等式与实数运算的关系基础上，系统归纳和论证了不等式的一系列性质．

教学重点是比较两个实数大小的方法和不等式的性质，教学难点是不等式性质的证明及其应用．

教学目标

1.通过具体情境，让学生感受现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等关系与不等式的联系，会用不等式表示不等关系．

2.理解并掌握比较两个实数大小的方法．

3.引导学生归纳和总结不等式的性质，并利用比较实数大小的方法论证这些性质，培养学生的合情推理和逻辑论证能力．

教学设计

一、问题情境

教师通过下列三个现实问题创设不等式的情境，并引导学生思考．

1.公路上限速40km／h的路标，指示司机在前方行驶时，应使汽车的速度v不超过40km／h，用不等式表达即为v≤40km／h．

2.某种杂志以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，若杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本．若把提价后杂志的定价改为x元，怎样用不等式表示销售的总收入的不低于20万元？

x·［80000－2000（x－25）］≥200000．

3.某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种，按照生产的要求，600mm钢管的数量不能超过500mm的3倍，试写出满足上述所有不等关系的不等式．

设600mm钢管的数量为x，500mm的数量为y，则

通过上述实例，说明现实世界中，不等关系是十分丰富的，为了解决这些问题，须要我们学习不等式及基本性质．

二、建立模型

1.教师精讲，分析

我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的，在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大，用不等式表示为ａ＞ｂ，即ａ减去ｂ所得的差是一个大于0的数．

一般地，设ａ，ｂ∈R，则

ａ＞ｂ

ａ－ｂ＞0，

ａ＝ｂ

ａ－ｂ＝0，

ａ＜ｂ

ａ－ｂ＜0．

由此可见，要比较两个实数的大小，只要考查它们的差就可以了．例如，比较（ａ＋3）（ａ－5）与（ａ＋2）（ａ－4）的大小就可以作差变形，然后判断符号．

2.通过问题或复习，引导学生归纳和总结不等式的性质

（1）对于“甲的年龄大于乙的年龄”，你能换一种不同的叙述方式吗？

（2）如果甲的身高比乙高，乙的身高比丙高，你能得出甲与丙哪个高吗？

（3）回忆初中已学过的不等式的性质，试用字母把它们表示出来．

用数学符号表示出上面的问题，便可得出不等式的一些性质：

定理1　如果ａ＞ｂ，那么ｂ＜ａ；如果ｂ＜ａ，那么ａ＞ｂ．

定理2　如果ａ＞ｂ，且ｂ＞ｃ，那么ａ＞ｃ．

定理3　如果ａ＞ｂ，那么ａ＋ｃ＞ｂ＋ｃ．

定理4　如果ａ＞ｂ，且ｃ＞０，那么ａｃ＞ｂｃ；

如果ａ＞ｂ，且ｃ＜０，那么ａｃ＜ｂｃ．

3.定理1～4的证明

关于定理1～4的证明要注意：

（1）定理为什么要证明？

（2）证明定理的主要依据或出发点是什么？

（3）定理的证明要规范，每步推理要有根据．

（4）关于定理3的推论，定理4的推论1，可由学生独立完成证明．

4.考虑定理4的推论2：

“如果ａ＞ｂ＞０，那么ａn＞ｂn（ｎ∈N，且ｎ＞0）”的逆命题，得出定理5

定理5　如果ａ＞ｂ＞０，那么

（ｎ∈N，且ｎ＞1）．

由于直接证明定理5较困难，故可考虑运用反证法．

三、解释应用

［例　题］

1.已知ａ＞ｂ，ｃ＜ｄ，求证：

ａ－ｃ＞ｂ－ｄ．

证法1：

∵ａ＞ｂ，∴ａ－ｂ＞0．又ｃ＜ｄ，∴ｄ－ｃ＞0．

∴（ａ－ｃ）－（ｂ－ｄ）＝（ａ－ｂ）＋（ｄ－ｃ）＞0，

∴ａ－ｃ＞ｂ－ｄ．

证法2：

∵ｃ＜ｄ，∴－ｃ＞－ｄ．又ａ＞ｂ，∴ａ－ｃ＞ｂ－ｄ．

［练　习］

1.判断下列命题的真假，并说明理由．

（1）如果ａｃ2＞ｂｃ2，那么ａ＞ｂ．

（2）如果ａ＞ｂ，ｃ＞ｄ，那么ａ－ｄ＞ｂ－ｃ．

四、拓展延伸

1.如果30＜ｘ＜42，16＜ｙ＜24，求ｘ＋ｙ，ｘ－2ｙ及

的取值范围．

2.如果ａ1＞ｂ1，ａ2＞ｂ2，ａ3＞ｂ3，…，ａn＞ｂn，那么ａ1＋ａ2＋ａ3＋…＋ａn＞ｂ1＋ｂ2＋ｂ3＋…＋ｂn吗？

为什么？

3.如果ａ＞ｂ＞0，那么

吗？

（其中

为正有理数）

49一元二次不等式

教材分析

一元二次不等式的解法是高中数学的一个重要内容，它是进一步学习不等式的基础，同时是解决有关实际问题的重要方法之一．这节课通过具体例子，借助二次函数的图像求解不等式，进而归纳、总结出一元二次不等式，一元二次方程与二次函数的关系，得到利用二次函数图像求解一元二次不等式的方法．最后，说明一元二次不等式可以转化为一元一次不等式组，由此又引出了简单分式不等式的解法．这节内容的重点是一元二次不等式的解法，难点是弄清一元二次不等式、一元二次方程与二次函数的关系．

教学目标

1.让学生经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程．

2.通过函数图像了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，熟练掌握应用二次函数图像解一元二次不等式的方法．

3.通过一元二次不等式转化为一元一次不等式组的解法，让学生体会等价转化的数学思想，培养学生的逻辑推理能力．

教学设计

一、问题情境

1.出示问题

（1）某产品的总成本ｃ（万元）与产量ｘ（台）之间满足关系：

ｃ＝3000＋20ｘ－0.1ｘ2，其中ｘ∈（0，240），ｘ∈Ｎ，若每台产品售价25万元，试求生产者不亏本时的最低产量ｘ．

引导学生建立一元二次不等式模型：

由题意，得销售收入为25ｘ（万元），

要使生产者不亏本，必须使

3000＋20ｘ－0.1ｘ2≤25ｘ，即ｘ2＋50ｘ－30000≥0．

（2）国家为了加强对某特种商品生产的宏观管理，实行征收附加税政策．现知每件产品70元，不加收附加税时，每年大约产销100万件，若政府征收附加税，每销售100元要征税R元（即税率为R％），则每年的产销量要减少10R万件．要使每年在此项经营中所收取的附加税税金不少于112万元，问R应怎样确定．

2.引导学生建立一元二次不等式模型

设产销量为每年x（万件），则销售收入为每年70x（万元），从中征收的税金为70x·R％（万元），并且ｘ＝100－10R．

由题意，知70（100－10R）·R％≥112，

即R2－10R＋16≤0．

如何求解以上两个一元二次不等式呢？

二、建立模型

1.对于不等式ｘ2＋50ｘ－30000≥0，可以借助二次函数的图像来解决

设二次函数f（ｘ）＝ｘ2＋50ｘ－30000，抛物线开口向上，与ｘ轴交点的横坐标是相应二次方程ｘ2＋50ｘ－30000＝0的解．此时ｘ1＝－200，ｘ2＝150．如图，所谓解不等式ｘ2－50ｘ－30000≥0，就相当于求使函数f（ｘ）≥0的ｘ的集合．考虑图像在ｘ轴及其上方的部分，即f（ｘ）≥0，相应的ｘ的集合｛ｘ｜ｘ≤－200或ｘ≥150｝就是不等式的解集．结合实际，可知生产者不亏本时的最低产量为150台．

运用完全类似的方法，可以求解不等式R2－10R＋16≤0的解集为｛R｜2≤R≤8｝．

2.教师明晰

设ａ＞0，解一元二次不等式ａx2＋ｂｘ＋ｃ＞0（＜0），

首先，设ｆ（ｘ）＝ａs2＋ｂｘ＋ｃ．

（1）计算Δ＝ｂ2－4ａｃ，判断抛物线ｙ＝ｆ（ｘ）与ｘ轴交点的情况．

（2）若Δ≥０，解一元二次方程ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ＝0，得两根为ｘ1，ｘ2，（ｘ1≤ｘ2）．

（3）结合

（1）

（2）画出ｙ＝ｆ（ｘ）的图像．

（4）解不等式ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ＞0，就相当于使ｆ（ｘ）＞0．考虑图像在ｘ轴上方的部分，即ｆ（ｘ）＞0，相应的ｘ的集合就是ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ＞０的解集．

解不等式ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ＜0，就相当于使ｆ（ｘ）＜0．考虑图像在ｘ轴下方的部分，即ｆ（ｘ）＜0，相应的ｘ的集合就是ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＜0的解集．

根据上述内容，结合图像写出不等式的解集．

思考：

对于一元二次不等式的二次项系数ａ，如果ａ＜0，上述结论如何？

三、解释应用

［例　题］

1.解不等式2ｘ2－3ｘ－2＞0．

解：

∵Δ＝（－3）2－4×2×（－2）＝25＞0，

方程2ｘ2－3ｘ－2＝0的两根为ｘ1＝－

，ｘ2＝2，

∴不等式2ｘ2－3ｘ－2＞0的解集为｛ｘ｜ｘ＜－

或ｘ＞2｝．

2.解不等式－ｘ2＋2ｘ－3≥0．

3.已知不等式ｍｘ2－（ｍ－2）ｘ＋ｍ＞0的解集为R，求ｍ的取值范围．

解：

（1）当ｍ＝0时，原不等式可化为2ｘ＞0，解集不是R．

（2）当ｍ＜0时，抛物线ｙ＝ｍｘ2－（ｍ－2）ｘ＋ｍ开口向下，解集也不是R．

（3）当ｍ＞0时，须满足

［练　习］

1.解下列不等式．

（1）－3ｘ2＋6ｘ＞2．　　　　　　

（2）4ｘ2－4ｘ－1＞0．

（3）ｘ2－3ｘ＋5＞0．　　　　　　（4）－6ｘ2－ｘ＋2≤0．

4.以每秒ａ（ｍ）的速度从地面垂直向上发射子弹，t（ｓ）后，子弹上升的高度ｘ可由ｘ＝ａｂ－4.9ｔ2确定．已知发射后5ｓ，子弹上升的高度为245ｍ，问：

子弹保持在245ｍ以上高度有多少秒？

四、拓展延伸

一元二次不等式（ａｘ＋ｂ）（ｃｘ＋ｄ）＞0（＜0）也可以根据实数运算的符号法则求解，如解不等式（ｘ＋4）（ｘ－１）＜0．

注意到不等式左边是两个ｘ的一次式的积，右边是0，那么它可以根据积的符号法则化为一次不等式组：

50基本不等式：

教材分析

“

”的证明学生比较容易理解，学生难理解的是“当且仅当ａ＝ｂ时取‘＝’号”的真正数学内涵，所谓“当且仅当”就是“充分必要”．

教学重点是定理及其应用，难点是利用定理求函数的最值问题，进而解决一些实际问题．

教学目标

1.理解两个实数的平方和不小于它们积的2倍这一重要不等式的证明，并能从几何意义的角度去解释，形成数形结合的完美统一．

2.理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理的证明，及其几何意义，会用这两个重要不等式解决简单的实际应用题．

3.通过定理的证明培养学生的逻辑推理能力，通过定理的应用揭示数学的应用价值．

教学设计

一、问题情境

教师出示问题，引导学生分析、思考：

某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800ｍ3，深为3ｍ．如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？

最低总造价是多少元？

二、建立模型

1.通过比较ａ2＋ｂ2与2ａｂ的大小，引入重要不等式．

∵ａ2＋ｂ2－2ａｂ＝（ａ－ｂ）2，

∴当ａ≠ｂ时，（ａ－ｂ）2＞0；

当ａ＝ｂ时，（ａ－ｂ）2＝0．

即（ａ－ｂ）2≥0，从而有ａ2＋ｂ2≥2ａｂ．

2.结论明晰

定理1　如果ａ，ｂ∈Ｒ，那么ａ2＋ｂ2≥2ａｂ（当且仅当ａ＝ｂ时，取“＝”号）．

思考：

对于定理1和定理2，当且仅当ａ＝ｂ时取“＝”号的具体含义是什么？

三、解释应用

［例　题］

1.已知ｘ，ｙ都是正数，求证：

小结；上述结论是我们用定理求最值的依据，可简述为和为定值积最大，积为定值和最小．

2.设法解决本节课开始提出的问题．

因此，当水池的底面是边长为40ｍ的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价为297600元．

3.0求证：

在直径为ｄ的圆内接矩形中，面积最大的是正方形，并且这个正方形的面积等于

ｄ2．

2.设计一幅宣传画，要求画面面积为4840ｃｍ2，画面的宽与高的比为λ（λ＜１），画面的上、下各留8ｃｍ的空白，左、右各留5ｃｍ的空白．问：

怎样确定画面的高与宽的尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？

答：

当画面高为88ｃｍ、宽为55ｃｍ时，所用纸张面积最小．

3.用一段长为L（ｍ）的篱笆围成一个边靠墙的矩形菜园，问：

当这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

上述两种解答的答案不同，哪一种方法是错误的，为什么？

四、拓展延伸