正弦定理例题.docx
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正弦定理例题
正弦定理例题
篇一:
正弦定理练习题
正弦定理练习题
1.在△ABC中,∠A=45°,∠B=60°,a=2,则b等于()
62C.3D.26
2.在△ABC中,已知a=8,B=60°,C=75°,则b等于()
32
A.42B.43C.6D.
3
3.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,A=60°,a=43,b=42,则角B为()
A.45°或135°B.135°C.45°D.以上答案都不对
4.在△ABC中,a∶b∶c=1∶5∶6,则sinA∶sinB∶sinC等于()
A.1∶5∶6B.6∶5∶1C.6∶1∶5D.不确定
5.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,若A=105°,B=45°,b2,则c=()
11
A.1B.C.224cosAb
6.在△ABC中,若,则△ABC是()
cosBa
A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰三角形或直角三角形
7.已知△ABC中,AB3,AC=1,∠B=30°,则△ABC的面积为()
33333B.C.或3D.或24242
8.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若c=2,b=6,B=120°,则a等于()
6B.2C.3D.2
π
9.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若a=1,c=3,C=则A=________.
3
43
10.在△ABC中,已知a=,b=4,A=30°,则sinB=________.
3
11.在△ABC中,已知∠A=30°,∠B=120°,b=12,则a+c=________.
12.在△ABC中,a=2bcosC,则△ABC的形状为________.
a+b+c
13.在△ABC中,A=60°,a=63,b=12,S△ABC=183,则________,
sinA+sinB+sinC
c=________.
a-2b+c
14.已知△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,a=1,则=________.
sinA-2sinB+sinC
1
15.在△ABC中,已知a=2,cosC=,S△ABC=43,则b=________.
3
16.在△ABC中,b=43,C=30°,c=2,则此三角形有________组解.
17.△ABC中,ab=603,sinB=sinC,△ABC的面积为3,求边b的长.
正弦定理
1.在△ABC中,∠A=45°,∠B=60°,a=2,则b等于()
62C.3D.26
abasinB
解析:
选A.应用正弦定理得:
b=6.
sinAsinBsinA
2.在△ABC中,已知a=8,B=60°,C=75°,则b等于()
32
A.42B.43C.6D.
3
asinB
解析:
选C.A=45°,由正弦定理得b=46.
sinA
3.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,A=60°,a=43,b=42,则角B为()
A.45°或135°B.135°C.45°D.以上答案都不对
abbsinA2
解析:
选C.由正弦定理=sinB=,又∵a>b,∴BsinAsinBa2
4.在△ABC中,a∶b∶c=1∶5∶6,则sinA∶sinB∶sinC等于()
A.1∶5∶6B.6∶5∶1C.6∶1∶5D.不确定
解析:
选A.由正弦定理知sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c=1∶5∶6.5.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,若A=105°,B=45°,b2,则c=()
11
A.1B.C.224
bc2×sin30°
解析:
选A.C=180°-105°-45°=30°,由c=1.
sinBsinCsin45°
cosAb
6.在△ABC中,若,则△ABC是()
cosBa
A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰三角形或直角三角形
bsinBcosAsinB
解析:
选D.∵=,∴=
asinAcosBsinA
sinAcosA=sinBcosB,∴sin2A=sin2B
π
即2A=2B或2A+2B=π,即A=B,或A+B=2
7.已知△ABC中,AB3,AC=1,∠B=30°,则△ABC的面积为()
33B.243333D.242
ABAC3
解析:
选D.,求出sinC=,∵AB>AC,
sinCsinB2
∴∠C有两解,即∠C=60°或120°,∴∠A=90°或30°.
1
再由S△ABC=AB·ACsinA可求面积.
2
8.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若c=2,b=6,B=120°,则a等于()
6B.23D.2
62
解析:
选D.由正弦定理得,
sin120°sinC
1
∴sinC2
又∵C为锐角,则C=30°,∴A=30°,△ABC为等腰三角形,a=c=2.
π
9.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若a=1,c=3,C=则A=________.
3
ac
=
sinAsinC
a·sinC1
所以sinA=.
c2
ππ
又∵a<c,∴A<CA=36
π答案:
6
43
10.在△ABC中,已知a=,b=4,A=30°,则sinB=________.
3ab
解析:
由正弦定理得=
sinAsinB12bsinA3
?
sinB==a432
3
3
答案:
2
11.在△ABC中,已知∠A=30°,∠B=120°,b=12,则a+c=________.
解析:
C=180°-120°-30°=30°,∴a=c,
ab12×sin30°由=得,a==,sinAsinBsin120°∴a+c=83.答案:
812.在△ABC中,a=2bcosC,则△ABC的形状为________.
解析:
由正弦定理,得a=2R·sinA,b=2R·sinB,代入式子a=2bcosC,得2RsinA=2·2R·sinB·cosC,所以sinA=2sinB·cosC,即sinB·cosC+cosB·sinC=2sinB·cosC,化简,整理,得sin(B-C)=0.∵0°<B<180°,0°<C<180°,∴-180°<B-C<180°,∴B-C=0°,B=C.答案:
等腰三角形
a+b+c
13.在△ABC中,A=60°,a=63,b=12,S△ABC=183,则________,
sinA+sinB+sinC
c=________.
a+b+ca311
解析:
由正弦定理得===12,又S△ABC=bcsinA,∴
22sinA+sinB+sinCsinAsin60°×12×sin60°×c=183,
∴c=6.
答案:
126
a-2b+c
14.已知△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,a=1,则=________.
sinA-2sinB+sinC
解析:
由∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3得,∠A=30°,∠B=60°,∠C=90°,
a1
∴2R==2,
sinAsin30°
又∵a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,
a-2b+c2R?
sinA-2sinB+sinC?
∴==2R=2.sinA-2sinB+sinCsinA-2sinB+sinC答案:
2
1
15.在△ABC中,已知a=2,cosC=,S△ABC=43,则b=________.
3
221
解析:
依题意,sinC=S△ABC=absinC=43,
32
解得b=23.答案:
23
16.在△ABC中,b=43,C=30°,c=2,则此三角形有________组解.
1
解析:
∵bsinC==23且c=2,
2
∴c17.如图所示,货轮在海上以40km/h的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行,为了确定船位,船在B点观测灯塔A的方位角为110°,航行半小时后船到达C点,观测灯塔A的方位角是65°,则货轮到达C点时,与灯塔A的距离是多少?
1
解:
在△ABC中,BC==20,
2
∠ABC=140°-110°=30°,∠ACB=(180°-140°)+65°=105°,所以∠A=180°-(30°+105°)=45°,由正弦定理得
BC·sin∠ABCAC=
sinA
20sin30°=2(km).sin45°
即货轮到达C点时,与灯塔A的距离是102km.
CC1
18.在△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,若a=23,cos,sinBsinC
224
A
=cosA、B及b、c.
2
CC11
解:
由sinsinC=
2242
π5π
又C∈(0,π),所以CC=66A
由sinBsinC=cos
21
sinBsinC-cos(B+C)],
2
即2sinBsinC=1-cos(B+C),
即2sinBsinC+cos(B+C)=1,变形得cosBcosC+sinBsinC=1,
π5π
即cos(B-C)=1,所以B=C=B=C=(舍去),
66
2π
A=π-(B+C)=3abc
由正弦定理,得
sinAsinBsinC
12sinB
b=c=a22.
sinA3
2
2ππ
故A=,B=b=c=2.
36
19.(2019年高考四川卷)在△ABC中,A、B为锐角,角A
、B、C所对应的边分别为a、b、
310
c,且cos2A=,sinB.
(1)求A+B的值;
(2)若a-b=2-1,求a,b,c的值.
510
10
解:
(1)∵A、B为锐角,sinB=,
10
3∴cosB=1-sinB=103525
又cos2A=1-2sin2AsinA=cosA=
555
∴cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB253105102=-.
5105102
π
又0<A+B<π,∴A+B=4
3π
(2)由
(1)知,C=sinC=.
42abc
由正弦定理:
得
sinAsinBsinC
5a=10b=2c,即a=2b,c5b.
∵a-b=2-12b-b=2-1,∴b=1.∴a2,c=5.
20.△ABC中,ab=603,sinB=sinC,△ABC的面积为3,求边b的长.
11
解:
由S=sinC得,3=×603×sinC,
221
∴sinC=C=30°或150°.
2
又sinB=sinC,故∠B=∠C.当∠C=30°时,∠B=30°,∠A=120°.
ab
又∵ab=603,=b=15.
sinAsinB
当∠C=150°时,∠B=150°(舍去).
篇二:
正弦定理习题及答案
正弦定理习题及答案
一、选择题(每小题5分,共20分)
11.在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若asinB=2,sinA=,2
则b的值为()
A.2
C.6
解析:
由正弦定理得b=B.4D.8asinB24.sinA12
答案:
B
2.在△ABC中,sin2A=sin2B+sin2C,则△ABC是()
A.等边三角形
C.直角三角形
解析:
∵sin2A=sin2B+sin2C.
∴由正弦定理可得a2=b2+c2
∴△ABC是直角三角形.
答案:
C
3.在△ABC中,若A=60°,C=75°,b=6,则a等于()A.
C.6B.3D.36B.等腰三角形D.锐角三角形
解析:
∵B=180°-(60°+75°)=45°,
36×2bsinA∴a==36.sinB2
2
答案:
D
4.在△ABC中,根据下列条件解三角形,则其中有两个解的是()
A.b=10,A=45°,B=70°
C.a=7,b=5,A=80°B.a=60,c=48,B=100°D.a=14,b=16,A=45°
解析:
D中,bsinA=2,a=14,所以bsinAD.
答案:
D
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.已知△ABC的三个内角之比为A∶B∶C=3∶2∶1,那么对应的三边之比为a∶b∶c为________.
1
解析:
∵A∶B∶C=3∶2∶1,A+B+C=180°,
∴A=90°,B=60°,C=30°,
设abc==k,sinAsinBsinC
3k,c=ksinC=22则a=ksinA=k,b=ksinB=
∴a∶b∶c=2∶3∶1.
答案:
23∶1
6.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c,已知a=15,b=2,A=60°,则tanB=________.
bsinA231解析:
由正弦定理得sinB=×,a1525
根据题意,得b故BcosB=1-sinB=
sinB1故tanB==cosB21答案:
2
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.
(1)在△ABC中,已知A=30°,a=6,b=3,求B.
(2)在△ABC中,已知A=60°,a=6,b=2,求B.
623解析:
(1)在△ABC中,由正弦定理可得=sin30°sinB
解得sinB=222.5
∵b>a,∴B>A.
∴B=45°或135°.
62
(2)在△ABC中,由正弦定理可得=sin60°sinB
解得sinB=22
∵b∴B=45°.
a28.在△ABC中,若sinB==B为锐角,试判断△ABC的形状.c2
解析:
∵sinB=
2,且B为锐角,22
∴B=45°.
a2∵=.c2
sinA∴由正弦定理得,sinC2
又∵A+C=135°,
∴sin(135°-C)整理得cosC=0.
∴C=90°,A=45°.
∴△ABC是等腰直角三角形.尖子生题库☆☆☆
9.(10分)△ABC的各边均不相等,角A、B、C的对边分别为a,b,c,且acosA=bcosa+bB的取值范围.c
解析:
∵acosA=bcosB,
∴sinAcosA=sinBcosB,
∴sin2A=sin2B.
∵2A,2B∈(0,2π),
∴2A=2B或2A+2B=π,
π∴A=B或A+B=.2
如果A=B,则a=b不符合题意,
π∴A+B=2
a+bsinA+sinB∴sinA+sinB=sinA+cosAcsinC
π2sin(A+,4
π∵a≠b,C=2
ππ0,且A∴A∈?
?
24
a+b∴(12).c
2sinC,2
3
篇三:
正弦定理典型例题与知识点
正弦定理
教学重点:
正弦定理
教学难点:
正弦定理的正确理解和熟练运用,边角转化。
多解问题
1.正弦定理:
在任一个三角形中,各边和它所对角的正弦比相等,即
abc
==siAnsinBsinC
2.三角形面积公式
在任意斜△ABC当中S△ABC=absinC?
acsinB?
bcsinA3.正弦定理的推论:
abc
===2R(R为△ABC外接圆半径)sinAsinBsinC
12
12
12
4.正弦定理解三角形
1)已知两角和任意一边,求其它两边和一角;
2)已知两边和其中一边对角,求另一边的对角,进而可求其它的边和角。
3)已知a,b和A,用正弦定理求B时的各种情况:
(多解情况)
1若A为锐角时:
○
无解?
a?
bsinA?
一解(直角)?
a?
bsinA
?
?
bsinA?
a?
b二解(一锐,一钝)?
a?
b一解(锐角)?
已知边a,b和?
A
a无解
a=CH=bsinA仅有一个解
CH=bsinA?
a?
b无解
2若A为直角或钝角时:
?
○
?
a?
b一解(锐角)
1、已知中,,,则角等于(D)
A.B.C.D.
2、ΔABC的内角
A、B、C所对的边分别为a、b、c,若sinA=,
b
=sinB,则a等于(D)
A.3B.C.D.
1.在?
ABC中,若sin2A?
sin2B,则?
ABC一定是()
3.在Rt△ABC中,C=
?
2
,则sinAsinB的最大值是_______________.
[解析]∵在Rt△ABC中,C=
?
2
,∴sinAsinB?
sinAsin(
?
2
?
A)?
sinAcosA
?
1?
?
1sin2A,∵0?
A?
∴0?
2A?
?
∴A?
时,sin
AsinB取得最大值。
2242
13,cosB?
,则角C的大小是__________210
4.
若?
ABC中,tanA?
解析
11
?
tanA?
cosB?
?
O?
B?
?
?
sinB?
?
tanB?
23?
tanC?
tan(?
?
A?
B)?
?
tan(A?
B)?
2
tanA?
tanB3?
?
?
1,?
O?
C?
?
?
C?
tanAtanB?
14
7.在△ABC中,已知2a?
b?
c,sinA?
sinBsinC,试判断△ABC的形状。
解:
由正弦定理
abcab
?
?
?
2R得:
sinA?
,sinB?
,sinAsinBsinC2R2R
sinC?
c。
2R
2R
2R2R
2a2bc2
)?
?
所以由sinA?
sinBsinC可得:
(,即:
a?
bc。
又已知2a?
b?
c,所以4a2?
(b?
c)2,所以4bc?
(b?
c)2,即(b?
c)2?
0,因而b?
c。
故由2a?
b?
c得:
2a?
b?
b?
2b,a?
b。
所以a?
b?
c,△ABC为等边三角形。
6.在?
ABC中,
sinBsinA
?
是A?
B成立的(C)ab
A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
1.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若c=2,b=6,B=120°,则a等于
A.答案D
3.下列判断中正确的是
()
B.2
()
C.3D.2
A.△ABC中,a=7,b=14,A=30°,有两解B.△ABC中,a=30,b=25,A=150°,有一解C.△ABC中,a=6,b=9,A=45°,有两解D.△ABC中,b=9,c=10,B=60°,无解答案B
4.在△ABC中,若2cosBsinA=sinC,则△ABC一定是
()
A.等腰直角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等边三角形答案B
10.在△ABC中,已知a=3,b=,B=45°,求A、C和c.解∵B=45°<90°且asinB<b<a,∴△ABC有两解.由正弦定理得sinA=
asinB3sin45?
==,b22
则A为60°或120°.
①当A=60°时,C=180°-(A+B)=75°,c=
bsinC2sin75?
==sinBsin45?
2sin(45?
?
30?
)?
2
=.
sin45?
2
②当A=120°时,C=180°-(A+B)=15°,c=
bsinC2sin15?
==sinBsin45?
2sin(45?
?
30?
)?
2
=.
sin45?
2
故在△ABC中,A=60°,C=75°,c=
6?
2?
或A=120°,C=15°,c=.
22
2
2
12.在△ABC中,a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边,如果(a+b)sin(A-B)=(a-b)sin(A+B),判断三角形的形状.
解方法一已知等式可化为a[sin(A-B)-sin(A+B)]=b[-sin(A+B)-sin(A-B)]∴2acosAsinB=2bcosBsinA
由正弦定理可知上式可化为:
sinAcosAsinB=sinBcosBsinA
∴sinAsinB(sinAcosA-sinBcosB)=0∴sin2A=sin2B,由0<2A,2B<2?
得2A=2B或2A=?
-2B,即A=B或A=
2
2
2
2
2
2
2
2
2
?
-B,∴△ABC为等腰或直角三角形.2
2
方法二同方法一可得2acosAsinB=2bsinAcosB
222
b2?
c2?
a22a?
c?
b22222222
由正、余弦定理,可得ab=ba∴a(b+c-a)=b(a+c-b)
2bc2ac
2
即(a-b)(a+b-c)=0∴a=b或a+b=c∴△ABC为等腰或直角三角形.
43
2.在△ABC中,已知∠B=45°,c=2,b=A等于()
3A.15°
B.75°
C.105°
D.75°或15°
22222222