五年级几何巧求周长和面积教师版.docx
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五年级几何巧求周长和面积教师版
巧求周长
长方形周长公式：
长方形周长
宽）2，记作：
C长方形
ab2；
正方形周长公式：
正方形周长边长4，记作：
C正方形a4；
巧求周长时，常用到“平移线段法”和“标向法”。
巧求面积
长方形面积公式：
长方形面积
正方形面积公式：
正方形面积
三角形面积公式：
三角形面积1底
长宽，记作：
S长方形ab；
边长边长，记作：
S正方形aaa2；
2
平行四边形面积公式：
平行四边形面积
高，记作：
S三角形ah；
2
底高，记作：
S平行四边形ah；
1ab
2
1
梯形面积公式：
梯形面积1（上底下底）高，记作：
S梯形
2
巧求面积时，常用到“割补法”（将图形平移、对称、旋转）。
h；
常见巧求周长和面积问题
1.20个边长为3厘米的小正三角形按如图的方式拼成一个平行四边形。
这个平行四边形的周长是多少厘
米？
2厘米的平行四边形与三角形（如图所示）拼接成一个大的平行四边形，已知大平
244厘米，那么平行四边形和三角形各有多少个？
Cparallelogram202atriangleatriangle222atriangle22366厘米。
2.用若干个边长都是行四边形的周长是
2厘米的平行四边形与三角形（如图所示）拼接成一个大的平行四边形，已知大平
236厘米，那么平行四边形和三角形各有多少个？
236222116厘米，
244222120厘米，
观察上边，每6厘米有两个平行四边形的边，所以共有小平行四边形1206240个，
三角形的数量与小平行四边形的数量相等，也是40个。
3.用若干个边长都是行四边形的周长是
观察上边，每6厘米有两个平行四边形的边，116619LL2，有三角形19238个，
小平行四边形38139个。
4.一块正方形的苗圃（如图实线所示），若将它的边长各增加30米（如图虚线所示），则面积增加9900平
方米，问原来这块正方形苗圃的面积是多少平方米？
30m
30m
3030900平方米。
用增加的面积减去小正方形的面积就得到增加的两个长方形的面积和，
为99009009000平方米。
而增加的两个长方形的面积相等，于是其中一个长方形的面积为900024500平方米。
长方形的宽为30米，那么长为：
450030150米，这就是原来这块正方形苗圃的边长，
原来这块正方形苗圃的面积为15015022500平方米。
5.计划修建一个正方形的花坛，并在花坛周围种上3米宽的草坪，草坪的面积为300平方米，那么修建
这个花坛需要占地多少平方米？
（方法一）要求正方形花坛的面积，就要先求正方形花坛的边长。
将环形小路进行分割，得到四个面积相同的小长方形。
由于小路的面积已知，那么每一块小长方形的面积为300475平方米。
由题意知，小长方形的宽为3米，于是长方形的长为75325米。
那么正方形花坛的边长为25322米。
所以正方形花坛的面积为2222484平方米。
（方法二）若我们将环形小路用另外一种方法分割，
阴影部分是四个面积相等且边长为3的小正方形，它们的面积和为33436平方米。
从环形小路的面积中减掉这四块阴影部分的面积后剩下的又是四块相等的长方形，
每块长方形的面积为30036466平方米。
长方形的长为66322米，即为正方形花坛的边长，
所以正方形花坛的面积为2222484平方米。
6.（2007年湖北省“创新杯”数学邀请赛五年级初赛第
米，三角形AFE的高AG15厘米，三角形ABC的底
6题）如图，平行四边形BDEF的底BD15厘
BC25厘米，则阴影部分的面积为
方厘米。
A.225
B.200
C.150
D.175
SABC
SCAI，SAEF
SEAH，SEDCSCEJ；
所以SABCSAEF
SEDC
SCAISEAH
SCEJ，即SBDEFSEHIJ；
SEHIJ
EJAGDCAGBCBDAG251515150平
所以SBDEF
150平方厘米，故选C。
7.在图中，至少要测量几条线段，才能求出这个图形的周长？
2条，编号为1、5或3、7；纵向至少要测量1条编号为2；
所以至少要测量3条线段，编号为1，2，5或编号为2，3，7。
8.如图，这个多边形任意相邻的两条边都互相垂直。
这个多边形的周长是多少？
36
（向右的线段和向下的线段和）2；
多边形的周长C2321232566264。
9.一个大长方形若能分割成若干个大小不同的小正方形，则称为完美长方形。
下面一个长方形是由9个
小正方形组成的完美长方形。
图中正方形A和B的边长分别是7厘米和4厘米，那么这个完美长方形
的面积是多少平方厘米？
。
设最小的正方形边长为x厘米，又因为小正方形A的边长为7厘米，小正方形B的边长为4厘米，
所以小正方形C的边长可以表示为7x厘米，
小正方形D的边长可以表示为7xx72x厘米，
小正方形E的边长可以表示为7x411x厘米，
小正方形F的边长可以表示为11x415x厘米，
小正方形G的边长可以表示为15x419x厘米，
小正方形H的边长可以表示为7x714x厘米，
观察大长方形可知：
小正方形D、C、H的边长之和等于小正方形F、G的边长之和，
可以列方程为：
72x（7x）（14x）（15x）（19x），解得x1。
从而可得小正方形C、D、E、F、G、H的边长
分别为8厘米、9厘米、10厘米、14厘米、18厘米、15厘米。
大长方形的长为181533厘米，宽为141832厘米，
大长方形的面积为33321056平方厘米。
10.（2008年1月21日第十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛小学组总决赛二试第4题）图中的三角
形都是等边三角形，红色三角形的边长是24.7，蓝色三角形的边长是26。
问：
黄色三角形的边长是
15个小三角形，为说明方便，我们给出了编号。
这些小三角形中，边长相等的有5对，分别是4和5，7和8，9和10，11和12，14和15。
将6的左边延长，可以看出13与14的边长之差等于1与2的边长之差，为2624.71.3。
设14、15的边长为a，用bx表示标号为x的三角形边长，
则b14b15a，b13a1.3，b11b122a1.3，b9b103a1.3，b7b83a2.6，b64a1.3，b4b54a3.95a1.3，
所以a2.6，b3b2b1024.79.115.6。
11.如图是一个水上公园，中间有一条长廊，水中养着食人鱼，已知
1平方米养4条鱼，路的宽度为2米，
公园的长和宽分别为18米、25米，求这里面共养了多少条鱼？
（长廊下面不养鱼）
S182252368平方米；
这里面共养了36841472条鱼。
12.用两块长方形纸片和一块正方形纸片拼成一个大正方形，方厘米，原正方形纸片面积是多少平方厘米？
长方形纸片面积分别为44平方厘米与28平
442816，所以a4厘米，b2847厘米，
原正方形面积为7749平方厘米。
13.如图所示，在一个正方形内画中、小两个正方形，使三个正方形具有公共顶点，这样大正方形被分割
成了正方形区域甲，和L形区域乙和丙。
甲的边长为4厘米，乙的边长是甲的边长的1.5倍，丙的边
长是乙的边长的1.5倍，那么丙的周长为多少厘米？
EF长多少厘米？
AHJE的周长（我们可将乙与甲重合的两条线段分别向左、向下平移）
同样的，丙的周长也就是正方形ABCD的周长。
由于AE41.56，AD61.59，
42厘米。
所以丙的周长为9436厘米，EFAEAF6
14.有一大一小两块正方形试验田，他们的周长相差40米，面积相差220平方米，那么小正方形试验田
的面积是多少平方米？
【分析】根据已知条件，我们将两个正方形试验田的一个顶点对齐，画出示意图（如图a），
将大正方形在小正方形外的部分分割成两个直角梯形，再拼成一个长方形（如图b）。
由于两个正方形的周长相差40米，从而它们的每边相差40410米，
即图b中的长方形的宽是10米。
又因为长方形的面积是两个正方形的面积之差，即为220平方米，
从而长方形的长为：
2201022米。
由图可知，长方形的长是大正方形与小正方形的边长之和，
长方形的宽为大正方形与小正方形的边长之差，
从而小正方形的边长为221026米。
所以小正方形的面积为6636平方米。
ⅠⅡ
图a图b
15.（1986年第一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛小学组初赛第19题）同样大小的长方形小纸片摆成如图的图形。
已知小纸片的宽是12厘米，求阴影部分的总面积。
也就是说，二个小纸片的长等于三个小纸片的宽。
已知小纸片的宽是12厘米，于是小纸片的长是123218厘米，
阴影部分是三个正方形，边长正好是小纸片的长与宽的差是18126厘米；
于是，阴影部分的面积是623108平方厘米。
16.一个大长方形若能分割成若干个大小不同的小正方形，则称为完美长方形。
如图是用标号为1，2，3，
4，5的五种大小不同的正方形拼成的一个大长方形，大长方形的长和宽分别是18，14，则标号为5
的正方形的面积是多少？
5的正方形的边长是a，
那么1号比2号大a，2号比3号大a，
所以1号比3号大2a，
又因为2号和3号的边长之和是14，1号和2号的边长之和是18，
所以1号比3号大18144，即2a4，a2，
标号为5的正方形的面积是224。
17.
4，5的大小不同的正方形拼出一个长方形，如图所示，则中间阴影部分正
小军用编号为1，2，3，
方形的周长是多少厘米？
1
3
2
5
4
1
2
4
3
22厘米
30厘米
1的边长
正方形2的边长正方形3的边长30厘米，
正方形1的边长正方形2的边长22厘米，
所以正方形3的边长30228厘米，
正方形5的边长2正方形3的边长22厘米，
所以正方形
5的边长22826厘米，周长为6424厘米。
18.如图，
E、F、
G、H分别是正方形ABCD各条边的中点，正方形ABCD的面积是5，求中间阴影
部分的面积。
5个小正方形，所以阴影部分正方形面积为
1。
19.用同样大小的瓷砖铺一个正方形地面，两条对角线上铺黑色的，其它地方铺白色的，如图所示。
如果
铺满这块地面共用101块黑色瓷砖，那么白色瓷砖用了多少块？
（方法一）我们可以让静止的瓷砖动起来，把对角线上的黑瓷砖，
通过旋转、平移两次动态的处理，移到两条边上。
在这一转化过程中瓷砖的位置发生了变化，但数量没有变，此时白色瓷砖组成一个正方形。
黑色瓷砖共101块，所以大正方形的边长为1011251，
白色瓷砖组成的正方形的边长为51150，50502500，所以白色瓷砖共用了2500块。
（方法二）可以通过旋转，将两条对角线旋转到中间，然后再计算就可以了。
所以白色共用了101121
1012500块。
20.（1995年第四届日本小学数学奥林匹克大赛预赛第
是边长为10厘米的正方形。
求阴影四边形的面积。
5题）如图所示，一阴影四边形，其外侧的四边形
21.
标有相同号码的○记号的三角形和△记号的三角形形状和相同、面积相等。
所以○记号的4个三角形面积之和和△记号的4个三角形面积之和相等。
记号的长方形的面积为326平方厘米。
○记号的4个三角形和△记号的4个三角形面积之和为1010694平方厘米，
所以○记号的4个三角形面积之和为94247平方厘米，
所以阴影四边形的面积为64753平方厘米。
（2008年第十七届日本初小小学数学奥林匹克大赛预赛第
是边长为10cm的正方形，则阴影部分四边形的面积是
10题）如图，阴影部分四边形的外接图形
平方厘米。
我们发现，空白部分比阴影部分多中间的矩形部分的面积。
中间的矩形面积为414平方厘米，
所以阴影部分面积为10104248平方厘米。
22.（1993年第二届日本小学数学奥林匹克大赛预赛第7题）如图所示，在半径为4厘米的圆中有两条互
相垂直的线段。
请判断：
阴影部分面积A与其它部分面积B哪一个大？
大多少平方厘米？
将左上角的A记为a；将右下角的
将左下角的B记为g；将右上角的
A分成3部分，分别记为
B分成2部分，分别记为
b、c、d；
e、f；
SaSf，ScSe，SdSg。
所以SASB；
SASB
（SaSbScSd）（SeSfSg）（Sa
Sf）（ScSe）（SdSg）SbSb
11228平方厘米
23.如图，一个矩形被分成八个小矩形，其中有五个矩形的面积如图中所示（单位：
平方厘米）形的面积是多少平方厘米？
面积为16平方厘米和面积为20平方厘米的两个长方形的宽相等，即BC相等，
不妨假设BC2厘米，可以算得：
AC8厘米，CD10厘米。
于是可以算得：
GC3684.5厘米，BE30103厘米，EF1281.5厘米。
于是大长方形的长为10818厘米，宽为4.5231.511厘米，
因此大长方形的面积为1811198平方厘米。
24.（2000年第九届日本小学数学奥林匹克大赛预赛第6题）如图，把正方形的土地分成如下四个长方
形，阴影部分是正方形，它包含在40平方米的正方形之内。
求阴影部分的面积。
30m
4
m2
20m2
10m2
30m2
4
m2
FI20m2
10m2
AED
BJC
SABCD10203040100平方米；
所以正方形ABCD的边长为10米。
因为
GF
SAEFG
SAEFG
30
3
GH
SADHG
SAEFG
SDEFH
3040
；
7
所以
GF
3GH
7
310
7
30米；
7
因为
GI
SBGIJ
SB
GIJ
20
2；
GH
SBGHC
SBGIJ
SCJIH
2010
；3
所以
GI
2
GH3
2
10
3
20米；3
所以FIGIGF2303705201米；
黄色纸片露出部分与绿色纸片露出部分面积不同，由于三块纸片的大小一样，把黄色纸片向左
移动，在这个移动过程中，黄色纸片露出部分减少的面积等于绿色纸片纸片露出部分增加的面积，
它们露出部分的面积和不变，为81220。
当黄色纸片移动到正方形盒的最左边时，如右上图
所示，可知此时黄色纸片露出部分与绿色纸片露出部分的面积相等，所以黄色纸片露出部分面积
为20210，绿色纸片露出面积也为10。
右上图中，由于红色部分面积是绿色部分面积的20102倍，
所以黄色部分面积是空白部分面积的2倍。
所以空白部分的面积
为1025，正方形盒的底面积为201010545。
解答此题的关键是让黄色纸片移动，使复杂的图形变为基本图形。
1.（2002年第十一届日本小学数学奥林匹克大赛预赛第10题）如图1，把一个长方形沿直线MN对折
成如图2那样，然后沿图2正中的虚线再对折，得到图3。
此时，如果图3图形的总面积是原长方形
面积的，并且已知阴影部分的面积是7平方厘米。
请问：
原来的长方形面积是多少平方厘米？
3
1
3中阴影部分“对折”，得到的新图形的面积是原来长方形面积的
1
1（4层重叠）。
4
11
所以S阴影Srectangle
11
SrectangleSrectangle；
412
所以原来的长方形面积
11
SrectangleS阴影1271242平方厘米。
22
D
E
F
C
A
B
G
H
。
设最小的正方形边长为x厘米，又因为小正方形A的边长为7厘米，小正方形B的边长为4厘米，
所以小正方形C的边长可以表示为7x厘米，
小正方形D的边长可以表示为7xx72x厘米，
小正方形E的边长可以表示为7x411x厘米，
小正方形F的边长可以表示为11x415x厘米，
小正方形G的边长可以表示为15x419x厘米，
小正方形H的边长可以表示为7x714x厘米，
观察大长方形可知：
小正方形D、C、H的边长之和等于小正方形F、G的边长之和，
可以列方程为：
72x（7x）（14x）（15x）（19x），解得x1。
从而可得小正方形C、D、E、F、G、H的边长
分别为8厘米、9厘米、10厘米、14厘米、18厘米、15厘米。
大长方形的长为181533厘米，宽为141832厘米，
大长方形的面积为33321056平方厘米。
2】如图所示，共有16条线段，每2条相邻的线段都是互相垂直。
为了计算出这个图形的周长，
最少要量出多少条线段的长度？
NM
ABCDEFGHIJKLMNOP，
所以ABCDEFGHIJKLMNOPABCDEF2，
所以只需量出线段AB、CD、EF的长度，
就能算出AB、CD、EF、GH、IJ、KL、MN、OP的长度和。
对于纵向APNOBCQRLM，FGDEQRJKHI，
所以APNOBCLMFGDEJKHI，APNODEJKHIBCLMFG，
所以只需量出线段BC、LM、FG的长度。
最少量出AB、CD、EF、BC、LM、FG这6条线段的长度，就可以计算出这个图形的周长。
3】（1989年第一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛小学组团体决赛口试第5题）正方形树林每
边长1000米，里面有白杨树和榆树。
小明从树林的西南角走入树林，碰见一珠白杨树就往正北
走，碰到一株榆树就往正东走，最后他走到了东北角。
问：
小明一共走了多少米的距离？
所以但无论小明怎样走，向正东方前进1000米，向正北方向前进1000米；
所以小明一共走了100010002000米的距离。
4】（2001年第十届日本小学数学奥林匹克大赛预赛第2题）如图所示，图中的大长方形分成了
四个面积相等的图形。
请问：
“？
”处的长度是多少厘米？
29472平方厘米；
大正方形的长是7298厘米；
“？
”处的长度是826厘米。
5】（2007年第十六届日本小学数学奥林匹克大赛预赛第2题）如图1，有两个大小相同的完全
重叠在一起的正方形，现在以点P为中心转动一个正方形。
当AB5厘米，BC13厘米，CA12
厘米时，求图2的两个正方形相重叠部分的面积。
（注意，图的尺寸不一定准确）
ABBCCA5131230厘米；
正方形的面积Ssquare302900平方厘米；
11
SABCABAC51230平方厘米；
22
两个正方形相重叠部分的面积
Ssquare
4SABC
900430780平方厘米。
6】（1992年第一届日本小学数学奥林匹克大赛预赛第
5题）如图所示，一个正十二边形的边长
是1厘米，空白部分是等边三角形，一共有12个。
请算出阴影部分的面积。
1cm1cm1cm
6个三角形不在十二边形边上的顶点，
形成一个正六边形，将这个六边形分割成6个等边三角形；
这6个阴影部分等边三角形与空白部分中12个等边三角形的边长相等均为1厘米，
所以将这6个阴影部分等边三角形移到空白部分，恰好形成6个边长为1厘米的正方形；
所以阴影部分的面积等于这6个边长为1厘米的正方形的面积，为1266平方厘米。
7】（2000年第九届日本小学数学奥林匹克大赛决赛第6题）有一张纸是边长为10厘米的正三
角形，把这个正三角形的3个角分别与相对的边平行地折叠成边长是整数的正三角形时，面积是
原来的正三角形的一半，变成了所有内角都是120o的六角形。
这时，三层纸重叠部分的面积之和
是原来的正三角形面积的几分之几？
10厘米的正三角形可以分成102100个边长是1厘米的正三角形。
3个角折叠后其面积成为了叶状的六边形，
它可以分成100250个边长是1厘米的正三角形。
将50拆成3个正整数的平方和为50324252。
如图所示，把边长是10厘米的正三角形分别拆成边长是
3厘米、4厘米、5厘米的正三角形后，
剩下的六边形可由50个边长为1厘米的正三角形组成。
因此，三层纸重叠的部分是图中的阴影部分。
把边长是3厘米和5厘米的正三角形折叠后重叠的部分是12
把边长是4厘米和5厘米的正三角形折叠后重叠的部分是32
重叠部分的面积之和是1910个边长是1厘米的正三角形；
1个边长是1厘米的正三
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