五年级几何巧求周长和面积教师版.docx

1、五年级几何巧求周长和面积教师版巧求周长长方形周长公式：长方形周长宽） 2 ，记作： C 长方形a b 2；正方形周长公式：正方形周长 边长 4，记作： C 正方形 a 4 ；巧求周长时，常用到“平移线段法”和“标向法” 。巧求面积长方形面积公式：长方形面积正方形面积公式：正方形面积三角形面积公式：三角形面积 1 底长 宽，记作： S 长方形 a b ；边长 边长，记作： S 正方形 a a a2；2平行四边形面积公式：平行四边形面积高，记作： S 三角形 a h ；2底 高，记作： S 平行四边形 a h ；1 ab21梯形面积公式：梯形面积 1 （上底 下底） 高，记作： S 梯形2巧求面积

2、时，常用到“割补法” （将图形平移、对称、旋转） 。h；常见巧求周长和面积问题1.20个边长为 3厘米的小正三角形按如图的方式拼成一个平行四边形。 这个平行四边形的周长是多少厘米？2 厘米的平行四边形与三角形（如图所示）拼接成一个大的平行四边形，已知大平244厘米，那么平行四边形和三角形各有多少个？Cparallelog ram 20 2 atriangle atriangle 2 22atriangle 22 3 66厘米。2.用若干个边长都是 行四边形的周长是2 厘米的平行四边形与三角形（如图所示）拼接成一个大的平行四边形，已知大平236厘米，那么平行四边形和三角形各有多少个？236 2

3、2 2 116 厘米，244 2 2 2 120 厘米，观察上边，每 6厘米有两个平行四边形的边，所以共有小平行四边形 120 6 2 40个，三角形的数量与小平行四边形的数量相等，也是 40个。3.用若干个边长都是 行四边形的周长是观察上边，每 6厘米有两个平行四边形的边， 116 6 19L L 2，有三角形 19 2 38个，小平行四边形 38 1 39个。4.一块正方形的苗圃 （如图实线所示） ， 若将它的边长各增加 30米 （如图虚线所示） ， 则面积增加 9900平方米，问原来这块正方形苗圃的面积是多少平方米？30m30m30 30 900平方米。 用增加的面积减去小正方形的面积就

4、得到增加的两个长方形的面积和，为 9900 900 9000平方米。而增加的两个长方形的面积相等，于是其中一个长方形的面积为 9000 2 4500平方米。长方形的宽为 30 米，那么长为： 4500 30 150米，这就是原来这块正方形苗圃的边长，原来这块正方形苗圃的面积为 150 150 22500平方米。5.计划修建一个正方形的花坛，并在花坛周围种上 3米宽的草坪，草坪的面积为 300平方米，那么修建这个花坛需要占地多少平方米？（方法一）要求正方形花坛的面积，就要先求正方形花坛的边长。将环形小路进行分割，得到四个面积相同的小长方形。由于小路的面积已知，那么每一块小长方形的面积为 300

5、4 75 平方米。由题意知，小长方形的宽为 3 米，于是长方形的长为 75 3 25 米。那么正方形花坛的边长为 25 3 22 米。所以正方形花坛的面积为 22 22 484平方米。（方法二）若我们将环形小路用另外一种方法分割，阴影部分是四个面积相等且边长为 3的小正方形，它们的面积和为 3 3 4 36平方米。从环形小路的面积中减掉这四块阴影部分的面积后剩下的又是四块相等的长方形，每块长方形的面积为 300 36 4 66 平方米。长方形的长为 66 3 22 米，即为正方形花坛的边长，所以正方形花坛的面积为 22 22 484平方米。6. （ 2007年湖北省“创新杯”数学邀请赛五年级初

6、赛第米，三角形 AFE的高 AG 15厘米，三角形 ABC 的底6题）如图，平行四边形 BDEF 的底 BD 15厘BC 25厘米，则阴影部分的面积为方厘米。A. 225B. 200C. 150D. 175S ABCS CAI ， S AEFS EAH ， S EDC S CEJ ；所以 S ABC S AEFS EDCS CAI S EAHS CEJ ，即 SBDEF SEHIJ ；SEHIJEJ AG DC AG BC BD AG 25 15 15 150 平所以 SBDEF150 平方厘米，故选 C 。7.在图中，至少要测量几条线段，才能求出这个图形的周长？2 条，编号为 1、 5 或

7、3 、 7 ；纵向至少要测量 1 条编号为 2 ；所以至少要测量 3 条线段，编号为 1 ， 2 ， 5 或编号为 2 ， 3 ， 7 。8.如图，这个多边形任意相邻的两条边都互相垂直。这个多边形的周长是多少？36（向右的线段和 向下的线段和） 2 ；多边形的周长 C 2 3 2 1 2 3 2 5 6 6 2 64 。9.一个大长方形若能分割成若干个大小不同的小正方形，则称为完美长方形。下面一个长方形是由 9 个小正方形组成的完美长方形。图中正方形 A和 B的边长分别是 7厘米和 4厘米，那么这个完美长方形的面积是多少平方厘米？。设最小的正方形边长为 x厘米， 又因为小正方形 A的边长为 7

8、厘米， 小正方形 B 的边长为 4厘米，所以小正方形 C 的边长可以表示为 7 x厘米，小正方形 D 的边长可以表示为 7 x x 7 2x厘米，小正方形 E 的边长可以表示为 7 x 4 11 x厘米，小正方形 F 的边长可以表示为 11 x 4 15 x 厘米，小正方形 G 的边长可以表示为 15 x 4 19 x 厘米，小正方形 H 的边长可以表示为 7 x 7 14 x厘米，观察大长方形可知：小正方形 D 、 C 、 H 的边长之和等于小正方形 F 、 G 的边长之和，可以列方程为： 7 2x (7 x) (14 x) (15 x) (19 x)，解得 x 1 。从而可得小正方形 C

9、、 D 、 E 、 F 、 G 、 H 的边长分别为 8厘米、 9厘米、 10厘米、 14厘米、 18 厘米、 15厘米。大长方形的长为 18 15 33厘米，宽为 14 18 32厘米，大长方形的面积为 33 32 1056平方厘米。10.( 2008年 1 月 21 日第十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛小学组总决赛二试第 4题)图中的三角形都是等边三角形，红色三角形的边长是 24.7，蓝色三角形的边长是 26。问：黄色三角形的边长是15 个小三角形，为说明方便，我们给出了编号。这些小三角形中，边长相等的有 5 对，分别是 4和 5， 7和 8， 9和 10， 11和 12， 14和 15

10、。将 6的左边延长，可以看出 13与 14的边长之差等于 1 与 2的边长之差，为 26 24.7 1.3。设 14 、 15 的边长为 a ，用 bx 表示标号为 x的三角形边长，则 b14 b15 a ， b13 a 1.3， b11 b12 2a 1.3， b9 b10 3a 1.3， b7 b8 3a 2.6 ， b6 4a 1.3， b4 b5 4a 3.9 5a 1.3，所以 a 2.6 ， b3 b2 b10 24.7 9.1 15.6。11. 如图是一个水上公园，中间有一条长廊，水中养着食人鱼，已知1 平方米养 4 条鱼，路的宽度为 2 米，公园的长和宽分别为 18 米、 25

11、 米，求这里面共养了多少条鱼？(长廊下面不养鱼)S 18 2 25 2 368 平方米；这里面共养了 368 4 1472条鱼。12. 用两块长方形纸片和一块正方形纸片拼成一个大正方形， 方厘米，原正方形纸片面积是多少平方厘米？长方形纸片面积分别为 44 平方厘米与 28平44 28 16 ，所以 a 4 厘米， b 28 4 7 厘米，原正方形面积为 7 7 49平方厘米。13.如图所示，在一个正方形内画中、小两个正方形，使三个正方形具有公共顶点，这样大正方形被分割成了正方形区域甲，和 L 形区域乙和丙。甲的边长为 4 厘米，乙的边长是甲的边长的 1.5 倍，丙的边长是乙的边长的 1.5倍，

12、那么丙的周长为多少厘米？ EF 长多少厘米？AHJE的周长（我们可将乙与甲重合的两条线段分别向左、向下平移）同样的，丙的周长也就是正方形 ABCD 的周长。由于 AE 4 1.5 6， AD 6 1.5 9，4 2 厘米。所以丙的周长为 9 4 36厘米， EF AE AF 614.有一大一小两块正方形试验田，他们的周长相差 40 米，面积相差 220 平方米，那么小正方形试验田的面积是多少平方米？【分析】根据已知条件，我们将两个正方形试验田的一个顶点对齐，画出示意图（如图 a ） ，将大正方形在小正方形外的部分分割成两个直角梯形，再拼成一个长方形（如图 b ） 。由于两个正方形的周长相差 4

13、0 米，从而它们的每边相差 40 4 10米，即图 b 中的长方形的宽是 10米。又因为长方形的面积是两个正方形的面积之差，即为 220平方米，从而长方形的长为： 220 10 22米。由图可知，长方形的长是大正方形与小正方形的边长之和，长方形的宽为大正方形与小正方形的边长之差，从而小正方形的边长为 22 10 2 6 米。所以小正方形的面积为 6 6 36平方米。图a 图b15.（ 1986年第一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛小学组初赛第 19题）同样大小的长方形小纸片摆成 如图的图形。已知小纸片的宽是 12厘米，求阴影部分的总面积。也就是说，二个小纸片的长等于三个小纸片的宽。已知小纸片的宽

14、是 12 厘米，于是小纸片的长是 12 3 2 18厘米，阴影部分是三个正方形，边长正好是小纸片的长与宽的差是 18 12 6 厘米；于是，阴影部分的面积是 62 3 108平方厘米。16.一个大长方形若能分割成若干个大小不同的小正方形， 则称为完美长方形。 如图是用标号为 1 ， 2 ， 3 ，4， 5的五种大小不同的正方形拼成的一个大长方形，大长方形的长和宽分别是 18， 14，则标号为 5的正方形的面积是多少？5 的正方形的边长是 a ，那么 1号比 2号大 a， 2号比 3号大 a，所以 1号比 3号大 2a，又因为 2号和 3号的边长之和是 14， 1 号和 2号的边长之和是 18，

15、所以 1号比 3号大 18 14 4，即 2a 4， a 2，标号为 5 的正方形的面积是 2 2 4 。17.4， 5的大小不同的正方形拼出一个长方形，如图所示，则中间阴影部分正小军用编号为 1 ， 2， 3，方形的周长是多少厘米？13254124322厘米30厘米1 的边长正方形 2 的边长 正方形 3的边长 30厘米，正方形 1的边长 正方形 2的边长 22厘米，所以正方形 3的边长 30 22 8厘米，正方形 5 的边长 2 正方形 3 的边长 22 厘米，所以正方形5 的边长 22 8 2 6厘米，周长为 6 4 24厘米。18. 如图，E、 F、G 、 H 分别是正方形 ABCD

16、各条边的中点，正方形 ABCD 的面积是 5，求中间阴影部分的面积。5 个小正方形，所以阴影部分正方形面积为1。19. 用同样大小的瓷砖铺一个正方形地面，两条对角线上铺黑色的，其它地方铺白色的，如图所示。如果铺满这块地面共用 101 块黑色瓷砖，那么白色瓷砖用了多少块？（方法一）我们可以让静止的瓷砖动起来，把对角线上的黑瓷砖，通过旋转、平移两次动态的处理，移到两条边上。在这一转化过程中瓷砖的位置发生了变化，但数量没有变，此时白色瓷砖组成一个正方形。黑色瓷砖共 101 块，所以大正方形的边长为 101 1 2 51 ，白色瓷砖组成的正方形的边长为 51 1 50， 50 50 2500，所以白色

17、瓷砖共用了 2500块。（方法二）可以通过旋转，将两条对角线旋转到中间，然后再计算就可以了。所以白色共用了 101 1 2 1101 2500块。20. ( 1995年第四届日本小学数学奥林匹克大赛预赛第是边长为 10厘米的正方形。求阴影四边形的面积。5 题) 如图所示， 一阴影四边形， 其外侧的四边形21.标有相同号码的 记号的三角形和 记号的三角形形状和相同、面积相等。所以 记号的 4 个三角形面积之和和 记号的 4 个三角形面积之和相等。记号的长方形的面积为 3 2 6 平方厘米。 记号的 4 个三角形和 记号的 4 个三角形面积之和为 10 10 6 94平方厘米，所以 记号的 4 个

18、三角形面积之和为 94 2 47 平方厘米，所以阴影四边形的面积为 6 47 53 平方厘米。( 2008年第十七届日本初小小学数学奥林匹克大赛预赛第是边长为 10cm 的正方形，则阴影部分四边形的面积是10 题)如图，阴影部分四边形的外接图形 平方厘米。我们发现，空白部分比阴影部分多中间的矩形部分的面积。中间的矩形面积为 4 1 4平方厘米，所以阴影部分面积为 10 10 4 2 48平方厘米。22.（ 1993年第二届日本小学数学奥林匹克大赛预赛第 7题）如图所示，在半径为 4厘米的圆中有两条互相垂直的线段。请判断：阴影部分面积 A与其它部分面积 B 哪一个大？大多少平方厘米？将左上角的

19、A记为 a；将右下角的将左下角的 B 记为 g ；将右上角的A分成 3部分，分别记为B 分成 2 部分，分别记为b、 c、 d；e、 f；Sa Sf ， Sc Se ， Sd Sg 。所以 SA SB；SA SB(Sa Sb Sc Sd) (Se Sf Sg ) (SaSf ) (Sc Se) (Sd Sg) Sb Sb1 1 2 2 8平方厘米23.如图，一个矩形被分成八个小矩形，其中有五个矩形的面积如图中所示（单位：平方厘米） 形的面积是多少平方厘米？面积为 16平方厘米和面积为 20平方厘米的两个长方形的宽相等，即 BC相等，不妨假设 BC 2厘米，可以算得： AC 8厘米， CD 10

20、厘米。于是可以算得： GC 36 8 4.5厘米， BE 30 10 3厘米， EF 12 8 1.5厘米。于是大长方形的长为 10 8 18厘米，宽为 4.5 2 3 1.5 11 厘米，因此大长方形的面积为 18 11 198平方厘米。24.（ 2000年第九届日本小学数学奥林匹克大赛预赛第 6题）如图，把正方形的土地分成如下四个长方形，阴影部分是正方形，它包含在 40平方米的正方形之内。求阴影部分的面积。30m 4m220m210m 230m 24m2FI 20m 210m 2AE DB JCSABCD 10 20 30 40 100 平方米；所以正方形 ABCD的边长为 10米。因为G

21、FSAEFGSAEFG303GHSADHGSAEFGSDEFH30 40；7所以GF3GH73 10730 米；7因为GISBGIJSBGIJ202；GHSBGHCSBGIJSCJIH20 10； 3所以GI2GH 3210320 米； 3所以 FI GI GF 230 370 5201 米；黄 色纸片露出部分与绿色纸片露出部分面积不同，由于三块纸片的大小一样，把黄色纸 片向左移动， 在这个移动过程中， 黄色纸片露出部分减少的面积等于绿色纸片纸片露出部分增加的面积，它们露出部分的面积和不变，为 8 12 20 。当黄色纸片移动到正方形盒的最左边时，如右上图所示，可知此时黄色纸片露出部分与绿色纸

22、片露出部分的面积相等，所以黄色纸片露出部分面积为 20 2 10 ，绿色纸片露出面积也为 10 。右上图中，由于红色部分面积是绿色部分面积的 20 10 2 倍，所以黄色部分面积是空白部分面积的 2倍。所以空白部分的面积为 10 2 5，正方形盒的底面积为 20 10 10 5 45。解答此题的关键是让黄色纸片移动，使复杂的图形变为基本图形。1. （ 2002年第十一届日本小学数学奥林匹克大赛预赛第 10题）如图 1 ，把一个长方形沿直线 MN 对折成如图 2那样，然后沿图 2正中的虚线再对折，得到图 3。此时，如果图 3图形的总面积是原长方形面积的 ，并且已知阴影部分的面积是 7 平方厘米。

23、请问：原来的长方形面积是多少平方厘米？313 中阴影部分“对折” ，得到的新图形的面积是原来长方形面积的11 （ 4 层重叠） 。411所以 S 阴影 Srectan gle11Srectan gle Srectan gle ；4 12所以原来的长方形面积11Srectan gle S 阴影 12 7 12 42 平方厘米。22DEFCABGH。设最小的正方形边长为 x厘米， 又因为小正方形 A的边长为 7厘米， 小正方形 B 的边长为 4厘米，所以小正方形 C 的边长可以表示为 7 x 厘米，小正方形 D 的边长可以表示为 7 x x 7 2x厘米，小正方形 E 的边长可以表示为 7 x 4

24、 11 x厘米，小正方形 F 的边长可以表示为 11 x 4 15 x 厘米，小正方形 G 的边长可以表示为 15 x 4 19 x 厘米，小正方形 H 的边长可以表示为 7 x 7 14 x厘米，观察大长方形可知：小正方形 D 、 C 、 H 的边长之和等于小正方形 F 、 G 的边长之和，可以列方程为： 7 2x (7 x) (14 x) (15 x) (19 x)，解得 x 1 。从而可得小正方形 C 、 D 、 E 、 F 、 G 、 H 的边长分别为 8厘米、 9厘米、 10厘米、 14厘米、 18 厘米、 15厘米。大长方形的长为 18 15 33厘米，宽为 14 18 32厘米，

25、大长方形的面积为 33 32 1056平方厘米。2】 如图所示，共有 16条线段，每 2条相邻的线段都是互相垂直。为了计算出这个图形的周长，最少要量出多少条线段的长度？NMAB CD EF GH IJ KL MN OP ，所以 AB CD EF GH IJ KL MN OP AB CD EF 2，所以只需量出线段 AB 、 CD 、 EF 的长度，就能算出 AB 、 CD 、 EF 、 GH 、 IJ 、 KL 、 MN 、 OP 的长度和。对于纵向 AP NO BC QR LM ， FG DE QR JK HI ，所以 AP NO BC LM FG DE JK HI ， AP NO DE J

26、K HI BC LM FG ，所以只需量出线段 BC、 LM 、 FG 的长度。最少量出 AB 、 CD 、 EF 、 BC 、 LM 、 FG 这 6条线段的长度，就可以计算出这个图形的周长。3】 ( 1989年第一届 “华罗庚金杯” 少年数学邀请赛小学组团体决赛口试第 5题) 正方形树林每边长 1000米，里面有白杨树和榆树。小明从树林的西南角走入树林，碰见一珠白杨树就往正北走，碰到一株榆树就往正东走，最后他走到了东北角。问：小明一共走了多少米的距离？所以但无论小明怎样走，向正东方前进 1000米，向正北方向前进 1000米；所以小明一共走了 1000 1000 2000米的距离。4】 (

27、 2001年第十届日本小学数学奥林匹克大赛预赛第 2题) 如图所示， 图中的大长方形分成了四个面积相等的图形。请问： “？”处的长度是多少厘米？2 9 4 72 平方厘米；大正方形的长是 72 9 8厘米；“？”处的长度是 8 2 6 厘米。5】 （ 2007年第十六届日本小学数学奥林匹克大赛预赛第 2题）如图 1 ，有两个大小相同的完全重叠在一起的正方形， 现在以点 P 为中心转动一个正方形。 当 AB 5厘米， BC 13厘米， CA 12厘米时，求图 2 的两个正方形相重叠部分的面积。 （注意，图的尺寸不一定准确）AB BC CA 5 13 12 30厘米；正方形的面积 Ssquare

28、302 900 平方厘米；11S ABC AB AC 5 12 30 平方厘米；22两个正方形相重叠部分的面积S square4S ABC900 4 30 780 平方厘米。6】 （ 1992年第一届日本小学数学奥林匹克大赛预赛第5 题） 如图所示， 一个正十二边形的边长是 1 厘米，空白部分是等边三角形，一共有 12 个。请算出阴影部分的面积。1cm 1cm 1cm6 个三角形不在十二边形边上的顶点，形成一个正六边形，将这个六边形分割成 6 个等边三角形；这 6 个阴影部分等边三角形与空白部分中 12 个等边三角形的边长相等均为 1 厘米，所以将这 6 个阴影部分等边三角形移到空白部分，恰好

29、形成 6 个边长为 1厘米的正方形；所以阴影部分的面积等于这 6 个边长为 1 厘米的正方形的面积，为 12 6 6 平方厘米。7】 （ 2000年第九届日本小学数学奥林匹克大赛决赛第 6题）有一张纸是边长为 10厘米的正三角形，把这个正三角形的 3 个角分别与相对的边平行地折叠成边长是整数的正三角形时，面积是原来的正三角形的一半，变成了所有内角都是 120o的六角形。这时，三层纸重叠部分的面积之和是原来的正三角形面积的几分之几？10厘米的正三角形可以分成 102 100个边长是 1 厘米的正三角形。3个角折叠后其面积成为了叶状的六边形，它可以分成 100 2 50个边长是 1 厘米的正三角形。将 50 拆成 3 个正整数的平方和为 50 32 42 52 。如图所示，把边长是 10 厘米的正三角形分别拆成边长是3 厘米、 4 厘米、 5 厘米的正三角形后，剩下的六边形可由 50个边长为 1厘米的正三角形组成。因此，三层纸重叠的部分是图中的阴影部分。把边长是 3 厘米和 5 厘米的正三角形折叠后重叠的部分是 12把边长是 4 厘米和 5 厘米的正三角形折叠后重叠的部分是 32重叠部分的面积之和是 1 9 10 个边长是 1 厘米的正三角形；1 个边长是 1 厘米的正三