高考数学一轮复习第八章平面解析几何学案0523110.docx

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高考数学一轮复习第八章平面解析几何学案0523110

第八章平面解析几何

第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程

1．直线的倾斜角

（1）定义：

当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.

（2）范围：

直线l倾斜角的取值范围是[0，π）．

2．斜率公式

（1）直线l的倾斜角为α（α≠），则斜率k＝tan_α.

（2）P1（x1，y1），P2（x2，y2）在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝.

3．直线方程的五种形式

名称

几何条件

方程

适用范围

斜截式

纵截距、斜率

y＝kx＋b

与x轴不垂直的直线

点斜式

过一点、斜率

y－y0＝k（x－x0）

两点式

过两点

＝

与两坐标轴均不垂直的直线

截距式

纵、横截距

＋＝1

不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线

一般式

Ax＋By＋C＝0

（A2＋B2≠0）

所有直线

4．线段的中点坐标公式

若点P1，P2的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），线段P1P2的中点M的坐标为（x，y），则此公式为线段P1P2的中点坐标公式．

[小题体验]

1．若过点M（－1，m），N（m＋1,4）的直线的斜率等于1，则m的值为（　　）

A．1　　　　　　　　　　　B.

C．2D.

解析：

选A　由＝1，得m＝1.故选A.

2．直线3x－y＋1＝0的倾斜角α为（　　）

A．30°B．60°

C．120°D．135°

解析：

选B　直线方程可变形为y＝x＋，tanα＝，

∵0°≤α<180°，∴α＝60°.故选B.

3．（2018·嘉兴检测）直线l1：

x＋y＋2＝0在x轴上的截距为________；若将l1绕它与y轴的交点顺时针旋转90°，则所得到的直线l2的方程为________________．

解析：

对于直线l1：

x＋y＋2＝0，令y＝0，得x＝－2，即直线l1在x轴上的截距为－2；令x＝0，得y＝－2，即l1与y轴的交点为（0，－2），直线l1的倾斜角为135°，∴直线l2的倾斜角为135°－90°＝45°，∴l2的斜率为1，故l2的方程为y＝x－2，即x－y－2＝0.

答案：

－2　x－y－2＝0

1．点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x，y轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线．

2．截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零．

3．求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论．

[小题纠偏]

1．过点（5,2），且在y轴上的截距是在x轴上的截距2倍的直线方程是（　　）

A．2x＋y－12＝0

B．2x＋y－12＝0或2x－5y＝0

C．x－2y－1＝0

D．x－2y－1＝0或2x－5y＝0

解析：

选B　当直线过原点时所求方程为2x－5y＝0；当直线不过原点时，可设其截距式为＋＝1，由该直线过点（5,2），解得a＝6，对应方程为＋＝1，即2x＋y－12＝0，故选B.

2．过点（5,10），且到原点的距离为5的直线方程是________．

解析：

当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0满足题意；

当斜率存在时，设其为k，

则所求直线方程为y－10＝k（x－5），

即kx－y＋10－5k＝0.

由距离公式，得＝5，解得k＝.

故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.

综上知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.

答案：

x－5＝0或3x－4y＋25＝0

[题组练透]

1．设直线ax＋by＋c＝0的倾斜角为α，且sinα＋cosα＝0，则a，b满足（　　）

A．a＋b＝1　　　　　　　　B．a－b＝1

C．a＋b＝0D．a－b＝0

解析：

选D　由题意得sinα＝－cosα，显然cosα≠0，则tanα＝－1，∴－＝－1，a＝b，a－b＝0.

2．经过P（0，－1）作直线l，若直线l与连接A（1，－2），B（2,1）的线段总有公共点，则直线l的斜率k和倾斜角α的取值范围分别为________，________.

解析：

如图所示，结合图形，若l与线段AB总有公共点，则kPA≤k≤kPB，而kPB>0，kPA<0，故k<0时，倾斜角α为钝角，k＝0时，α＝0，k>0时，α为锐角．

又kPA＝＝－1，

kPB＝＝1，∴－1≤k≤1.

又当0≤k≤1时，0≤α≤；

当－1≤k<0时，≤α<π.

故倾斜角α的取值范围为α∈∪.

答案：

[－1,1]　∪

3．若A（2,2），B（a,0），C（0，b）（ab≠0）三点共线，求＋的值．

解：

∵kAB＝＝－，kAC＝＝－，且A，B，C三点共线，∴kAB＝kAC，即－＝－，整理得ab＝2（a＋b），将该等式两边同除以2ab得＋＝.

[谨记通法]

1．倾斜角与斜率的关系

当α∈且由0增大到时，k的值由0增大到＋∞.

当α∈时，k也是关于α的单调函数，当α在此区间内由增大到π（α≠π）时，k的值由－∞趋近于0（k≠0）．

2．斜率的3种求法

（1）定义法：

若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tanα求斜率．

（2）公式法：

若已知直线上两点A（x1，y1），B（x2，y2），一般根据斜率公式k＝（x1≠x2）求斜率．

（3）方程法：

若已知直线的方程为Ax＋By＋C＝0（B≠0），则l的斜率k＝－.

[典例引领]

求适合下列条件的直线方程：

（1）经过点（4,1），且在两坐标轴上的截距相等；

（2）经过点（－1，－3），倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍；

（3）经过点（3,4），且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．

解：

（1）设直线方程在x，y轴上的截距均为a，

若a＝0，即直线方程过点（0,0）和（4,1），

∴直线方程为y＝x，即x－4y＝0；

若a≠0，则设直线方程为＋＝1，

∵直线方程过点（4,1），∴＋＝1，

解得a＝5，∴直线方程为x＋y－5＝0.

综上可知，所求直线的方程为x－4y＝0或x＋y－5＝0.

（2）由已知，设直线y＝3x的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α.

∵tanα＝3，∴tan2α＝＝－.

又直线经过点（－1，－3），

因此所求直线方程为y＋3＝－（x＋1），

即3x＋4y＋15＝0.

（3）由题意可知，所求直线的斜率为±1.

又过点（3,4），由点斜式得y－4＝±（x－3）．

即所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y－7＝0.

[由题悟法]

求直线方程的2个注意点

（1）在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．

（2）对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用（若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零）．

[即时应用]

求倾斜角是直线y＝－x＋1的倾斜角的，且分别满足下列条件的直线方程：

（1）经过点（，－1）；

（2）在y轴上的截距是－5.

解：

∵直线y＝－x＋1的倾斜角α＝120°.

∴所求直线的倾斜角为30°，即斜率k＝.

（1）所求直线方程为y＋1＝（x－），

即x－3y－6＝0.

（2）所求直线方程为y＝x－5，

即x－3y－15＝0.

[锁定考向]

直线方程的综合应用是常考内容之一，它常与函数、导数、不等式、圆相结合，命题多为客观题．

常见的命题角度有：

（1）与基本不等式相结合的最值问题；

（2）与导数的几何意义相结合的问题；

（3）由直线方程解决参数问题．　　　　

[题点全练]

角度一：

与基本不等式相结合的最值问题

1．过点P（2,1）作直线l，与x轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点，求：

（1）△AOB面积的最小值及此时直线l的方程；

（2）直线l在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线l的方程；

（3）|PA|·|PB|的最小值及此时直线l的方程．

解：

（1）设直线l的方程为y－1＝k（x－2），

则可得A，B（0,1－2k）．

∵直线l与x轴，y轴正半轴分别交于A，B两点，

∴得k＜0.

∴S△AOB＝·|OA|·|OB|＝··（1－2k）

＝≥

＝4，当且仅当－＝－4k，

即k＝－时，△AOB的面积有最小值4，此时直线l的方程为y－1＝－（x－2），即x＋2y－4＝0.

（2）∵A，B（0,1－2k）（k＜0），

∴截距之和为2－＋1－2k＝3－2k－≥3＋2＝3＋2，当且仅当－2k＝－，即k＝－时等号成立．

故截距之和的最小值为3＋2，

此时直线l的方程为y－1＝－（x－2），

即x＋y－－2＝0.

（3）∵A，B（0,1－2k）（k＜0），

∴|PA|·|PB|＝·＝2≥4，

当且仅当－k＝－，

即k＝－1时上式等号成立．

故|PA|·|PB|的最小值为4，此时直线l的方程为y－1＝－（x－2），即x＋y－3＝0.

角度二：

与导数的几何意义相结合的问题

2．设P为曲线C：

y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为（　　）

A.　　　　　B.

C．[0,1]D.

解析：

选A　由题意知y′＝2x＋2，设P（x0，y0），

则k＝2x0＋2.

因为曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为，所以0≤k≤1，即0≤2x0＋2≤1，故－1≤x0≤－.

角度三：

由直线方程解决参数问题

3．已知直线l1：

ax－2y＝2a－4，l2：

2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a的值．

解：

由题意知直线l1，l2恒过定点P（2,2），直线l1在y轴上的截距为2－a，直线l2在x轴上的截距为a2＋2，所以四边形的面积S＝×（2－a）×2＋×（a2＋2）×2＝a2－a＋4＝2＋，当a＝时，四边形的面积最小，故a＝.

[通法在握]

处理直线方程综合应用的2大策略

（1）含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．

（2）求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．

[演练冲关]

1．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P（x，y），则|PA|·|PB|的最大值是________．

解析：

易求定点A（0,0），B（1,3）．当P与A和B均不重合时，因为P为直线x＋my＝0与mx－y－m＋3＝0的交点，且易知两直线垂直，则PA⊥PB，所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，所以|PA|·|PB|≤＝5（当且仅当|PA|＝|PB|＝时，等号成立），当P与A或B重合时，|PA|·|PB|＝0，故|PA|·|PB|的最大值是5.

答案：

5

2．已知直线l：

kx－y＋1＋2k＝0（k∈R）．

（1）证明：

直线l过定点；

（2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；

（3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．

解：

（1）证明：

直线l的方程可化为y＝k（x＋2）＋1，故无论k取何值，直线l总过定点（－2,1）．

（2）直线l的方程为y＝kx＋2k＋1，则直线l在y轴上的截距为2k＋1，

要使直线l不经过第四象限，则解得k≥0，

故k的取值范围为.

（3）依题意，直线l在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，

∴A，B（0,1＋2k）．

又－<0且1＋2k>0，∴k>0.

故S＝|OA||OB|＝××（