9.设f(x)=4x11-2x+1,已知f(m)=2,求f(-m).
4x1
解:
设g(x)=42x11
2x,则
g(-x)=2
41x1
4x14
x1+2x=41+2x
21x
2x
14x+2x=4x2x1+2x=2x1
14+2x=-42x11+2x=-g(x)
g(x)是奇函数,g(m)=2-1,
∴f(-m)=g(-m)+1=-g(m)+1=2-2.
x
ea
10.设a0,f(x)x是R上的偶函数
ae
1)求a的值;
(2)证明f(x)在(0,)上为增函数
1x11
∴(a)(exx)0对一切xR成立,则a0,
aea
∴a1,∵a0,∴a1
xx11
(2)(定义法)设0x1x2,则f(x1)f(x2)ex1ex21x1x
1212ex1ex2
11ex2x1x2x1x1x2x1
(ex2ex1)(x1x21)ex1(ex2x11)x2x1,
ee
由x10,x20,x2x10,得x1x20,ex2x110,1ex2x10,
∴f(x1)f(x2)0,
即f(x1)f(x2),∴f(x)在(0,)上为增函数
(ex)21
(导数法)∵a1,x(0,)
∴f(x)(ex
f(x)在(0,)上为增函数
(1)求证:
f(x)是以4为周期的周期函数;
(2)求f(x)在[-1,0]上的解析式;
(3)若x∈[a,a+4],(a∈R),求使关于x的方程f(x)=λ有解的λ的取值范围解
(1)∵f(x+4)=f[(x+2)+2]=f(-x-2)=-f(x+2)=f(x)
∴f(x)的周期为4.
(2)显然f(0)=0,当x∈[-1,0)时-x∈(0,1].
2x2x
f(x)f(x)xx
4x14x1
0(x0)
f(x)2
4x21(x[1,0))
(3)当x(0,1]时,令t2x(1,2],则f(x)
t记
t2t1g(t)
当1t1t22时,t2t10,t1t21,
g(t1)g(t2)((t1tt12211))((tt2221t1))0
21
∴g(t)在(1,2]上是减函数,g(t)[52,12)即
21
f(x)[52,12)
由f(x)是奇函数,x[1,1],
2112f(x)[5,2)(2,5]{0}又f(x+2)=f(-x),∴x=1是f(x)的对称轴.
211当x[1,3]时,f(x)[,)(,
522
2]{0}
5
当x[a,a4]时,f(x)的周期为4,
2112
当[,)(,]{0}时,在[a,a+4]上可使方程
5225
f(x)有解.