高考数学指数指数函数.docx

高考数学指数指数函数.docx

《高考数学指数指数函数.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学指数指数函数.docx（11页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

高考数学指数指数函数

2.9指数指数函数

指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一

一、明确复习目标

1.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，能正确进行指数式运算；

2.掌握指数函数的概念、图象和性质，并能灵活运用图象和性质去解决有关问题。

二．建构知识网络

1.幂的有关概念

n个

（1）正整数指数幂anaaaa（nN）

零指数幂a01（a0）；

1

负整数指数幂anna0,nN

an

m

（2）正分数指数幂annama0,m,nN,n1；

m11

（3）负分数指数幂anma0,m,nN,n1

nm

na

a

（4）0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.

2.有理数指数幂的性质：

1arasarsa0,r,sQ

rsrsrrr

2ararsa0,r,sQ3abrarbra0b,0r,Q

3.根式

（1）根式的定义:

如果xnan1,nN，那么x叫做a的n次方根，用na表示,na叫做根式，n叫根指数，a叫被开方数。

nana；

a0

a0

（2）根式的性质:

①当n是奇数，当n是偶数，nanaa

a

②负数没有偶次方根，③零的任何次方根都是零

4.指数函数：

（1）定义：

y=ax（a>0且a≠1，）叫指数函数，x是自变量，y是x的函数。

（2）图象：

3）性质：

定义域（-∞,+∞；）值域（0,+∞；）

０

x取何值时，y>1,0

（分a>1和0

三、双基题目练练手

1.3a·6a等于

B.b

D.a

f（x）=ax（ax-3a2-1）（a>0且a≠1）,在区间[0,+∞）上是增函数,那么实数a的（）

5.计算：

0.252831

16

ln2ln3ln5

6.若a,b,c,则a、b、c的大小顺序是

235

11111简答.精讲:

1-4.ABBB;1.3a·6a=a3·（－a）6=－（－a）36=－（－a）2;

1111

3.令x=1，由图知c1>d1>a1>b1;

x22

4.记u=ax,则f（x）=u[u-（3a2+1）]=g（u）对称轴为u=（3a2+1）/2,要使f（x）在x∈[0,+∞）时递增,

a1;当a>1时无解.故选B;

当0

5.12;

1111111

6.只须看22,33,55的大小,把22,336次乘方,把22,5510次乘方可知c

四、经典例题做一做

1－1【例1】已知9x－10·3x+9≤0，求函数y=

（1）x－1－4

（1）x+2的最大值和最小值.

42

1解：

由9x－10·3x+9≤0得（3x－1）（3x－9）≤0，解得1≤3x≤9.∴0≤x≤2.令（）

2

x12121x=t，则≤t≤1，y=4t2－4t+2=4（t－）2+1.当t=即x=1时，ymin=1；当t=1即x=0时，422

ymax=2.方法提炼1.由不等式求x的范围;2.换元法转化为地次函数的闭区间上的最值问题..

（aa12）（a2123）

【例2】已知a13,求aaa的值.

（a1a）2

a4a414a

解：

a13a

11（a）249a2247，

aa

33111111

1aaa2a2（a2a2）[（a2）2a2a2（a2）2]aa

11

（a）（a1）3618，aa

11方法归纳1.用好a与a22的关系.2.根式化分数指数幂再计算.

aa2

【例3】（2004全国Ⅲ）解方程4x+|1－2x|=11.解：

当x≤0时，1－2x≥0.

原方程4x－2x－10=02x=1±412x=1－41<0（无解）或2x=1+41

222222>1知x>0（无解）.

当x>0时，1－2x<0.

xxx17xx原方程4x+2x－12=02x=－±2x=－4（无解）或2x=3x=log23（为原

22方程的解）.

思想方法1.分类讨论——分段去绝对值；2。

换元法。

【例4】设函数f（x）2xa2x1（a为实数）．

⑴若a<0，用函数单调性定义证明：

yf（x）在（,）上是增函数

⑵若a＝0，yg（x）的图象与yf（x）的图象关于直线y＝x对称，求函数

yg（x）的解析式．

解：

（1）设任意实数x1

2x1x2

x2

（2x1a2x11）（2x2a2x21）

2x2ax1x2x1x2x1x22a

＝（2x12x2）a（2x12x2）＝（2x12x2）2x1

x1x2,2x12x2,2x12x20;a0,2x1x2a0．

又2x1x20，∴f（x1）－f（x2）<0，所以f（x）是增函数．

（2）当a＝0时，y＝f（x）＝2x－1，∴2x＝y＋1，∴x＝log2（y＋1），y＝g（x）＝log2（x＋1）．

xx2【研究.欣赏】（2002上海）已知函数f（x）ax（a1）

x1

（1）证明f（x）在（-1，+∞）上为增函数；

（2）用反证法证明方程f（x）=0没有负数根。

证明

（1）设－1

∵x2-x1>0,又a>1,∴a1,而－1

∴x1+1>0,x2+1>0,∴f（x2）－f（x1）>0,f（x）在（－1,+∞）上为增函数。

（2）设x0为方程f（x）=0的负根，则有ax0x020即x01

x02x03（1x0）3

a1

x01x01x01

显然，x01，

33

若0x01则,1x010,3,12x01x01

与1ax01矛盾；a

13x

若x0<-1则，x0+1<0,0,11,而ax00矛盾，

x01x01

的解，综上知，不存在负根。

提炼方法：

1.方法：

单调性定义，反证法，分类讨论；

2.反证法推矛盾时,体现了明确的目的性和数式变换的技巧和能力

五．提炼总结以为师

1.根式的运算——根据分数指数幂的意义，转化为分数指数幂的运算；

1

2.指数函数的定义重在“形式”，像y=2·3x，y2x,y3x2，y=3x+1等都不是指数函数，是复合函数.

3.指数函数y=ax（a>0，a≠1）的图象和性质，要分a>1与0

4.对于含有字母参数的指数式，必须对字母参数或自变量取值进行分类讨论，用好用活指数函数单调性，还要注意换元的灵活运用。

同步练习2.9指数指数函数

【选择题】

1.若nN*，则4n21n14n21n1（）

A．2B．2nC．21nD．22n

2.（2005全国卷III）设3x1，则（）

7

A）-2

C）-1

D）0

3.若函数

x

y=a+b－1

a>0且a≠1）的图象经过二、三、四象限，则一定有

B.a>1且b>0

D.a>1且b<0

A.00

C.0

D．5，25

C．25，

填空题】

1

5.函数y=（）

x22x2

的递增区间是

11

1xbcxba1xcaxcb

5.（－∞，1];6.1;

3

2

1的值

解答题】

7.

（1）求值（325125）45

3

11a2a

2）若a2a24，求a1aa2a

2131

解

（1）（325125）45=53545254

213155

534524512541255455

11

（2）原式=（a2）3（a2）3

11

22

a2a21

a1a115

11

（a2a2）（a1a1）

11

a2a2

（-5舍）

1（或-舍）

35

8．函数y=a2x+2ax-1（a>0,a≠1）在区间[-1,1]上的最大值为14，求a的值。

解:

设t=ax,则y=t2+2t-1,在t≥-1时递增.而x∈[-1,1].若a>1,则a-1≤t≤a,ymax=a2+2a-1=14,解得a=3,

若0

9.设f（x）=4x11－2x+1，已知f（m）=2，求f（－m）.

4x1

解：

设g（x）=42x11

2x,则

g（－x）=2

41x1

4x14

x1+2x=41+2x

21x

2x

14x+2x=4x2x1+2x=2x1

14+2x=－42x11+2x=－g（x）

g（x）是奇函数,g（m）=2-1,

∴f（－m）=g（-m）+1=－g（m）+1=2－2.

x

ea

10.设a0，f（x）x是R上的偶函数

ae

1）求a的值；

（2）证明f（x）在（0,）上为增函数

1x11

∴（a）（exx）0对一切xR成立，则a0，

aea

∴a1，∵a0，∴a1

xx11

（2）（定义法）设0x1x2，则f（x1）f（x2）ex1ex21x1x

1212ex1ex2

11ex2x1x2x1x1x2x1

（ex2ex1）（x1x21）ex1（ex2x11）x2x1，

ee

由x10,x20,x2x10，得x1x20,ex2x110，1ex2x10，

∴f（x1）f（x2）0，

即f（x1）f（x2），∴f（x）在（0,）上为增函数

（ex）21

（导数法）∵a1，x（0,）

∴f（x）（ex

f（x）在（0,）上为增函数

（1）求证:

f（x）是以4为周期的周期函数;

（2）求f（x）在[-1,0]上的解析式;

（3）若x∈[a,a+4],（a∈R）,求使关于x的方程f（x）=λ有解的λ的取值范围解

（1）∵f（x+4）=f[（x+2）+2]=f（-x-2）=－f（x+2）=f（x）

∴f（x）的周期为4.

（2）显然f（0）=0,当x∈[-1,0）时－x∈（0,1].

2x2x

f（x）f（x）xx

4x14x1

0（x0）

f（x）2

4x21（x[1,0））

（3）当x（0,1]时,令t2x（1,2],则f（x）

t记

t2t1g（t）

当1t1t22时,t2t10,t1t21,

g（t1）g（t2）（（t1tt12211））（（tt2221t1））0

21

∴g（t）在（1,2]上是减函数,g（t）[52,12）即

21

f（x）[52,12）

由f（x）是奇函数,x[1,1],

2112f（x）[5,2）（2,5]{0}又f（x+2）=f（-x）,∴x=1是f（x）的对称轴.

211当x[1,3]时,f（x）[,）（,

522

2]{0}

5

当x[a,a4]时,f（x）的周期为4,

2112

当[,）（,]{0}时,在[a,a+4]上可使方程

5225

f（x）有解.