春季新版华东师大版八年级数学下学期181平行四边形的性质教案8.docx

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春季新版华东师大版八年级数学下学期181平行四边形的性质教案8

第十六章《16.1平行四边形》（复习）

【同步教育信息】

一.本周教学内容：

平行四边形（复习）

学习要求：

1.理清本章的知识脉落，落实各个知识点。

2.学会逻辑推理的方法。

二.重点、难点：

学习重点：

平行四边形及特殊平行四边形的性质及识别方法。

学习难点：

在做题过程中学会使用逻辑推理的方法。

【学习内容】

一.知识结构：

二.具体知识点的梳理：

1.平行四边形：

（1）定义：

两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

（2）性质：

<1>平行四边形的对边相等，平行四边形的对角相等。

<2>平行四边形的对角线互相平分。

（3）识别方法：

<1>用定义识别。

（从边看）

<2>两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

（从边看）

<3>一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

（从边看）

<4>两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

（从角看）

<5>对角线互相平分的四边形是平行四边形。

（从对角线看）

（4）平行四边形的知识运用包括三个方面：

<1>直接用平行四边形的性质去解决问题，求角、线段、证明角相等、互补、证明线段相等或倍分。

<2>判定一个四边形是平行四边形，从而判定两直线平行。

<3>先判定一个四边形是平行四边形，再用平行四边形的性质去解决某问题。

2.矩形：

（1）定义：

有一个角是直角的平行四边形是矩形。

（2）性质：

<1>矩形的四个内角都是直角。

<2>矩形的对角线相等且互相平分。

<3>除上面两条以外，它还有平行四边形的一切性质。

（3）矩形的识别方法：

<1>有一个角是直角的平行四边形；

<2>对角线相等的平行四边形；

<3>有三个角是直角的四边形。

3.菱形：

（1）定义：

有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

（2）性质：

<1>菱形的四条边都相等。

<2>菱形的对角线互相垂直平分且每一条对角线平分一组对角。

<3>菱形的面积＝底×高＝对角线乘积的一半。

<4>它还拥有平行四边形的一切性质。

（3）判定方法：

<1>有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

<2>对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

<3>四边都相等的四边形是菱形。

4.正方形：

（1）定义：

<1>有一个角是直角的菱形是正方形。

<2>有一组邻边相等的矩形是正方形。

（2）性质：

<1>它拥有四边形、平行四边形、菱形、矩形的一切性质。

<2>正方形的一条对角线将其分成两个全等的等腰直角三角形。

两条对角线将其分成四个全等的等腰直角三角形。

（3）判定方法：

<1>一组邻边相等，一个角是直角的平行四边形是正方形。

<2>一组邻边相等的矩形是正方形。

<3>一个角是直角的菱形是正方形。

<4>既是菱形又是矩形的四边形是正方形。

4.梯形

（1）定义：

只有一组对边平行的四边形是梯形，两腰相等的梯形是等腰梯形，有一个角是直角的梯形是直角梯形。

（2）等腰梯形的性质：

<1>等腰梯形同一底边上的两个内角相等。

<2>等腰梯形的两条对角线相等。

【典型例题】

例1.如图1，在平行四边形ABCD中，对角线AC＝21cm，BE⊥AC，垂足为E，且BE＝5cm，AD＝7cm，试求AD与BC之间的距离。

分析：

此题看似无法求解，但注意观察告知AD之长，又求AD与BC之间距离，而AD×AD与BC间的距离＝S平行四边形ABCD，因而我们可以想到用面积法求解。

只需找到平行四边形的另外一种面积表示方法即可。

解：

例2.如图2，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，四边形AECF是平行四边形吗？

分析：

这里AE⊥BD，CF⊥BD，可知AE//CF，但要说明四边形AECF是平行四边形，还需AE＝CF。

解：

四边形AECF是平行四边形，因为

AE＝CF

刚才已证明AE//CF

故四边形AECF是平行四边形。

例3.如图3，在平行四边形ABCD中对角线AC、BD相交于点O，M、N、P、Q分别是OA、OB、OC、OD的中点，试说明四边形MNPQ是平行四边形。

分析：

此题中中点较多，而且还与角平分线有关，故可以思考从角平分线互相平分的角度入手进行说明。

解：

在平行四边形ABCD中，DB、AC是对角线，而M、N、P、Q分别是OA、OB、OC、OD的中点

同理OQ＝ON

即在四边形MNPQ中，其对角线互相平分，因此四边形PQMN是平行四边形。

例4.如图4，D、E、F分别在三角形ABC的边BC、AB、AC上，且DE//AF，DE＝AF，G在FD的延长线上，DG＝DF，试说明AG和ED互相平分。

分析：

要说明两条线段互相平分，最好的方法之一是说明这两条线段为一个平行四边形的对角线，从而将问题转化为平行四边形的识别问题了。

解：

故四边形DEAF是平行四边形

所以AE//DF，AE＝DF

又DG＝DF，故AE＝DG

而AE//DF，故AE//DG

所以四边形AEDG是平行四边形

故其对角线ED、AG互相平分。

例5.如图5，在平行四边形ABCD中，AB＝2BC，M为AB的中点，说明CM⊥DM。

分析：

DM⊥CM，直接证明较有困难，但观察题目中有AB＝2BC，M是中点，可使我们想到过M作MN//AD，从而得到菱形，从菱形的对角线垂直入手。

解：

过M作MN//AD交DC于N，连结AN

故四边形AMND是菱形，于是AN与DM是互相垂直的。

又由于NC//AM，NC＝AM

故四边形NCAM是平行四边形

于是MC//AN

例6.已知：

如图6，MN//PQ，同旁内角的平分线AB、CB和AD、CD分别相交于点B、D，猜想AC和BD之间的关系，为什么？

分析：

初从图形看，AC可能与BD相等，而题目中有很多的角平分线，故可以得到很多的垂直关系，故可以想象从证明四边形是矩形，从矩形入手。

解：

于是四边形ABCD是矩形，AC和BD相等。

例7.如图7，在ΔABC中，∠ACB＝90°，∠BAC，∠ABC的平分线相交于点O，OD⊥AC，OE⊥BC，垂足分别为D、E，试说明四边形CDOE为正方形。

分析：

先说明四边形是矩形，由于角平分线较多，且有距离，故可知用角平分线的性质即可求解。

解：

故四边形ODEC是矩形

于是OD＝OF，OF＝OE（角平分线上的点到角两边距离相等）

OD＝OE

于是四边形ODEC是正方形

例8.如图8，梯形ABCD，E为一腰AB的中点，AD//BC，DE⊥CE，试说明CD＝BC＋AD。

分析：

梯形ABCD，E为一腰AB的中点，将ΔAED绕点E旋转到ΔBEF的位置，拼成ΔDFC把问题转化于三角形中解决。

解：

故EF＝ED，AD＝BF

故CD＝CF

而CF＝FB＋CB＝AD＋BC

故CD＝AD＋BC

本课小结：

1.本课详细整理了几个特殊图形及平行四边形的性质，并且还将其识别方法罗列出来，请同学们在做题时针对不同的题目作恰当的选择。

2.在图形的性质和图形的识别中，要注意清楚逻辑关系，不要在进行识别时用了图形的性质。

3.本课有的例题中引了辅助线，辅助线的作法有多种，只要能帮助解决问题，而且能迅速解决问题，都是最好的方法。

【模拟试题】

1.如图，平行四边形ABCD中，E在AC上，AE＝2EC，F在AB上，BF＝2AF，如果，则的面积是？

2.如图，在平行四边形ABCD中，G是CD上一点，BG交AD的延长线于点E，AF＝CG，。

（1）试说明DF＝BG。

（2）求的度数。

3.如图，平行四边形ABCD中，AE、BF分别平分，试确定四边形ABEF是菱形。

4.如图，将平行四边形ABCD沿AC折叠，点B落在处，交DC于点M，求证：

折叠后重合的部分是等腰三角形。

5.如图，矩形ABCD中，，垂足为M，AN平分，交MC的延长线于点E，请问AC＝CE吗？

为什么？

【试题答案】

1.解：

2.解：

（1）在平行四边形ABCD中，DC//AB，DC＝AB

又GC＝AF

故四边形DGBF是平行四边形

DF＝BG

（2）又，故

3.解：

在平行四边形ABCD中，BF平分，有

而有

故AB＝AF

同理EB＝EF

又AF//BE知

AE平分，FB平分，故

得

故而在和中

4.解：

折叠前，

折叠中，

故而

即

有MA＝MC

5.解：

作于H，又

有

得

又AN平分，故

得

得

又

故

即

AC＝CE