概率论与数理统计第一版答案.docx
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概率论与数理统计第一版答案
概率论与数理统计第一版答案
【篇一：
《概率论与数理统计》课后习题答案第一章】
xt>习题1.1解答
1.将一枚均匀的硬币抛两次，事件a,b,c分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。
试写出样本空间及事件a,b,c中的样本点。
解：
?
?
?
（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）?
a?
?
（正，正），（正，反）?
；b?
?
（正，正），（反，反）?
c?
?
（正，正），（正，反），（反，正）?
2.在掷两颗骰子的试验中，事件a,b,c,d分别表示“点数之和为偶数偶数”，
“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。
试写出样本空间及事件ab,a?
b,c,bc,a?
b?
c?
d中的样本点。
解：
?
?
?
（1,1）,（1,2）,?
（1,6）,（2,1）,（2,2）,?
（2,6）,?
（6,1）,（6,2）,?
（6,6）?
；
ab?
?
（1,1）,（1,3）,（2,2）,（3,1）?
；
a?
b?
?
（1,1）,（1,3）,（1,5）,?
（6,2）,（6,4）,（6,6）,（1,2）,（2,1）?
；c?
?
；bc?
?
（1,1）,（2,2）?
；
a?
b?
c?
d?
?
（1,5）,（2,4）,（2,6）,（4,2）,（4,6）,（5,1）,（6,2）,（6,4）?
3.以a,b,c分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。
试用a,b,c表示以下
事件：
（1）只订阅日报；
（2）只订日报和晚报；（3）只订一种报；（4）正好订两种报；（5）至少订阅一种报；（6）不订阅任何报；（7）至多订阅一种报；（8）三种报纸都订阅；（9）三种报纸不全订阅。
解：
（1）a；
（2）ab；（4）ab?
ac?
bc;（8）abc；（9）?
?
（3）a?
b?
c；
（5）a?
b?
c；
（6）；（7）?
c?
b?
a或?
?
4.甲、乙、丙三人各射击一次，事件a1,a2,a3分别表示甲、乙、丙射中。
试说明下列事件所表示的结果：
a2,a2
?
a3,a1a2,a1?
a2,a1a2a3,
a1a2?
a2a3?
a1a3.
解：
甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。
5.设事件a,b,c满足abc?
?
，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和：
a?
b?
c，ab?
c，b?
ac.
解：
如图：
ac
aaabc
abb?
bc
b
a?
b?
c?
a?
ac?
ab?
abc?
bc?
b?
c;ab?
c?
ab?
c;
b?
ac?
ab?
b?
bc
?
b?
ab?
b?
bc
6.若事件a,b,c满足a?
c?
b?
c，试问a?
b是否成立？
举例说明。
解：
不一定成立。
例如：
a?
?
3,4,5?
，b?
?
3?
，c?
?
4,5?
，
那么，a?
c?
b?
c，但a?
b。
7.对于事件a,b,c，试问a?
（b?
c）?
（a?
b）?
c是否成立？
举例说明。
解：
不一定成立。
例如：
a?
?
3,4,5?
，b?
?
4,5,6?
，c?
?
6,7?
，那么a?
（b?
c）?
?
3?
，但是（a?
b）?
c?
?
3,6,7?
。
8.设p（a）?
，p（b）?
，试就以下三种情况分别求p（b）：
23
（1）ab?
?
，
（2）a?
b，（3）p（ab）?
.
8
1；2
解：
（1）p（b）?
p（b?
ab）?
p（b）?
p（ab）?
（2）p（b）?
p（b?
a）?
p（b）?
p（a）?
1；6
113
（3）p（b）?
p（b?
ab）?
p（b）?
p（ab）?
?
?
。
288
9.已知p（a）?
p（b）?
p（c）?
，p（ac）?
p（bc）?
，p（ab）?
0求事件416
a,b,c全不发生的概率。
解：
p（）?
pa?
b?
c?
1?
p（a?
b?
c）
=1?
?
p（a）?
p（b）?
p（c）?
p（ab）?
p（ac）?
p（bc）?
p（abc）?
?
11?
111?
3
?
1?
?
?
?
?
0?
?
?
0?
?
1616?
8?
444
10.每个路口有红、绿、黄三色指示灯，假设各色灯的开闭是等可能的。
一个人骑车经过三个路口，试求下列事件的概率：
a?
“三个都是红灯”=“全红”；b?
“全绿”；c?
“全黄”；d?
“无红”；e?
“无绿”；f?
“三次颜色相同”；g?
“颜色全不相同”；h?
“颜色不全相同”。
解：
1?
1?
112?
2?
28
?
?
；p（d）?
p（e）?
；
3?
3?
3273?
3?
327
11113!
2
p（f）?
?
?
?
；p（g）?
?
；
27272793?
3?
39
18
p（h）?
1?
p（f）?
1?
?
.
99p（a）?
p（b）?
p（c）?
11.设一批产品共100件，其中98件正品，2件次品，从中任意抽取3件（分三种情况：
一次拿3件；每次拿1件，取后放回拿3次；每次拿1件，取后不放回拿3次），试求：
（1）取出的3件中恰有1件是次品的概率；
（2）取出的3件中至少有1件是次品的概率。
解：
一次拿3件：
211221c98c2c2c98?
c2c98
（1）p?
；
（2）?
0.0588p?
?
0.0594；33
c100c100
每次拿一件，取后放回，拿3次：
2?
982
?
3?
0.0576；
（1）p?
3
100
每次拿一件，取后不放回，拿3次：
（1）p?
983
?
0.0588；
（2）p?
1?
3
100
2?
98?
97
?
3?
0.0588；
100?
99?
98
98?
97?
96
?
0.0594
（2）p?
1?
100?
99?
98
12.从0,1,2,?
9中任意选出3个不同的数字，试求下列事件的概率：
a1?
?
三个数字中不含0与5?
，a2?
?
三个数字中不含0或5?
。
解：
3c87
p（a1）?
3?
；
c1015
3312c9?
c8c81414
或p（a2）?
?
p（a）?
1?
?
23315c10c1015
13.从0,1,2,?
9中任意选出4个不同的数字，计算它们能组成一个4位偶数的概率。
5p93?
4p8241
解：
p?
?
4
90p10
14.一个宿舍中住有6位同学，计算下列事件的概率：
（1）6人中至少有1人生日在10月份；
（2）6人中恰有4人生日在10月份；（3）6人中恰有4人生日在同一月份；
解：
4
c6?
112116
?
（1）p?
1?
6?
?
0.41；
（2）p?
?
0.00061；6
121214c12c6112
?
（3）p?
?
0.00736
12
15.从一副扑克牌（52张）任取3张（不重复），计算取出的3张牌中至少有2张花色相同的概率。
解：
131213111c4c13?
c4c13c39c4c13c13c13p?
?
?
?
0.602或p?
1?
?
0.60233
c52c52
习题1.2解答
1.假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%、10%，从中任取一件，结果不是三等品，求取到的是一等品的概率。
解：
令ai?
“取到的是i等品”，i?
1,2,3
p（a13）?
p（a13）p（a1）0.62
?
?
?
。
p（3）p（3）0.93
2.设10件产品中有4件不合格品，从中任取2件，已知所取2件产品中有1件不合
格品，求另一件也是不合格品的概率。
解：
令a?
“两件中至少有一件不合格”，b?
“两件都不合格”
p（ab）p（b）
p（b|a）?
?
?
p（a）1?
p（）
2c4
2c102c10
1?
c62
?
15
3.为了防止意外，在矿内同时装有两种报警系统i和ii。
两种报警系统单独使用时，系统i和ii有效的概率分别0.92和0.93，在系统i失灵的条件下，系统ii仍有效的概率为0.85，求
（1）两种报警系统i和ii都有效的概率；
（2）系统ii失灵而系统i有效的概率；（3）在系统ii失灵的条件下，系统i仍有效的概率。
解：
令a?
“系统（Ⅰ）有效”，b?
“系统（Ⅱ）有效”则p（a）?
0.92,p（b）?
0.93,p（b|）?
0.85
（1）p（ab）?
p（b?
b）?
p（b）?
p（b）
?
p（b）?
p（）p（b|）?
0.93?
（1?
0.92）?
0.85?
0.862
（2）p（a）?
p（a?
ab）?
p（a）?
p（ab）?
0.92?
0.862?
0.058（3）p（a|）?
p（a）0.058
?
?
?
0.8286
p（）1?
0.93
4.设0?
p（a）?
1，证明事件a与b独立的充要条件是
p（b|a）?
p（b|）
证：
?
：
?
a与b独立，?
与b也独立。
?
p（b|a）?
p（b）,p（b|）?
p（b）?
p（b|a）?
p（b|）
?
：
?
0?
p（a）?
1?
0?
p（）?
1
p（ab）p（b）
又?
p（b|a）?
p（b|）?
p（a）p（）
p（ab）p（b）
而由题设p（b|a）?
p（b|）?
?
p（a）p（）
【篇二：
概率论与数理统计第一章习题答案】
p>1、
（1）{2，3、…，12}
（2）{3，4，…，10}
（3）{10，11，…}
（4）{（x,y,z）│x0,y0,z0,x+y+z=1}
（2）a?
b表示“a与b同时不发生”
3、p?
4、p?
c（1,8）1?
c（3,10）15c（2,45）?
c（1,5）99?
c（3,50）392
c（1,13）c（1,13）1695、p?
c（1,12）?
c（1,11）?
132
6、p?
c（3,8）?
c（2,4）?
c（1,3）?
144c（6,15）715
7、设事件a为其中一个是黑球，事件b为另一个也是黑球
c（1,3）?
c（1,7）?
c（2,3）8?
c（2,10）15
c（2,3）1p（ab）?
?
c（2,10）15
p（ab）1p（ba）?
?
p（a）8p（a）?
8、p?
c（4,5）?
c（1,2）^4?
8c（4,10）21
9、p?
1?
?
?
4
52333?
45
10、ai:
50件中有i件次品；b：
10件中有1件次品
p（aib）?
p（ai）p（bai）
j?
1?
p（aj）p（baj）4
p（ba0）?
0
c（1,1）?
c（9,49）1?
c（10,50）5
c（1,2）?
c（9,48）16p（ba2）?
?
c（10,50）49
c（1,3）?
c（9,47）39p（ba3）?
?
c（10,50）98
c（1,4）?
c（9,46）988p（ba4）?
?
c（10,50）2303p（ba1）?
?
p（aj）p（baj）?
0?
0.35?
j?
4411639988?
0.25?
?
0.2?
?
0.18?
?
0.02?
0.196549982303
116?
0.25?
?
0.2p（a1）p（ba1）?
p（a2）p（ba2）p?
?
?
0.58840.196?
p（aj）p（baj）
j?
4
11、设第二台加工的零件为x件，则第一台加工的零件为2x件
p（任意取出的零件是合格品）?
2x?
（1?
0.03）?
x?
（1?
0.02）73?
2x?
x75
a表示零件是合格品，b表示零件是由第i台机床加工的
p（b2）?
x1?
，p（ab2）?
0.022x?
x3
p（b2）p（ab2）
j?
12p（b2a）?
2?
p（bi）p（abi）
j?
1?
p（bi）p（abi）?
p（b1）p（ab1）?
p（b2）p（ab2）?
p（ab1）?
p（ab2）?
p（a）?
1?
732?
7575
1?
0.02p（b2）p（ab2）1p（b2a）?
2?
?
24?
p（bj）p（abj）75j?
1
12、设ai表示第一次取出i个新球（i=0，1，2，3）则
c（3,3）1c（2,3）?
c（1,9）?
，p（a1）?
c（3,12）220c（3,12）
c（1,3）?
c（2,9）27c（0,3）?
c（3,9）21
p（a2）?
?
，p（a3）?
?
c（3,12）55c（3,12）55p（a0）?
设b表示第二次取出的球是新球
c（3,9）21c（3,8）12?
，p（ba1）?
?
c（3,12）55c（3,12）55
c（3,7）7c（3,6）1p（ba2）?
?
，p（ba3）?
?
c（3,12）44c（3,12）11
21121p（a3）p（ba3）?
?
?
5511605
31212714277211441?
?
?
?
?
?
?
?
?
p（ai）p（bai）?
2205522055554455113025j?
0p（ba0）?
21p（a3）p（ba3）5p（a3b）?
3?
?
44112?
p（aj）p（baj）3025j?
0
13、p?
c（1,3）?
0.1?
0.9?
0.25?
c（2,3）?
0.1?
0.9?
0.6?
0.1?
0.95?
0.0779
1?
99?
14、p（四节电池中恰好有一节是不合格的）?
c（1,4）?
?
?
?
?
0.039100?
100?
3223
?
1?
?
99?
?
4p（四节电池中恰好有二节是不合格的）?
c（2,4）?
?
?
?
?
?
?
6?
10?
100?
?
100?
99?
1?
?
6p（四节电池中恰好有三节是不合格的）?
c（3,4）?
?
?
4?
10?
?
?
100?
100
?
1?
?
8p（四节电池中恰好有四节是不合格的）?
c（4,4）?
?
?
?
10?
100?
15、p?
0.6?
c（5,6）?
0.6?
0.4?
c（4,6）?
0.6?
0.4?
c（3,6）?
0.6?
0.4?
c（2,6）?
0.6?
0.4
654233244322?
0.95904
p（ab）
p（b）
p（ab）
p（b）16、p（ab）?
?
p（a）?
p（ab）1?
p（b）p（ab）?
?
p（ab）?
p（ab）
?
p（a）?
p（ab）?
p（ab）1?
p（b）p（b）
?
p（a）p（b）?
p（ab）
?
a与b独立
17、?
p（a）?
0，p（b）?
0，事件a，b互斥
?
p（ab）?
p（a）p（b）?
0
?
a与b必不互斥
18、?
事件a、b互斥
?
p（ab）?
0
?
p（ba）?
p（ab）?
0p（a）
19、p（ab）?
p（ab）p（a）?
?
1p（b）p（b）
?
p（a）?
p（b）
?
p（a?
b）?
p（a）?
p（b）?
p（b）?
p（b）?
1
?
a?
b?
u
20、p（a）?
p（b）?
1?
p（a）?
1?
p（b）?
2?
[p（a）?
p（b）]?
1
【篇三：
概率论与数理统计答案第四版第1章（浙大）】
次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。
（2）生产产品直到有10件正品为之，记录生产产品的总件数。
（3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，
如连续查出了2件次品就停止检查，或检查了4件产品就停止检查，记录检查结果。
（4）在单位圆内任取一点，记录它的坐标。
（1）解：
设该班学生数为n，总成绩的可取值为0,1,2,3，?
，100n，
（2）解：
s={10、11、12?
}
所以试验的样本空间为s={i/n|i=1、2、3?
100n}（3）解：
设1为正品0为次品
s={00，100，1100，010，1111，1110，1011，1101，0111，0110，0101，1010}
22
（4）解：
取直角坐标系，则s={（x，y）|x+y1}
2.设a,b,c为三个事件，用a,b,c的运算关系表示下列各事件：
（1）a发生，b与c不发生
（2）a与b都发生，而c不发生（3）a,b,c中至少有一个要发生（4）a,b,c都发生（5）a,b,c都不发生
（6）a,b,c中不多于一个发生（7）a,b,c中不多于两个发生（8）a,b,c中至少有两个发生解：
以下分别用d（来表示
（1），
（2），（3），（4），（5），（6）,（7）,（8）ii=1,2,3,4,5,6,7,8）
（1）a发生，b与c不发生表示a,b,c同时发生，故d1=abc
（2）a与b都发生，而c不发生表示a，b，c同时发生，故d2=abc（3）法一：
a,b,c中至少有一个要发生由和事件定义可知，d3=a∪b∪c法二：
a,b,c中至少有一个要发生是事件a,b,c都不发生的对立面，即d3=abc法三：
a,b,c中至少有一个要发生可以表示为三个事件中恰有一个发生，恰有两个发生或恰有三个发生，即d3=abc∪abc∪abc∪abc∪abc∪abc∪abc
（4）a,b,c都发生表示a,b,c都发生，故d4=a∪b∪c=abc（5）a,b,c都不发生表示abc都不发生，故d5=abc
（6）法一：
a,b,c中不多于一个发生可以表示为三个事件中恰有一个发生或一个都不发生，即d6=abc∪abc∪abc∪abc
法二：
a,b,c中不多于一个发生可以表示为至少有两个不发生，即d6=ab∪ac∪bc法三：
a,b,c中不多于一个发生是至少有两个发生的对立面，即d6=ab?
ac?
bc（7）法一：
a,b,c中不多于两个发生即为三个事件发生两个，发生一个或者一个都不发生，即d7=abc∪abc∪abc∪abc∪abc∪abc∪abc
法二：
a,b,c中不多于两个发生可以表示为至少有一个不发生，即d7=a∪b∪c法三：
a,b,c中不多于两个发生可以表示为三个都发生的对立面，即d7=abc（8）法一：
a,b,c中至少有两个发生即为三个事件中发生两个或者三个都发生，即d8=
abc∪abc∪abc∪abc
法二：
a,b,c中至少有两个发生，即d8=ab∪ac∪bc
法三：
a,b,c中至少有两个发生可以表示为三个事件只发生一个或一个都不发生的对立面，d8=abuacubc
3
（1）设a,b,c三个事件，p（a）=p（b）=p（c）=1/4，p（ab）=p（bc）=0，p（ac）=1/8,求a,b,c至少有一个发生的概率。
（2）已知p（a）=1/2,p（b）=1/3,p（c）=1/5,p（ab）=1/10,p（ac）=1/15,p（bc）=1/20,p（abc）=1/30,
?
?
?
?
?
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∪?
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∪?
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?
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?
?
?
?
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∪?
?
的概率求a∪b,?
?
（3）p（a）=1/2,
）（a.）若a,b互不相容，求p（a?
?
）（b.）若p（ab）=1/8,求p（a?
?
（1）p（a∪b∪c）
＝p（a）＋p（b）＋p（c）—p（ab）—p（ac）—p（bc）＝3/4-1/8＝5/8
（2）p（a∪b）
=p（a）+p（b）-p（ab）=5/6-1/10=11/15p（?
a?
b）=p（?
?
∪?
?
）=1-p（a∪b）
＝1－11/15＝4/15p（a∪b∪c）
＝p（a）＋p（b）＋p（c）－p（ab）—p（ac）—p（bc）＋p（abc）＝17/20p（?
a?
b?
c）
=p（?
?
∪?
?
∪?
?
）=1-p（a∪b∪c）＝1-17/20＝3/20p（?
a?
bc）
＝p（c）-p（ac）-p（bc）＋p（abc）＝7/60
p（?
a?
b∪c）=p（?
?
∪?
?
∪c）
=1-p（a）-p（b）+p（ac）+p（bc）+p（abc）＝7/20
（3）a.p（a?
b）＝p（a）=1/2
因为ab不相容所以ab一个发生另一个一定不发生b.p（a?
b）＝p（a）-p（ab）＝3/8
4.设a,b是两个事件.
=?
?
?
?
验证a=b.
（1）已知a?
?
（2）验证事件a和事件b恰有一个发生的概率为p（a）+p（b）-2p（ab）.解：
法一
=?
?
?
?
，
（1）∵a?
?
∪?
?
?
?
=?
?
?
?
∪?
?
?
?
∴a?
?
∪a）,∪b=b（a∴ab
∴as=bs,
∴a=b.
b∪a
（2）事件a与事件b恰有一个发生即事件ab
b）∪ap（ab
b））+p（a=p（ab
=p[a（s-b）]+p[（s-a）b]=p（a-ab）+p（b-ab）
=p（a）-p（ab）+p（b）-p（ab）=p（a）+p（b）-2p（ab）法二
=?
?
?
?
?
?
?
?
?
=?
?
?
?
?
;
（1）∵a?
?
=?
?
?
?
，又a?
?
∴a?
b=b?
a
∴a=b即证。
（2）原理同
（1），
b∪a事件a与事件b恰有一个发生即事件ab
b）∪a即p（ab
b））+p（a=p（ab
=p（a-b）+p（b-a）
=p（a）-p（ab）+p（b）-p（ab）=p（a）+p（b）-2p（ab）
5.10片药片中有5片安慰剂。
（1）从中任意抽取5片，求其中至少有两片是安慰剂的概率。
（2）从中每次取一片，作不放回抽样，求前3次都取到安慰剂的概率。
解：
（1）设其中至少有两片是安慰剂的概率为事件a.
p（b）===1098
6在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章。
任选3人记录其纪念章的号码。
（1）求最小号码为5的概率.
（2）求最大号码为5的概率.
3
解：
e:
在房间里面任选3人，记录其佩戴纪念章的号码.10人中任选3人?
?
10=120种，即样本总数。
记事件a为最小号码为5，记事件b为最大号码为5.
（1）
（2）
32
p（b）=?
?
4/?
?
10=23p（a）=?
?
5/?
?
10=
5!
?
3!
?
7!
2!
?
3!
?
10!
124!
?
3!
?
7!
1
=
1
2!
?
2!
?
10!
20
.
7.某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶，黑漆4桶，红漆3桶，在搬运中所有标签脱落，交货人随意将这些油漆发给顾客。
问一个订货为4桶白漆，3桶黑漆和2桶红漆的顾客，能按所订颜色如数得到订货的概率是多少？
解：
设事件“该订户得到4桶白漆，3桶黑漆，2桶红漆订货”为事件a
共17桶油漆，该客户订货共4+3+2=9桶，题意即为客户在17桶中选9桶，其中10桶白漆
432
中占有4桶，4桶黑漆中占有3桶，3桶红漆中占有两桶。
所以分母为c917，分子为c10c4c3，即所求概率为p（a）=
4?
?
3?
?
2?
?
1043?
?
17
=2431
252
8．在1500件产品中有400件次品、1100件正品。
任取200件
（1）求恰有90件次品的概率。
（2）求至少有2件次品的概率。
解：
设a表示事件“恰好有90件次品”，bi表示事件“恰好有i件次品（i＝0、1）”，c表示事件“至少有2件次品”。
e表示“从1500件产品中任取200件”
200
（1）n（s）=?
?
1500
90110
n（a）=?
?
400?
?
1100
90110
?
?
（?
?
）?
?
400?
?
1100?
?
==?
?
1500
（2）c=s-b0-b1
p（c）=p（s-b0-b1）=p（s-[b0∪b1]）＝1-p（b0）-p（b1）
2001991
?
?
（?
?
0）?
?
（?
?
1）?
?
1100?
?
400?
?
1100
?
?
?
?
=1?
?
=1?
?
15001500
9.从5双不同的鞋子中任取4只，问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少？
解、法一、设至少有两只配成一对的为事件a,这四只鞋中没有配成一对的为事件a,则
c54*2413
p（a
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