金学案高中数学北师大版选修12精品学案第四章 数系的扩充与复 数的引入 第1课时 数系的.docx

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金学案高中数学北师大版选修12精品学案第四章数系的扩充与复数的引入第1课时数系的

第1课时数系的扩充和复数的概念

1.了解引进复数的必要性,理解并掌握虚数单位i.

2.理解复数的代数形式,复数虚部与实部.

3.实数集、复数集、虚数集与纯虚数集的关系.

重点:

掌握复数的实部与虚部;实数、复数、虚数、纯虚数与复数的代数形式的实部、虚部的关系;两复数相等的充要条件.

难点:

体会复数问题实数化的过程.

由于解方程的需要推动了数的发展,为了使类似x+5=3的方程有解,引入了负数;为了使类似5x=3的方程有解,引入了分数;为了使类似x2=3的方程有解,引入了无理数.但引入无理数后,类似x2=-1的方程在实数范围内仍然没解.

问题1:

为了得到方程x2=-1的解,需引入虚数单位i,试给出虚数单位i的定义?

虚数单位i满足它的平方等于　-1,即i2=　-1. 

问题2:

（1）复数:

形如　a+bi（a,b∈R）的数叫作复数. 

（2）复数集:

全体复数所成的集合叫作复数集,用字母C表示.

（3）复数的代数形式:

复数通常用字母z表示,把复数表示成a+bi（a,b∈R）的形式,其中a与b分别叫作复数的实部与虚部. 

（4）两个复数相等的定义:

如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等.这就是说,如果a、b、c、d∈R,那么a+bi=c+di⇔a=c,b=d.

问题3:

复数z=a+bi（a,b∈R）,

当b=0时,复数z是实数;当　b≠0时,复数z是虚数; 

当时,复数z是纯虚数. 

问题4:

两复数可不可以比较大小?

当两复数是实数时,两复数可以比较大小;当两复数有一个是虚数时,两复数不能比较大小,只能分析两复数相不相等.

“复数”“虚数”这两个名词,都是人们在解方程时引入的.为了用公式求一元二次、三次方程的根,就会遇到求负数的平方根的问题.1545年,意大利数学家卡丹诺在《大术》一书中,首先研究了虚数,并进行了一些计算.

1.“a=0”是“复数a+bi（a,b∈R）为纯虚数”的（）.

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【解析】a=0时,a+bi（a,b∈R）可能为纯虚数,也可能为0;a+bi为纯虚数时,a=0.所以答案为B.

【答案】B

2.复数z=-3-10i的实部是（）.

A.3B.-3C.-10iD.10

【解析】复数z=-3-10i的实部是-3.

【答案】B

3.若复数z1=a+|b|i,z2=c+|d|i（a、b、c、d∈R）,则z1=z2的充要条件是. 

【解析】z1=z2,则它们的实部与虚部分别相等,即a=c且|b|=|d|.

【答案】a=c且b2=d2（或写成a=c且|b|=|d|）

4.判断下列命题的真假:

（1）-1的平方根只有一个;

（2）i是1的4次方根;

（3）i是方程x6-1=0的根;

（4）方程x3-x2+x-1=0的根只有一个.

【解析】

（1）∵（-i）2=i2=-1,∴-i也是-1的平方根,故

（1）为假命题.

（2）∵i2=-1,∴i4=i2·i2=（-1）2=1,故

（2）为真命题.

（3）i6-1=i2·i2·i2-1=（-1）3-1=-2≠0,故（3）为假命题.

（4）由x3-x2+x-1=0得（x2+1）（x-1）=0,则x2=-1或x=1,即x=±i或x=1都是方程x3-x2+x-1=0的根,故（4）为假命题.

对复数概念的理解

已知下列命题:

①复数a+bi不是实数;

②两个复数不能比较大小;

③若（x2-4）+（x2+3x+2）i是纯虚数,其中x∈R,则x=±2;

④若复数z=a+bi,则当且仅当b≠0时,z为虚数;

⑤若a+bi=c+di,则a=c且b=d.

其中真命题的个数是（）.

A.0　　　　B.1　　　　C.3　　　　D.4

【方法指导】根据复数的有关概念来判断命题的真假.

【解析】①是假命题,因为当a∈R且b=0时,a+bi是实数.②是假命题,因为两个复数都是实数时,可以比较大小.③是假命题,因为由纯虚数的条件得解得x=2.④是假命题,因为没有强调a,b∈R.⑤是假命题,因为没有强调,a,b,c,d∈R这一重要条件,故选A.

【答案】A

【小结】对于概念的理解注意一些小细节,比如a+bi中要求a∈R,b∈R.

复数概念的应用

z=+（m2+5m+6）i,当实数m为何值时,

（1）z是实数;

（2）z是虚数;（3）z是纯虚数?

【方法指导】根据复数的分类方式将问题转化为求实部和虚部应满足什么条件.

【解析】

（1）若z是实数,则得m=-2.

（2）若z是虚数,则得m≠-2且m≠-3且m∈R.

（3）若z是纯虚数,则得m=3.

【小结】①本题考查复数集的分类,给出的是复数的标准代数形式即z=a+bi（a,b∈R）,若不然,应先将其化为标准形式,再根据满足的条件去解;②解题中应时刻注意使式子有意义.

复数相等的充要条件

（1）已知（2x-1）+i=y-（3-y）i,x,y∈R,求x与y.

（2）设z1=1+sinθ-icosθ,z2=+（cosθ-2）i,若z1=z2,求θ.

【方法指导】确定两复数的实部与虚部,利用两复数相等的定义列方程组,解方程组.

【解析】

（1）根据复数相等的充要条件,得方程组解得

（2）由已知,得故

解得θ=2kπ（k∈Z）.

【小结】复数问题实数化是解决复数相等问题最基本的也是最重要的思想方法,转化过程主要依据复数相等的充要条件.基本思路是:

①等式两边整理为a+bi（a,b∈R）的形式;

②由复数相等的充要条件可以得到由两个实数等式所组成的方程组;

③解方程组,求出相应的参数.

下列命题中正确的有. 

①若z=a+bi（a,b∈R）,则当a=0,b≠0时,z为纯虚数;

②若（z1-z2）2+（z2-z3）2=0,则z1=z2=z3;

③若实数a与ai对应,则实数集与纯虚数集一一对应.

【解析】①正确.

②错误,只有当z1,z2,z3∈R时才成立;若z1=1,z2=0,z3=i也满足题意.

③错误,若a=0,则0·i=0不再是纯虚数.

【答案】①

复数z=log2（x2-3x-3）+ilog2（x-3）,当x为何实数时:

（1）z∈R;

（2）z为虚数;

（3）z为纯虚数?

【解析】

（1）因为一个复数是实数的充要条件是虚部为零,

所以有

由②得x=4,经验证满足①.

所以当x=4时,z∈R.

（2）因为一个复数是虚数的充要条件是虚部非零,

所以有解得

即4.

所以当4时,z为虚数.

（3）因为一个复数是纯虚数时其实部为零且虚部不为0,

所以有解得方程无解,所以复数z不可能是纯虚数.

关于a的方程是a2-atanθ-2-（a+1）i=0,若方程有实数根,求锐角θ和实数根.

【解析】设实数根是a,则a2-atanθ-2-（a+1）i=0,

∵a,tanθ∈R,∴

∴a=-1且tanθ=1,又0<θ<,∴θ=,a=-1.

1.设集合C={复数},A={实数},B={纯虚数},若全集S=C,则下列结论中正确的是（）.

A.A∪B=C　　　　　　　B.∁SA=B

C.A∩（∁SB）=⌀D.B∩（∁SA）=B

【答案】D

2.如果复数z=（a2-3a+2）+（a-1）i为纯虚数,则实数a的值为（）.

A.1或2B.1C.2D.不存在

【解析】由a2-3a+2=0和a-1≠0,得a=2.

【答案】C

3.已知复数z=3-2i,则复数z的实部与虚部的积是. 

【解析】z=3-2i的实部和虚部分别为3,-2,故答案为-6.

【答案】-6

4.实数m为何值时,复数z=（m2-8m+15）+（m2+3m-28）i在复平面内对应的点:

（1）位于第四象限;

（2）在x轴的负半轴上?

【解析】

（1）由已知得

∴∴-7

∴当m∈（-7,3）时,z对应的点在第四象限.

（2）由已知得

解得m=4,

即m=4时,z对应的点在x轴的负半轴上.

（2013年·上海卷）设m∈R,m2+m-2+（m2-1）i是纯虚数,其中i是虚数单位,则m=. 

【解析】∵m2+m-2+（m2-1）i是纯虚数,

∴∴m=-2.

【答案】-2

1.复数z=-2+3i的虚部是（）.

A.-2B.2C.3D.3i

【解析】复数z=-2+3i的虚部是3.

【答案】C

2.若复数（2x2+5x+2）+（x2+x-2）i为虚数,则实数x满足（）.

A.x=-B.x=-2或-

C.x≠-2D.x≠1且x≠-2

【解析】由题意得x2+x-2≠0,∴x≠1且x≠-2.

【答案】D

3.已知集合M={1,2,（m2-3m-1）+（m2-5m-6）i},集合N={-1,3},若M∩N={3},则实数m的值为. 

【解析】由题设知3∈M,∴m2-3m-1+（m2-5m-6）i=3.

∴即∴m=-1.

【答案】-1

4.设复数z=ab+（a2+b2）i（a、b∈R）,a、b分别满足什么条件时,z是实数、虚数、纯虚数?

【解析】当a、b同时为0时,z为实数;当a、b不全为0时,z是虚数;当a、b有且仅有一个为0时,z为纯虚数.

5.如果（x+y）i=x-1,则实数x、y的值分别为（）.

A.x=1,y=-1B.x=0,y=-1

C.x=1,y=0D.x=0,y=0

【解析】根据复数相等的充要条件,可知解得

【答案】A

6.下列命题中,正确命题的个数是（）.

①若x,y∈C,则x+yi=1+i的充要条件是x=y=1;

②若a,b∈R且a>b,则a+i>b+i;

③若x2+y2=0,则x=y=0;

④一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零;

⑤-1没有平方根;

⑥若a∈R,则（a+1）i是纯虚数.

A.0B.1C.2D.3

【解析】由于x,y∈C,所以x+yi不一定是复数的代数形式,不符合复数相等的充要条件,①是假命题.

由于两个虚数不能比较大小,∴②是假命题.

当x=1,y=i时,x2+y2=0成立,∴③是假命题.

因为复数为纯虚数要求实部为零,虚部不为零,故④错.

因为-1的平方根为±i,故⑤错.

当a=-1时,（a+1）i是实数0,故⑥错.

【答案】A

7.复数z=（a2+2a-3）+（a2-1）i（a∈R）为纯虚数,则复数z的虚部为. 

【解析】复数z=（a2+2a-3）+（a2-1）i（a∈R）为纯虚数,

∴∴∴a=-3,

∴a2-1=8,∴复数z的虚部为8.

【答案】8

8.已知m∈R,复数z=+（m2+2m-3）i,当m为何值时:

（1）z∈R;

（2）z是虚数;（3）z是纯虚数;（4）z=+4i?

【解析】

（1）m需满足解得m=-3.

（2）m需满足m2+2m-3≠0且m-1≠0,

解得m≠1且m≠-3.

（3）m需满足解得m=0或m=-2.

（4）m需满足解得m∈⌀.

9.已知m、n∈R,复数z1=m2+2n-3+（m+n）i,z2=2m-3n+2+（2m-n）i,若z1=z2,则m+n=. 

【解析】∵z1=z2,∴

∴

∴n=1或n=-,m+n=3n,

∴m+n的值为3或-.

【答案】3或-

10.已知复数z1=sin2x+λi,z2=m+（m-cos2x）i（λ,m,x∈R）,且z1=z2.若λ=0且0

【解析】∵z1=z2,

∴∴λ=sin2x-cos2x.

若λ=0,则sin2x-cos2x=0,得tan2x=.

∵0

∴x=或.