全国百强校word河北省深州市中学学年高一下学期期末考试数学试题.docx
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全国百强校word河北省深州市中学学年高一下学期期末考试数学试题
深州市中学2017级高一下学期期末考试
数学试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（）
A．B．C．D．
2.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（）
A．B．C．D．
3.如果，那么等于（）
A．B．C．D．
4.运行如图所示的程序框图，则输出的等于（）
A．B．C.D．
5.已知，，，则（）
A．B．C.D．
6.已知某种商品的广告费支出（单位：
万元）销售额（单位：
万元）之间有如下对应数据：
2
4
5
6
8
30
40
50
60
70
根据上表可得回归方程，计算得，则（）
A．B．C.D．
7.在区间上随机选取一个实数，则事件“”发生的概率为（）
A．B．C.D．
8.将函数的图象先向右平移个单位长度，再将所得的图象上每个点的横坐标变为原来的倍，所得函数图象经过点，则的值为（）
A．B．C.D．
9.已知某公司，现有岁若干人、岁人、岁人，共类人群，若从中抽取一个容量为的样本，来分析拥有自住房的比例.如果采用系统抽样和分层抽样方法抽取，不用剔除个体，则总体容量所有可能的值是（）
A．，，B．，，C.，，D．，，
10.已知向量，，则下列结论正确的是（）
A．B．C.D．
11.已知的三个内角，，所对的边分别为，，，，且，则这个三角形的形状是（）
A．等边三角形B．钝角三角形C.直角三角形D．等腰直角三角形
12.已知为定义在上的函数，其图象关于轴对称，当时，有，且当时，，若函数恰有个不同的零点，则实数的取值范围是（）
A．B．C.D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知向量，，若向量，则．
14.已知为第四象限角，且满足，则．
15.在长方体中，和与底面所成的角分别为和，则异面直线和所成的角的余弦值为．
16.若函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，，则下列说法正确的是．（写出所有正确结论的序号）
①是偶函数；
②函数的图象关于点对称；
③函数在上单调递增；
④将函数的图象向右平移个单位长度，可得函数的图象；
⑤的对称轴方程为.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知直线，圆的方程为.
（1）判断直线与该圆的位置关系，
（2）若直线与圆相交，求出弦长；否则，求出圆上的点到直线的最短距离.
18.已知函数.
（1）求的最小正周期与最小值；
（2）求的单调递增区间.
19.某校为调查高一、高二学生周日在家学习用时情况，随机抽取了高一、高二各人，对他们的学习时间进行了统计，分别得到了高一学生学习时间（单位：
小时）的频数分布表和高二学生学习时间的频率分布直方图.
高一学生学习时间的频数分布表（学习时间均在区间内）：
学习时间
频数
3
1
8
4
2
2
高二学生学习时间的频率分布直方图：
（1）求高二学生学习时间的频率分布直方图中的值，并根据此频率分布直方图估计该校高二学生学习时间的中位数；
（2）利用分层抽样的方法，从高一学生学习时间在，的两组里随机抽取人，再从这人中随机抽取人，求学习时间在这一组中至少有人被抽中的概率.
20.已知的内角，，的对边分别为，，，向量，。
且.
（1）求；
（2）若，，求边长及的面积.
21.如图，四棱锥中，，，为中点.
（1）证明：
平面；
（2）若平面，是边长为的正三角形，求直线与平面所成的角.
22.定义域为的函数满足：
，且对于任意实数，恒有，当时，.
（1）求的值，并证明当时，；
（2）判断函数在上的单调性并加以证明；
（3）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
试卷答案
一、选择题
1-5:
BDABA6-10:
DCBBC11、12：
AD
二、填空题
13.14.15.16.①⑤
三、解答题
17.解：
（1）圆的方程为，即.
∴圆心为，半径为
则圆心到直线的距离.
∴直线与圆相交.
（2）弦长.
18.解：
（1）
，
所以最小正周期为，最小值为.
（2）由于，，所以，
所以增区间为，.
19.解：
（1）由图可知，学生学习时间在区间内的频率为，
内的频率为，所以
设中位数为，则，解得，
即该校高二学生学习时间的中位数为.
（2）根据分层抽样，从高一学生学习时间在中抽取人，从高一学生学习时间在中抽取人，
从这人中随机抽取人共有种情况，其中学习时间在这一组中没人被抽中的有种情况，设在这一组中至少有人被抽中的事件为，
则.
20.解：
（1）由题意得
由正弦定理可得
整理得：
，即
在中，
∴∴
（2）由余弦定理及已知条件可得：
，解得，
的面积
21.解：
（1）证明：
取的中点，连结，
∵为的中点，∴，且
又∵，且
∴，且，故四边形为平行四边形
∴
又平面，平面，
∴平面.
（2）取的中点，连结
∵平面，平面，
∴平面平面
又是边长为的正三角形
∴，，且
∵平面平面
∴平面，
∵四边形是直角梯形，，，
∴，
∵，，，
∴，
∴
记点到平面的距离为，
∵三棱锥的体积
∴.
设直线与平面所成的角为，
则，所以直线与平面所成的角为.
22.解：
（1）由已知，对于任意实数，恒有，
令，，可得，
因为当时，，所以，故.
令，设，则，，
因为，，所以.
（2）设，则，，
，
由
（1）知，，所以，即，
所以函数在上为减函数.
（3）由得
所以
即，
上式等价于对任意恒成立，
因为，所以
所以对任意恒成立，
设，（时取等），
所以，
解得或.
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