经典原创学年北师大版初中数学九年级下册解直角三角形专题练习及答案解析.docx
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经典原创学年北师大版初中数学九年级下册解直角三角形专题练习及答案解析
北师大版数学九年级下册第一章第四节解直角三角形课时练习
一、单选题（共15题）
1．在△ABC中，AB=12
，AC=13，cos∠B=
，则BC边长为（ ）
A．7B．8C．8或17D．7或17
答案：
D
解析：
解答：
∵cos∠B=
，∴∠B=45°，
当△ABC为钝角三角形时，如图1，
∵AB=12
，∠B=45°，
∴AD=BD=12，
∵AC=13，
∴由勾股定理得CD=5，
∴BC=BD-CD=12-5=7；
当△ABC为锐角三角形时，如图2，
BC=BD+CD=12=5=17，
故选D．
分析:
首先根据特殊角的三角函数值求得∠B的度数，然后分锐角三角形和钝角三角形分别求得BD和CD的长后即可求得线段BC的长
2.如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC=
BD，连接AC，若tanB=
，则tan∠CAD的值（ ）
A．
B．
C．
D．
答案：
D
解析：
解答:
如图，延长AD，过点C作CE⊥AD，垂足为E，
∵tanB=
，即
，
∴设AD=5x，则AB=3x，
∵∠CDE=∠BDA，∠CED=∠BAD，
∴△CDE∽△BDA，
∴
，
∴CE=
x，DE=
x，
∴AE=
x，
∴tan∠CAD=
故选D．
分析:
本题考查了锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质以及直角三角形的性质，是基础知识要熟练掌握，解题的关键是：
正确添加辅助线，将∠CAD放在直角三角形中
3.等腰三角形底边与底边上的高的比是2：
，则顶角为（ ）
A．60°B．90°C．120°D．150°
答案：
A
解析：
解答:
如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥CB于D，
依题意得CD：
AD=1：
=
:
3而tan∠DAC=CD：
AD，
∴tan∠DAC=
:
3
∴∠DAC=30°，
∴顶角∠BAC=60°．
故选A．
分析:
本题利用了等腰三角形的性质和锐角三角函数的概念解决问题
4.△ABC中，∠B=90°，AC=
，tan∠C=
，则BC边的长为（ ）
A．2
B．2C．
D．4
答案:
B
解析：
解答:
∵∠B=90°，
∴tan∠C=
=
，
设AB=x，则BC=2x，
∴AC=
=
x，
∴
x=
，解得x=1，
∴BC=2x=2．
故选B．
分析:
本题考查了解直角三角形：
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形
5.在△ABC中，AB=5，BC=6，∠B为锐角且sinB=
，则∠C的正弦值等于（ ）
A．
B．
C．
D．
答案:
C
解析：
解答:
过点A作AD⊥BC∵sinB=
，
∴
=
，∵AB=5，∴AD=3，
∴BD=
=4，
∵BC=6，
∴CD=2，
∴AC=
=
∴sinC=
故选C．
分析:
过点A作AD⊥BC，根据三角函数的定义得出AD的长，再求得BD、CD，根据勾股定理得出AC，再由三角函数的定义得出答案即可
6.在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，若BC：
AC=3：
4，BD平分∠ABC交AC于点D，则tan∠DBC的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
答案:
B
解析：
解答:
作DE⊥AB于E，
在Rt△ABC中，设BC为3x，则AC为4x，
根据勾股定理，AB=5x，
设CD为a，
BD平分∠ABC，则DE=CD=a，
AD=4x-a，AE=5x-3x=2x，
在Rt△ADE中，
AD2=DE2+AE2，
即（4x-a）2=a2+（2x）2，
解得，a=
x，
tan∠DBC=
故选：
B．
分析:
解直角三角形中的勾股定理等知识解答．
7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AB=c，∠A=α，则CD长为（ ）
A．c•sin2αB．c•cos2αC．c•sinα•tanαD．c•sinα•cosα
答案:
D
解析：
解答：
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=c，∠A=a根据已知条件在Rt△ABC中，用AB和α表示BC，在Rt△DCB中，根据余弦求出CD的长，得到答案，
sinα=
，BC=c•sinα，
∠A+∠B=90°，∠DCB+∠B=90°，
∴∠DCB=∠A=α
在Rt△DCB中，∠CDB=90°，
cos∠DCB=
，
CD=BC•cosα=c•sinα•cosα，
故选：
D．
分析:
根据已知条件在Rt△ABC中，用AB和α表示BC，在Rt△DCB中，根据余弦求出CD的长，得到答案
8.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=15，sinB=
，则AC等于（ ）
A．3B．9C．4D．12
答案:
B
解析：
解答:
∵sinB=
∴AC=
×15=9．
故选B．
分析:
直接根据正弦的定义求解
9.在锐角△ABC中，cosA=
，cosB=
，BC=13，则△ABC的面积为（ ）
A．
B．30C．78D．
答案:
D
解析：
解答:
∵cosA=
，cosB=
，
∴sinA=
，sinB=
∴sinC=sin（A+B）=sinA•cosB+sinB•cosA=
，
∵
∴
，
c=
，∴△ABC的面积为
acsinB=
×13×
×
=
故选：
D．
分析:
此题考查了解直角三角形，用到的知识点是解直角三角形、正弦定理、同角三角函数的关系、三角形的面积公式，熟练掌握公式是关键．
10.在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且sinA=
，cosB=
AC=40，则△ABC的面积是（ ）
A．800B．800
C．400D．400
答案:
D
解析：
解答:
如图所示，过C作CD⊥AB，
∵在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且sinA=
，cosB=
，
∴∠A=∠B=30°，
∴BC=AC，
∴D为AB中点，
在Rt△ACD中，AC=40，
∴CD=
AC=20，
根据勾股定理得：
AD=
=20
，
∴AB=2AD=40
则△ABC的面积是
AB•CD=400
故选D
分析:
如图所示，过C作CD⊥AB，根据题意，利用锐角三角函数定义求出∠A与∠B的度数，利用等角对等边得到AC=BC，利用三线合一得到D为AB中点，在直角三角形ACD中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出CD的长，利用勾股定理求出AD的长，确定出AB的长，求出三角形ABC面积即可
11.数学活动课上，小敏、小颖分别画了△ABC和△DEF，尺寸如图．如果两个三角形的面积分别记作S△ABC、S△DEF，那么它们的大小关系是（ ）
A.S△ABC＞S△DEFB．S△ABC＜S△DEFC．S△ABC=S△DEFD．不能确定
答案:
C
解析：
解答:
如图，过点A、D分别作AG⊥BC，DH⊥EF，垂足分别为G、H，
在Rt△ABG中，AG=ABsinB=5×sin50°=5sin50°，
在Rt△DHE中，∠DEH=180°-130°=50°，
DH=DEsin∠DEH=5sin50°，
∴AG=DH．
∵BC=4，EF=4，
∴S△ABC=S△DEF．
故选C．
分析:
在两个图形中分别作BC、EF边上的高，欲比较面积，由于底边相等，所以只需比较两条高即可
12.如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（ ）
A．1，2，3B．1，1，
C．1，1，
D．1，2，
答案:
D
解析：
解答:
A.∵1+2=3，不能构成三角形，故选项错误；
B.∵12+12=（
）2，是等腰直角三角形，故选项错误；
C.底边上的高是
，可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，故选项错误；
D.解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，其中90°÷30°=3，符合“智慧三角形”的定义，故选项正确．
故选：
D．
分析:
考查了解直角三角形，涉及三角形三边关系，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，“智慧三角形”的概念
13.在直角三角形ABC中，已知∠C=90°，∠A=40°，BC=3，则AC=（ ）
A．3sin40°B．3sin50°C．3tan40°D．3tan50°
答案:
D
解析：
解答：
∠B=90°-∠A=90°-40°=50°，
又∵tanB=
，
∴AC=BC•tanB=3tan50°．
故选：
D．
分析:
利用直角三角形两锐角互余求得∠B的度数，然后根据正切函数的定义即可求解
14.等腰三角形的底边长10m，周长为36cm，则底角的正弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
答案:
D
解析：
解答：
AB=AC，BC=10cm，AB+BC+AC=36cm，则AB=AC=13cm，
作AD⊥BC于D，
∵AB=AC，
∴BD=CD=
BC=5，
在Rt△ABD中，∵AB=13，BD=5，
∴AD=
=12，
∴tanB=
=
故选D．
分析:
本题考查了解直角三角形：
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了等腰三角形的性质
15.如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBC=
，则AD的长为（ ）
A．2B．4C．
D．
答案:
A
解析：
解答：
在等腰Rt△ABC中，∵∠C=90°，AC=6，
∴BC=AC=6．
在Rt△DBC中，∵∠C=90°，
∴tan∠DBC=
∴DC=
BC=4，
∴AD=AC-DC=6-4=2．
故选A．
分析:
先由等腰直角三角形的性质得出BC=AC=6，再解Rt△DBC，求出DC的长，然后根据AD=AC-DC即可求解．
二、填空题（共5题）
16.已知在△ABC中，AB=AC=8，∠BAC=30°，将△ABC绕点A旋转，使点B落在原△ABC的点C处，此时点C落在点D处，延长线段AD，交原△ABC的边BC的延长线于点E，那么线段DE的长等于____________
答案:
解析：
解答:
作CH⊥AE于H，
∵AB=AC=8，
∴∠B=∠ACB=
（180°-∠BAC）=
（180°-30°）=75°，
∵△ABC绕点A旋转，使点B落在原△ABC的点C处，此时点C落在点D处，
∴AD=AB=8，∠CAD=∠BAC=30°，
∵∠ACB=∠CAD+∠E，
∴∠E=75°-30°=45°，
在Rt△ACH中，∵∠CAH=30°，
∴CH=
AC=4，AH=
，
∴DH=AD-AH=8-4
在Rt△CEH中，∵∠E=45°，
∴EH=CH=4，
∴DE=EH-DH=4-（8-4
）=4
-4．
故答案为
分析:
本题考查了解直角三角形：
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了等腰三角形的性质和旋转的性质
17.如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，E为垂足，若cosB=
，EC=2，P是AB边上的一个动点，则线段PE的长度的最小值是________
答案:
4.8
解析：
解答:
设菱形ABCD的边长为x，则AB=BC=x，又EC=2，所以BE=x-2，
因为AE⊥BC于E，
所以在Rt△ABE中，cos
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