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实验2数学建模初步

（1）价格由生产成本，包装成本和其他成本决定。

生产成本与重量ω成正比，包装成本与表面积s成正比，其他成本中包含与ω，s成正比的部分，上述三种成本中都包含与ω，s均无关的成分。

又因为形状一定时有s∝ω2/3，因此价格C=αω+βω2/3+γ（α，β，γ为大于0的常数）。

（2）单位价格c=C/ω=α+βω-1/3+γ/ω

c是ω的减函数，说明大包装产品比小包装的产品便宜；曲线是下凸的，说明单价的减少值随着包装的变大是逐渐降低的，不要追求太大包商品。

6.对于同一种鱼不妨设其整体形状是相似的，密度也相似，所以重量w与身长l的立方成正比，即w=k1l3，k1为比例系数。

如果只假定鱼的横截面是相似的，则横截面积与鱼身周长的平方成正比，于是w=k2d2l，k2为比例系数。

7．λ为距离

淋雨量=λ/v（︱ux-v︱+a︱uy︱+b︱uz︱）

=λ[（（q+ux）/v）-1],v<=ux

或=λ[（（q-ux）/v）+1],v>ux

其中q=a︱uy︱+b︱ux︱

9.如果下一时期的商品数量依赖于上两个时期的平均价格，则原供应函数为：

xk+1-x0=β/2（yk-yk-1-2y0）（5）

在P0点附近取线性近似时（6）式为：

2xk+1+αβxk+αβxk-1=（1+αβ）x0（12）

（12）是差分方程，为了求P0点的稳定条件，不必解方程，只需利用判断稳定的条件：

方程的特征根都在单位园内，因为（12）的特征方程为：

2λ2+αβλ+αβ=0

解得特征根为λ=[-αβ±sqrt（（αβ）2-8αβ）]/4

当αβ>8时，λ<-αβ/4;

则∣λ∣>2,λ在单位园内，设αβ<8，则∣λ∣=sqrt（αβ/2）

由∣λ∣<1得到P0点的稳定条件为αβ<2.与原模型的稳定条件相比，保持经济稳定的参数的范围放大，有利于经济的稳定。

实验4常微分方程数值解

（1）.由题意得：

h=1.2m，d0=1.2m，d=0.03cm。

水深为h时流量Q=0.6（π/4）d^2（gh）^0.5则水深下降dh所需时间dt=[（π/4）h^2dh]/[0.6（π/4）d^2（gh）^0.5]=（h^1.5）dh/（0.6（d^2）sqrt（g）

水深由1.2m到0定积分的水流完时间：

设2min时水深为Xm，

由dt=[（π/4）h^2dh]/[0.6（π/4）d^2（gh）^0.5].得

T-120=（X^2.5）/1.5（d^2）（g）^0.5;

（2）.水深为h时流量Q=0.6（π/4）D^2（gh）^0.5则水深下降dh所需时间dt=[（π/4）D^2dh]/[0.6（π/4）d^2（gh）^0.5]=（D^2）dh/（0.6（d^2）sqrt（2*g*h）

由D与h的数据拟合得：

D=0.0435h^2+1.0748h-0.1004

水深由1.2m到0定积分的水流完时间：

设2min时水深为Xm，

由dt=[（π/4）D^2dh]/[0.6（π/4）d^2（2gh）^0.5].得

T-120=int（y,h,1.2,x）

（1）设t时刻小船的坐标为（x，y）则有

dy/dt=v2（d-y）/sqrt（（x^2）+（d-y）^2）

dx/dt=v1-[v2x/sqrt（（x^2）+（d-y）^2）]

初始条件x（0）=0,y（0）=0

实验5线性代数方程组的数值解法

（1）.由题意的方程组：

In（rn+Rn）-In-1Rn-1=0

In-1（Rn-1+rn-1）+Inrn-1-In-2Rn-2=0

Inrn-2+In-1rn-2+In-2（Rn-2+rn-2）-In-3Rn-3=0

Inrn-3+In-1rn-3+In-2rn-3+In-3（Rn-3+rn-3）-In-4Rn-4=0

…

Inr3+In-1r3+In-2r3+…+I4r3+I3（R3+r3）-I2R2=0

Inr2+In-1r2+In-2r2+…+I4r2+I3r2+I2（R2+r2）-I1R1=0

Inr1+In-1r1+In-2r1+…+I4r1+I3r1+I2r1+I1（R1+r1）=v

（1）.由题意得模型：

Ax=b

A=[b1-1b2b3…bn-1bn

s1-10…00

0s2-1…00

…

000…sn-1-1]

x=[x1x2x3…xn-1xn]

b=[h1h2h3…hn-1hn]

实验8

7.由题意可得模型为：

model:

max=0.8*x1+5*x2+5.5*x3;

30*x1+20*x2+50*x3<1500;

3*x1+5*x3<200;

0.02*x1+0.1*x2+0.2*x3<3;

0.01*x1+0.05*x2+0.05*x3<1;

End

8.由题意可得模型为：

model:

min=1.80*x1+3.50*x2+0.40*x3+1.00*x4;

0.5*x1+1.0*x2+2.0*x3+6.0*x4>40.0;

2.0*x1+4.0*x2+0.5*x3+1.0*x4>20.0;

5.0*x1+2.0*x2+1.0*x3+2.5*x4>45.0;

End

9．由题意可得模型：

设i表示腰果仁，胡桃仁，核桃仁，杏仁，i=1，2，3，4；

j表示品牌普通，豪华，蓝带，j=1，2，3；

Xij表示第j品牌中第i种果仁含量

model:

max=0.89*（x11+x21+x31+x41）+1.10*（x12+x22+x32+x42）+1.80*（x13+x23+x33+x43）

-0.70*（x11+x12+x13）-0.50*（x21+x22+x23）-0.55*（x31+x32+x33）-0.45*（x41+x41+x43）;

x11-0.2*（x11+x21+x31+x41）<0;

x21-0.4*（x11+x21+x31+x41）>0;

x31-0.25*（x11+x21+x31+x41）<0;

x12-0.35*（x12+x22+x32+x42）<0;

x42-0.4*（x12+x22+x32+x42）>0;

x13-0.3*（x13+x23+x33+x43）>0;

x13-0.5*（x13+x23+x33+x43）<0;

x43-0.3*（x13+x23+x33+x43）>0;

x11+x12+x13<5000;

x21+x22+x23<3000;

x31+x32+x33<4000;

x41+x42+x43<2000;

end

S各工厂的污水流量；

C各段江水中的污水浓度；

A各工厂的污水浓度；

X各处理厂的污水浓度；

D各段江水与污水混合后的污水浓度；

R处理系数；

t自净系数；

M费用；

C0国家规定的污水浓度；

由题意可得一般模型：

MinM=∑RiSi（Ai-Xi）

Di=Ci+S0Xi/Qi

Ci+1=tiDi

（2）如果只要求3个居民点上游的水污染达到国家标准，可得模型：

MinM=∑RiSi（Ai-Xi）

Di=Ci+S0Xi/Qi

Ci+1=tiDi

tiDi

实验9非线性规划

4.设xij表示i种产品中含有j种原料的质量，i=1，2；j=1，2，3

由题意的模型：

（1）model:

max=9*（x11+x12+x13）+15*（x21+x22+x23）-6*（x11+x21）-16*（x12+x22）-10*（x13+x23）;

x11+x12+x13<100;

x21+x22+x23<200;

x11+x21<500;

x12+x22<500;

x13+x23<500;

0.03*x11+0.01*x12+0.02*x13<0.025*（x11+x12+x13）;

0.03*x21+0.01*x22+0.02*x23<0.015*（x21+x22+x23）;

x11*x22-x21*x13=0;

end

（1）土地要求是长方形：

设两块土地长为X1,X3m,宽为X2，X4m，围墙高为X5，X6m，

model:

max=x1*x2;

x1*x2>1000;

x3*x4>1000;

x5>2;

x6>2;

2*（x1/0.3）*（x5/0.1）+2*（x2/0.3）*（x5/0.1）+2*（x3/0.3）*（x6/0.1）+2*（x4/0.3）*（x6/0.1）<100000;

end

（2）土地为三角形：

设一三角形三边为X1，X2,X3m，高为X4m，另一三角形三边为X5，X6,X7m，高为X8m；

model:

max=（x9*（x9-x1）*（x9-x2）*（x9-x3））^（1/2）;

x9=（x1+x2+x3）/2;

x10=（x5+x6+x7）/2;

x4>2;

x8>2;

（x9*（x9-x1）*（x9-x2）*（x9-x3））^（1/2）>1000;

（x10*（x10-x5）*（x10-x6）*（x10-x7））^（1/2）>1000;

（（x1+x2+x3）/0.3）*（x4/0.1）+（（x5+x6+x7）/0.3）*（x8/0.1）<100000;

end

实验10整数规划

7.设x12表示1-2区建立销售代理点：

x13表示1-3区建立销售代理点

x23表示2-3区建立销售代理点

x24表示2-4区建立销售代理点

x25示2-5区建立销售代理点

x34表示3-4区建立销售代理点

x45表示4-5区建立销售代理点

x46表示4-6区建立销售代理点

x47表示4-7区建立销售代理点

x56表示5-6区建立销售代理点

x67表示6-7区建立销售代理点

模型为：

max=63*X12+76*X13+71*X23+50*X24+85*X25+63*X34+77*X45+39*X46+92*X47+74*X56+89*X67;

X12+X13+X23+X24+X25+X34+X45+X46+X47+X56+X67=2;

X12+X13<=1;

X12+X23+X24+X25<=1;

X13+X23+X34<=1;

X34+X24+X47+X46+X45<=1;

X25+X45+X56<=1;

X46+X56<=1;

X47+X67<=1;

10.

Mi：

表示第i种方案机器的数目（0-1变量）

Xij：

表示第i种方案机器用于生产第j种规格线材的时间

K：

新购及改进设备年折旧费

F：

设备年固定费用

R：

年运行费用

L：

废品损失

5模型建立与求解

5．1模型建立：

决策变量:

用Mi表示第i种方案机器的数目（0-1变量）,xij表示第i种方案机

器用于生产第j种规格线材的时间（单位:

千小时）,（i=1,2,3,4,5;j=1,2）.

费用（均以千元为单位）包括:

新购及改进设备年折旧费（0.05K）,设备年固定费用（F）、年运行费用（R）、废品损失（L）,其中:

K=200M2+100M4+500M5

F=30M1+50M2+80M3+100M4+140M5

R=5（x11+x12）+7（x21+x22）+8（x31+x32）+8（x41+x42）+12（x51+x52）

设备1的年废品损失为

0.030×0.02×（1000x11+800x12）=0.6x11+0.48x12

设备2的年废品损失为

0.030×0.02×（1500x21+1400x22）=0.9x21+0.84x22

设备3的年废品损失为

0.050×0.03×（1200x31+1000x32）=1.8x31+1.5x32

设备4的年废品损失为

0.050×0.03×（1600x41+1300x42）=2.4x41+1.95x42

设备5的年废品损失为

0.050×0.03×（1600x51+1200x52）=2.4x51+1.8x52

总的设备年废品损失为

L=0.6x11+0.48x12+0.9x21+0.84x22+1.8x31+1.5x32+2.4x41+

1.95x42+2.4x51+1.8x52

优化目标：

Min0.05K+F+R+L=30M1+60M2+80M3+105M4+165M5+5.6x11+5.48x12+7.9x21+7.84x22+9.8x31+9.5x32+10.4x41+9.95x42+14.4x51+13.8x52

约束条件：

1）满足需求:

裸铜线不仅直接供应市场,还可以作为半成品供塑包机生产塑包线,所以裸铜线（规格1）的需求量为3000+1200x31+1600x41裸铜线（规格1）由设备1,2生产,考虑到废品损失,应有

（1－0.02）×（1000x11+1500x21）≥3000+1200x31+1600x41

即980x11+1470x21-1200x31-1600x41≥3000

同理有

784x12+1372x22-1000x32-1300x42≥2000

1164x31+1552x41+1552x51≥10000

970x32+1261x42+1164x52≥8000

2）机器生产能力的限制:

每台机器每年最多只能工作8000小时,

即xi1+xi2≤8Mi（i=1,2,3,4,5）

3）现有生产设备数量的限制:

M1=1

M3+M4=1

4）变量范围的限制:

Mi为0-1变量,xij非负

基本模型：

min=30*M1+60*M2+80*M3+105*M4+165*M5+5.6*x11+5.48*x12+7.9*x21+7.84*x22+9.8*x31+9.5*x32+10.4*x41+9.95*x42+14.4*x51+13.8*x52;980*x11+1470*x21-1200*x31-1600*x41>=3000;784*x12+1372*x22-1000*x32-1300*x42>=2000;1164*x31+1552*x41+1552*x51>=10000;970*x32+1261*x42+1164*x52>=8000;x11+x12<=8*M1;x21+x22<=8*M2;x31+x32<=8*M3;x41+x42<=8*M4;x51+x52<=8*M5;M1=1;M3+M4=1;

11.4.1模型的建立

由于所使用的切割模式的种类不能超过4种，可以用

表示按照第

种模式

切割的原料钢管的根数，显然它们应当是非负整数。

设所使用的第

种切割模式下每根原料钢管生产290mm、315mm、350mm和455mm的钢管数量分别为

（非负整数）。

设一根原料钢管价值为

。

决策目标切割原料钢管总费用最少，目标为

约束条件

1）客户的需求约束

为满足客户的需求，应有

2）钢管成品量约束

每一种切割模式必须可行、合理，所以每根原料钢管的成品量不能超过1850mm，也不能少于1560mm（余料不能大于290mm）,于是

3）不同切割模式切割次数约束

每种切割模式下的切割次数不能太多（一根原料钢管最多生产5根产品），即

4）余料约束

为了减少余料浪费，每种切割模式下的余料浪费不能超过100mm，即

5）原料钢管总根数上下界约束

所需原料钢管的总根数有上界和下界。

首先，原料钢管的总根数不可能少于

根

这就得到了最优解的一个下界。

其次考虑一种非常特殊的生产计划，即

第一种切割模式下只生产290mm钢管，一根原料钢管切割成6根290mm钢管，为满足15根290mm钢管的需求，需要3根原料钢管。

第二种切割模式下只生产315mm钢管，一根原料钢管切割成5根290mm钢管，为满足28根315mm钢管的需求，需要6根原料钢管。

第三种切割模式下只生产350mm钢管，一根原料钢管切割成5根350mm钢管，为满足21根350mm钢管的需求，需要5根原料钢管。

第四种切割模式下只生产455mm钢管，一根原料钢管切割成4根455mm钢管，为满足30根455mm钢管的需求，需要8根原料钢管。

于是满足要求的这种生产计划，共需

根

这就得到了最优解的一个上界。

所以有以下约束

6）不同切割模式使用频率约束

切割模式使用频率约束。

根据假设

（1）知

综上所述，建立如下的整数非线性规划模型

12.第十章11，易拉罐各个模式下的余料如图，

罐身个数

底、盖个数

预料损失（cm2）

冲压时间（秒）

模式1

222.6

1.5

模式2

183.3

模式3

261.8

模式4

169.5

目标：

易拉罐利润扣除预料损失后的净利润最大（不能装配的罐身，上下底也是余料）

xi~按照第i种模式生产的张数（i=1,2,3,4）;

y1~一周生产的易拉罐个数；

y2~不配套的罐身个数；

y3~不配套的底、盖个数.单位都是万张

罐身面积πdh=157.1cm2

底盖面积πd2/4=19.6cm2

Max=0.1*y1-0.001*（222.6*x1+183.3*x2+261.8*x3+169.5*x4+157.1*y2+19.6*y3）

1.5*x1+2*x2+x3+3*x4<=14.4;

x1+x2+x3<=5;

x4<=2;

y2=x1+2*x2+4*x4-y1;

y3=10*x1+4*x2+16*x3-2*y1;

模式1生产40125张，模式3生产3750张，模式4生产20000张，易拉罐总共160250个，净利润为4298元。

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