上海高中数学复数讲义.docx
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上海高中数学复数讲义
复数
一、知识点梳理：
1、i 的周期性：
i4=1，所以，i41, i421,i43,i41 （n ∈ Z ）
i4n + i4n+1 + i4n+2 + i4n+3 = 0 （n ∈ Z ）
2、复数的代数形式：
a + bi （a, b ∈ R） ， a 叫实部， b 叫虚部，实部和
虚部都是实数。
C = {a + bi | a, b ∈ R}叫做复数集。
.
3、复数相等：
a + bi = c + di ⇔ a = c且b=d ； a + bi = 0 ⇔ a = 0且b=0
⎧实数 （b=0）
⎨
4、复数的分类：
复数Z = a + bi ⎪⎧一般虚数（b ≠ 0, a ≠ 0）
⎪虚数 （b ≠ 0） ⎨
⎩⎩纯虚数（b ≠ 0, a = 0）
虚数不能比较大小，只有等与不等。
即使是 3 + i,6 + 2i 也没有大
小。
5、复数的模：
若向量 OZ 表示复数 z，则称 OZ 的模 r 为复数 z 的
模，z =| a + bi |= a 2 + b2 ；
积或商的模可利用模的性质（1 ） z ⋅z = z ⋅ z ⋅⋅ z ，（ 2 ）
1n12n
zz
z z
1 = 1
2 2
（ z
2
≠ 0）
6、复数的几何意义：
复数 z = a + bi （a, b ∈ R ） ←−−− 复平面内的点 Z （a, b）
一一对应
7、复平面：
这个建立了直角坐标系来表示复数的坐标平面叫做
复平面，其中 x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴 ，实轴上
的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯
虚数
8、复数代数形式的加减运算
复数 z1 与 z2 的和：
z12=（）+（）=（）+（）i. （a, b, c, d ∈ R ）
复数 z1 与 z2 的差：
z12=（）-（）=（）+（）i. （a, b, c, d ∈ R ）
复数的加法运算满足交换律和结合律
数加法的几何意义：
复数 z1，z2 （a, b, c, d ∈ R ）； OZ = OZ OZ （a，
12
b）+（c，d）=（，）＝（）+（）i
复数减法的几何意义：
复数 z12 的差（a－c）+（b－d）i 对应 由于
Z2 Z 1 = OZ1 - OZ
2
，两个复数的差 z－z1 与连接这两个向量终点并指
向被减数的向量对应.
9. 特别地， z
AB = －.， z
AB
= AB = z - z
B
A
为两点间的距离。
| z - z |=| z - z | z
12
对应的点的轨迹是线段 Z Z 的垂直平分线；
1 2
| z - z |= r
0
， z
对 应 的 点 的 轨 迹 是 一 个 圆 ；
| z - z | + | z - z |= 2a （ Z Z < 2a ），z 对应的点的轨迹是一个椭圆；
1212
| z - z | - | z - z | = 2a （ Z Z > 2a ），z 对应的点的轨迹是双曲线。
1212
121212
121212
2 2 2 2
）
11、复数的乘除法运算：
复数的乘法：
z1z2= （）（）=（－）+（）i. （a, b, c, d ∈ R ）
复数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律。
实数集 R 中正整数指数的运算律,在复数集 C 中仍然成立.即对
z123∈C 及∈N*有:
（）,（z1z2）12n.
bc - ad
zc + di c2 + d 2c2 + d 2
2
数化是常规方法
12、共轭复数：
若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时，
这两个复数叫互为共轭复数；特别地，虚部不为 0 的两个共轭复
数也叫做共轭虚数；
z = a + bi, z = a - bi （a, b ∈ R ） ，两共轭复数所对应的点或向量关于实轴
对称。
z =| z |= a2 + b2
z ⋅ z = a 2 + b2 ∈ R, z ⋅ z = z 2 = z 2 ， z ± z = z ± z ,z ⋅ z = z ⋅ z ,⎛ z1 ⎪= z1
12121212
2
13、熟记常用算式：
1 = -i ，（1 + i）2 = 2i ，（1 - i）2 = -2i ，1 + i = i ，1 - i = -i
i1 - i1 + i
14、复数的代数式运算技巧：
（1）① （1 + i） 2
= 2i
② （1 - i） 2
= -2i
1 + i 1 - i
= i = -i
（2）“1”的立方根
ω =-
1
2
±
3
i
① ω 3
= 1
② ω 2 = ω
③1 + ω + ω 2 = 0
④
ω + 1
1
⑤ ω = ω
15、实系数一元二次方程的根问题：
（1）当 ∆ = b 2 - 4ac ≥ 0 时，方程有两个实根 x , x 。
12
1
2
。
此时有
x
1
2
= x
2
2
= x x =
1 2
c 且
a
x
- b ± - ∆i 。
2a
注意两种题型：
（1） x - x
1
2
（2） x + x
1
2
虚系数一元二次方程有实根问题：
不能用判别式法，一般用两个
复数相等求解。
但仍然适用韦达定理。
已知 x - x 是实系数一元二次方程ax2 + bx + c = 0 的两个根，求
21
x - x
21
的方法：
（1）当 ∆ = b 2 - 4ac ≥ 0 时，
x - x =（ x + x ） 2 - 4 x x =
211212
（2）当 ∆ = b 2 - 4ac < 0 时，
b 2 - 4ac
a
x - x =
21
（ x + x ） 2 - 4 x x = 4ac - b 2
1 2 1 2
已知 x ,x 是实系数一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的两个根，求 x + x
1221
的方法：
（1）当 ∆ = b 2 - 4ac ≥ 0 时，
① x
1
⋅ x ≥ 0, 即
2
c ≥ 0 ，则 x + x = x + x =
2 1 1 2
b
a
② x
1
c
2 2 1 1 2 1 2 1 2
b 2 - 4ac
a
（2）当 ∆ = b 2 - 4ac < 0 时，
x + x = 2 x = 2 x ⋅ x = 2
21112
c
a
二、典例分析：
例 1．
（1）复数等于（）
A.1 － iB.1C. － 1+ i
D.－1－i
解析:
复数= 2i = i（1+ i） = -1 + i ，选 C．
1 - i
--
（2）若复数 z 同时满足 z － z ＝2 i ， z ＝ iz （ i 为虚数单位），则 z
＝．
解：
已知 ⇒ Z - iZ = 2i ⇒ Z =
2i = i -1 ；
1- i
（3）设 a、b、c、d∈R，则复数（）（）为实数的充要条件是
－0－0C. 00
解 析 ：
（ 1 ） a, b, c ∈ R, 复 数 （a + bi） （ +
d ）= （ac - bd） + （ad + bc）i 为实数，
∴ ad + bc = 0 ，选 D；
（4）已知 m= 1 - ni，其中m，n是实数，i是虚数单位，则 m + ni =（）
1 + i
（A）1+2i（B） 1－ 2i（C）2
（D）2－i
= 1 - ni ⇒ m = （1 + n）+ （1 - n）i ，由m 、n 是实数，得⎨
解析：
m
1 + i
⎧1 - n = 0 ，
⎩1 + n = m
⎨
∴ ⎧n = 1 ⇒ m + ni = 2 + i ，故选择 C。
⎩m = 2
（5）设 x, y 为实数，且
x y 5
+ =
1 - i 1 - 2i 1 - 3i
，则 x + y = 。
解析：
x +y= x（1+ i） + y（1+ 2i） = （ x + y ） + （ x + 2 y ）i ，
1 - i1 - 2i252525
而5= 5（1+ 3i） = 1 + 3 i 所以 x + y = 1 且 x + 2 y = 3 ，解得 x＝－1，y
1 - 3i1022252252
＝5，
所以 x＋y＝4。
点评：
本题考查复数的运算及性质，基础题。
例
⎛ 2 ⎫1996
⎪
⎪
答案：
- 1 + i
（2）设复数 z 满足关系 z + | z |= 2 + i ，求 z；
解：
设（为实数），由已知可得 a + bi + a 2 + b 2 = 2 + i
由复数相等可得：
a +
⎪⎩b = 1
a 2 + b 2 = 2 ，解得
3 3
4 4
设（为实数）复数问题实数化。
（3）若 x ∈ C ，解方程 | x |= 1 + 3i - x
解：
设 （∈R）代入条件得 :
a 2 + b 2 = 1 - a + （3 - b）i ,由复数相等的
⎨
∴－4，3，∴－4+3i。
例 3：
（1）复数 z 满足 | z + i |2
- | z - i |2 = 1 ，则 z 对应的点在复平面内
表示的图形为（A）
A．直线B．圆C．椭圆D．抛物线
解：
令（ x，y∈R），则 x2+
（1）2－[x2+（y－1）2]=1，∴1/4。
故
选 A。
（2）设复数 z 满足：
| z + 3 -
3i |= 3 ，求的最大值与最小值；
解：
的最大值为 3
3 ，最小值为 3 ；
（3）已知 z∈C，－21 且复数 z－2 对应的点落在直线上，求 z。
解：
设 z－2，∵－21，∴ a = ±
2
2
，
∴ z = 2 +
+ i z = 2 - - i
2 2 2 2
【思维点拨】从整体出发利用条件，可简化运算，本题也可设再
利用条件，但运算复杂。
（4）设 z ∈ C ,1 ≤| z |≤
积为。
2 ，则复数u = z（1 + i） ，在复平面内对应的图形面
解：
∵ z|12 ，∴ 2 ≤≤2，故面积 π [2 2 - （ 2） 2 ] = 2π
。
【思维点拨】复数问题实数化是处理复数问题的常用方法。
例 4：
已知 1，a，b 为实数，
（1）若 ω2+3 z －4,求|ω|;
（2）若 z 2 + az + b = 1 - i ，求 a，b 的值。
z 2 - z + 1
解：
（1）ω=
（1）2+3（1－i）－4=―1―i，∴ | ω |=2 。
（2）由条件 （a + b） + （a + 2）i = 1 - i ，∴（a + b） + （a + 2）i = 1 + i ，∴⎧a = -1。
i
【思维点拨】利用复数的充要条件解题。
例 5：
设 z ∈ C, 且 z 是纯虚数，求 | z + i | 的最大值。
z - 1
解：
令（ x，y∈R），则
虚数，
z x 2 + y 2 - x y
= -
z - 1 （ x - 1） 2 + y 2 （ x - 1） 2 + y 2
，∵
y
z 是纯
z - 1
P
⎩y ≠ 024
数形结合可知本题是求圆（ x - 1 ） 2 + y 2 = 1 （ y ≠ 0）
24
5 + 1 。
上的点到 A（0,－1）的最大距离。
∴ | z + i |
2
O
－1
1/2 x
5.若复数 z 满足方程 z 2 + 2 = 0 ，则 z3 = （ ） D
练习：
1．已知复数 z与（ z + 2） 2 - 8i均是纯虚数，则 z = ______ Z = -2i
.bi=
2． 若 （a - 2i ） i = b - i ，其中 a、 ∈R， 是虚数单位，则 a 2 + b 2 （D）
A．0B．2 C． 5D．5
2
3.设复数 ω＝－ 1 ＋ 3 i，则 1＋ω＝（）C
22
1
ωω 2
4.复数1 的共轭复数是（B ）
z =
1 - i
A． 11B． 11C．1 - iD．1 + i
+i-i
2222
A. ±2 2B. -2 2C. -2 2iD. ±2 2i
6. 设 a 、 b 、 c 、 d ∈ R ，若 a + b i 为实数，则（ C）
c + d i
（A） bc + ad ≠ 0（B） bc - ad ≠ 0（C） bc - ad = 0（D）
bc + ad = 0
7.如果复数 （m2 + i）（1+ mi） 是实数，则实数 m = （）B
A．1B． -1C． 2D． - 2
8. （1 + i ） 2005 = （ ）
1 - i
A
A． iB．－ iC． 2 2005D．－ 2 2005
9. 满足条件 | z - i| =|3 + 4i| 的复数 z 在复平面上对应点的轨迹是
（）C
A. 一条直线B. 两条直线C. 圆D. 椭圆
10. 若z = a + 2i ,z = 3 - 4i ，且
12
为． a = 8
3
z
1
z
2
为 纯 虚 数， 则实数 a 的 值
= 1 - ni，其中m，n是实数，i是虚数单位，则 m + ni = C
11.已知 m
1 + i
（A）1+2i（B） 1-2i（C）2
（D）2- i
12、复数 （1- i）3 的虚部为
32
（A）（B）－3（C）（D）
－2
解析:
复数 （1 - i ）3 =1 - 3i - 3 + i = -2 - 2i ,所以它的虚部为－2，选 D.
13、在复平面内，复数 1 + i 对应的点位于
i
（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限
（D）第四象限
解：
1 + i ＝（＋ i）＝1－i 故选 D；
i－1
点评：
复数的概念和性质是高考对复数部分的一个考点，属
于比较基本的题目，主要考察复数的的分类和几何性质。
14、求满足条件:
z 2 + （ z + z）i = 3 - i （i 为虚数单位）的复数 z
2 + i
[解]原方程化简为 z 2 + （ z + z）i = 1 - i ,
设（x、y∈R）,代入上述方程得 x22+21,
∴x22=1 且 21,解得 1 且±
2
3 ,
2
∴原方程的解是 1 ±
2
3 i.
2
15、已知 z = x 2 + x 2 + 1 ⋅ i ， z
1
2
= （ x 2 + a）i 对于任意的
x∈R 均有 1|＞
2|成立,试求实数 a 的取值范围。
解：
∵1|＞2|，∴ x 4 + x 2 + 1 > （ x 2 + a） 2 ，∴ （1 - 2a） x 2 + （1 - a 2 ） > 0 ，对 x ∈ R
成立。
当1 - 2a = 0 ，即 a = 1 时，不等式成立；
2
1 - 2a > 0
⎩- 4（1 - 2a）（1 - a 2） < 0
1
2 2
【思维点拨】通过转化将复数问题变为实数问题是常用手段。
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