上海高中数学复数讲义.docx

1、上海高中数学复数讲义复数一、知识点梳理：1、i的周期性：i4=1，所以，i41,i421, i43, i41(nZ)i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(nZ)2、复数的代数形式：a+bi(a,bR)，a叫实部，b叫虚部，实部和虚部都是实数。C=a+bi|a,bR叫做复数集。 .3、复数相等：a+bi=c+dia=c且b=d；a+bi=0a=0且b=0实数(b=0)4、复数的分类：复数Z=a+bi 一般虚数(b0,a0)虚数(b0) 纯虚数(b0,a=0)虚数不能比较大小，只有等与不等。即使是3+i,6+2i也没有大小。5、复数的模：若向量OZ表示复数z，则称OZ的模r为复数z的模，

2、 z=|a+bi|=a2+b2；积或商的模可利用模的性质（ 1）z z=zz z，（2）1 n 1 2 nz zzz1=122(z20)6、复数的几何意义：复数z=a+bi(a,bR)复平面内的点Z(a,b)一一对应7、复平面：这个建立了直角坐标系来表示复数的坐标平面叫做复平面，其中x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数8、复数代数形式的加减运算复数z1与z2的和：z12=()+()=()+()i.(a,b,c,dR)复数z1与z2的差：z12=()-()=()+()i.(a,b,c,dR)复数的加法运算满足交换律和结合律数加法的几何意义：复数z1

3、，z2(a,b,c,dR)；OZ=OZOZ(a，1 2b)+(c，d)=(，)()+()i复数减法的几何意义：复数z12的差(ac)+(bd)i对应由于Z2Z1=OZ1-OZ2，两个复数的差zz1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.9.特别地，zAB=.，zAB=AB=z-zBA为两点间的距离。|z-z|=|z-z|z1 2对应的点的轨迹是线段ZZ的垂直平分线；12|z-z|=r0，z对应的点的轨迹是一个圆；|z-z|+|z-z|=2a(ZZ2a)， z对应的点的轨迹是双曲线。1 2 1 21 2 1 2 1 21 2 1 2 1 22222)11、复数的乘除法运算：复数的乘法：z1z

4、2=()()=()+()i.(a,b,c,dR)复数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律。实数集R中正整数指数的运算律,在复数集C中仍然成立.即对z123C及N*有: , (), (z1z2)12n.bc-adz c+dic2+d2 c2+d22数化是常规方法12、共轭复数：若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时，这两个复数叫互为共轭复数；特别地，虚部不为0的两个共轭复数也叫做共轭虚数；z=a+bi,z=a-bi(a,bR)，两共轭复数所对应的点或向量关于实轴对称。z=|z|=a2+b2zz=a2+b2R,zz=z2=z2，zz=zz, zz=zz, z1=z11 2 1 2 1 2 1

5、2213、熟记常用算式：1=-i，(1+i)2=2i，(1-i)2=-2i，1+i=i，1-i=-ii 1-i 1+i14、复数的代数式运算技巧：（1）(1+i)2=2i(1-i)2=-2i1+i1-i=i=-i（2）“1”的立方根=-123i3=12=1+2=0+11=15、实系数一元二次方程的根问题：（1）当=b2-4ac0时，方程有两个实根x,x。1 212。此时有x12=x22=xx=12c且ax-b-i。2a注意两种题型：(1)x-x12(2)x+x12虚系数一元二次方程有实根问题：不能用判别式法，一般用两个复数相等求解。但仍然适用韦达定理。已知x-x是实系数一元二次方程 ax2+b

6、x+c=0的两个根，求2 1x-x2 1的方法：（1）当=b2-4ac0时，x-x= (x+x)2-4xx=2 1 1 2 1 2(2)当=b2-4ac0时，b2-4acax-x=2 1(x+x)2-4xx=4ac-b21212已知x,x是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，求x+x1 2 2 1的方法：（1）当=b2-4ac0时，x1x0,即2c0，则x+x=x+x=2112bax1c221121212b2-4aca（2）当=b2-4ac(x2+a)2，(1-2a)x2+(1-a2)0，对xR成立。当1-2a=0，即a=1时，不等式成立；21-2a0-4(1-2a)(1-a2)0122【思维点拨】通过转化将复数问题变为实数问题是常用手段。