理论力学重难点及相应题解.docx
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理论力学重难点及相应题解
运动学部分：
一、点的运动学
重点难点分析
1． 重点：
点的运动的基本概念（速度与加速度，切向加速度和法向加速度的物理意义等）；选择坐标系，建立运动方程，求速度、加速度。
求点的运动轨迹。
2． 难点：
运动方程的建立。
解题指导：
1． 第一类问题（求导）：
建立运动方程然后求导。
若已知点的运动轨迹，且方程易于写出时，一般用自然法，否则用直角坐标法。
根据点的运动性质选取相应的坐标系，对于自然法要确定坐标原点和正向。
不管用哪种方法，注意将点置于一般位置，而不能置于特殊位置。
根据运动条件和几何关系把点的坐标表示为与时间有关的几何参数的函数，即可得点的运动方程。
2． 第二类问题（积分）：
由加速度和初始条件求运动方程，即积分并确定积分常数。
二、刚体的简单运动
重点难点分析：
1． 重点：
刚体平移、定轴转动基本概念；刚体运动方程，刚体上任一点的速度和加速度。
2． 难点：
曲线平移。
解题指导：
首先正确判断刚体运动的性质。
其后的分析与点的运动分析一样分两类问题进行。
建立刚体运动方程时，应将刚体置于一般位置。
三、点的合成运动（重要）
重点难点分析：
1． 重点：
动点和动系的选择；三种运动的分析。
速度合成与加速度合成定理的运用。
2． 难点：
动点和动系的选择。
解题指导：
1． 动点的选择、动系的确定和三种运动的分析常常是同时进行的，不可能按顺序完全分开。
2． 常见的运动学问题中动点和动系的选择大致可分以下五类：
（1） 两个（或多个）不坟大小的物体独立运动，（如飞机、海上的船舶等）对该类问题，可根据情况任选一个物体为动点，而将动系建立在另一个物体上。
由于不考虑物体的大小，因此动系（刚体）与物体（点）只在一个点上连接，可视为铰接，建立的是平移动坐标系。
（2） 一个小物体（点）相对一个大物体（刚体）运动，此时选小物体为动点，动系建立在大物体上。
（3） 两个物体通过接触而产生运动关系。
其中一个物体的接触只发生在一个点上，而另一个物体的接触只发生在一条线上。
选动点为前一物体的接触点，动系则建立在后一物体上。
此时，那条线就是动点的相对运动轨迹。
（4） 两个物体或多个物体通过接触或约束而产生运动关系。
其中两个物体的接触也有上述点、线关系，但提供线的物体运动状态不简单，而其上有运动状态已知或明确的点。
此时，将此点选为动点，动系建立在接触处的物体（如套筒）上。
（5） 两个物体通过接触而产生运动关系。
两个物体各为接触提供了一条线。
对此类问题通常有两种分析方法：
A如果一个物体的接触线是圆弧，则选其圆心为动点，动系建立在另一物体上；B假想有一个忽略大小的环套在两条接触线上，将其设为动点，分别将动系建立在两个物体上，共同研究小环的运动。
此时两条线分别是小环在两个动系的相对运动轨迹。
3． 选择动系时通常希望相对运动简单明确，但不是所有问题都能做到这一点。
（如第一类问题多数不能明确相对运动轨迹。
此时可将相对速度分解为两个垂直分量来计算。
4． 速度和加速度合成定理是矢量式，各可以建立两个投影方程，如果未知数过多将无法全部求得。
可以选择适当的投影轴，使得不需计算的未知短量垂直于投影轴，减少方程中的未知数。
5． 速度和加速度合成定理表示的是合成关系，不是平衡方程。
在写投影方程时，应先写绝对速度（加速度）的投影和等号，再写等号右边的各个加速度的投影。
要注意投影的正负号。
6． 有些问题最后关心的是加速度，但在计算时首先要分析速度，在不是很困难的情况下最好将动点的各个速度都计算出来，以备加速度分析使用。
7． 要注意不能遗漏关于简直氏加速度的分析，正确判断其方向、计算其大小。
四、刚体的平面运动（重要）
重点难点分析：
重点：
平面运动的分解；基点与动点的选择；速度瞬心的确定；投影方程的建立。
难点：
运动学综合问题的求解。
解题指导：
1． 刚体的平面运动可以视为跟随基点的平移与绕基点转动的合成，也可以有其他的分解方法。
2． 基点的选择是任意的，一般选运动状态已知的点。
基点不同，随基点平移的速度、加速度等将有变化，但平面运动刚体转动的角速度、角加速度是不随基点的选择而变的。
3． 平面运动刚体内的点的速度计算常用的有三种方法，即基点法、速度投影法和瞬心法，它们各有特点：
（1） 基点法：
该方法延续了点的合成运动的分析思路，通用性强，适用于计算各种运动学物理量。
但计算步骤多，不灵活。
（2） 投影法：
该方法在计算速度时是最快捷的。
但它却只能用来求速度。
（3） 瞬心法：
该方法可以用来求速度，也可用来计算角速度。
缺点是有时几何关系复杂。
4． 在点的合成运动与刚体的平面运动结合，就构成了复杂的运动学综合问题。
对于这类问题常可用“逆向分析，顺向求解”的方法。
即先对要计算的物理量进行分析，找出合成关系，看看合成关系中哪些是待求的，再对这些待求的物理量进行分析，找出合成关系，再看要计算哪些量，依次类推，直到可用已知条件求解。
而求解过程与分析过程顺序正好反向。
5． 在综合问题坟解时常遇到某一中间物理量是其他物理量的短期聚落量运算结果，对这种结果不一定要求出，而是可将这种关系式直接代入后面的运算过程中。
6． 与点的合成运动分析一样，有的物理量方向可以假设，如切向加速度等，但法向加速度和简直氏加速度的方向一般是可以确定的，不能任意假设。
方向反了就会得到错误的结果。
静力学部分：
一、平面汇交力系与平面力偶系
重点难点分析
重点：
受力分析。
难点：
平衡关系的建立。
解题指导：
解析法：
（1） 仔细审题。
这就是要弄清题意，明确已知量和未知量，选取适当的分离体，使要求的未知量都能被表示在分离体上。
（2） 画受力图。
利用所给出的各种支座和连接的力学模型，画出正确的受力图。
特别要善于应用二力杆和三力平衡定理的概念，以减少未知力的个数。
（3） 选取坐标系。
选取的原则是尽量使一个平衡方程中，只包含一个未知数。
通常使一坐标轴与某一未知力的作用线垂直。
（4） 列平衡方程。
（5） 解平衡方程。
求得的力的绝对值表示力的大小，力的正负号表示在受力图中所假设的力的指向是否与实际的指向一致。
几何法：
（1） 仔细审题。
（2） 画受力图。
（此两步骤与解析法相同，所不同的是要事先假定约束反力的指向）。
（3） 选择适当的比例尺，根据受力图，作封闭的力的三角形或封闭的力的多边形。
作图要先从已知力开始。
（4） 用比例尺和量角器从封闭的力的三角形或多边形中确定。
二、平面任意力系（重要）
力的平移定理，平面任意力系的简化，平面任意力纱的平衡方程。
求解平面静定桁架的内力：
（1） 节点法。
逐个地取节点为研究对象，应用平面汇交力系的平衡方程，求出各杆的内力。
（2） 截面法。
将待求内力的杆截断，把桁架分割成两部分，取其中一部分为研究对象，应用平面任意力系的平衡方程，求出各杆的内力。
重点难点分析
重点：
选取平衡对象，建立平衡方程。
难点：
刚体系统的平衡问题。
解题指导
解题步骤：
1． 对于单个刚体的平衡问题，其解题步骤为：
（1） 取分离体。
根据问题的要求，选择合适的平衡对象，并取出为隔离体。
（2） 画受力图。
根据平衡对象与周围物体的联系，确定约束的性质，并根据约束性质分析约束力，应用作用与反作用定律，分析隔离体所受力的可能方向和作用线，画出隔离体的受力图。
（3） 列平衡方程求解。
建立已知力与未知力之间的关系，求解未知力。
2． 对于刚体系统平衡问题
求解刚体系统平衡问题的基本方法与分析单个刚体平衡问题的方法大体相似，但也有一些差异。
根据刚体系统平衡问题的特点，求解刚体系统平衡问题，一般可按下列步骤进行：
（1） 判断刚体系统的静定与超静定性质，只有肯定了所给的刚体系统是静定的，才着手求解。
对于超静定问题，需要平衡方程联合相应数量的补充方程才能求解。
（2） 先考虑整体平衡，求得某些未知的约束力，然后根据要求的未知量，选择合适的局部或单个刚体作为研究对象，根据约束性质及作用力与反作用力定律，区分施力体与受力体，区分内力与外力，画出研究对象的受力图。
（3） 分别考虑不同研究对象的平衡，建立平衡方程，求解未知量。
方法与技巧
1． 单个刚体求解过程中要注意以下问题
（1） 对单个物体的平面任意力系问题，其解步骤与平面汇交力系问题的解题步骤基本相同，不同之处是平面任意力系的独立平衡方程有三个，可解出三个未知数。
（2） 要根据实际情况，选择合适的坐标轴，尽量使一个平衡方程中出现一个未知力。
（3） 建立平衡方程时，要考虑力系中所有的力，任何一个力都不能遗漏。
（4） 要正确确定每一个力在坐标轴上投影的大小和正负号，特别要注意正负号。
（5） 当未知约束力的作用线确定，而方向不能确定时（一般情况下均如此），可以先假定方向（一般假定约束力的正方向与坐标轴正向一致）。
然后，根据所得结果的正负号，判断未知约束力的实际方向：
若所得结果为正，则实际方向与所设方向一致；若为负，则实际约束力的方程与所设方向相反。
（6） 当未知约束力的作用线不能确定时，可先假设未知约束力在两个坐标上投影的方向（一般设为正向）。
然后建立平衡方程，这时，约束力的投影方向为已知，投影大小为未知。
由平衡方程求得约束力投影的大小，唧 可求得相应的约束力。
2． 刚体系统求解求解过程中需要注意的几个问题
（1） 当有几个平衡对象可供选择时，应考虑选择哪能一个最合适，或者先选择哪能一个，然后再选择哪一个。
选择的原则是，能够利用平衡条件确定某些未知力（不一定确定全部未知力）的部分应优先考虑。
（2） 当刚体间相互作用力的方向无法确定时，可以称假设其方向。
必须注意的是，当所求结果为负时，表示施力体作用在所研究的刚体上的方向与实际方向相反。
（3） 画各个构件的受力图时，要特别注意作用与反作用定律、二力平衡及三力平衡定理等概念和原理的应用。
虽然所有构件的受力图对建立平衡方程及求解所感兴趣的未知数不一定都有用，但是同时画出所有构件的受力图，会减少受力分析的错误。
（4） 建立平衡时，应尽量使一个平衡方程中只出现一个未知力，以避免求解联立方程。
（5） 解方程时，若求得的约束反力为负值，说明在受力图中假设的约束反力方向与实际方向相反。
但若用它代入另一方程中求解其他未知数时，应连同其负号一并代入。
（6） 可以利用解题过程中尚未被选为研究对象的刚体，对其作受力分析，建立平衡方程，以验证所得结果的正确性。
（7） 铡体系的平衡问题是静力学的重点内容，多数情况下，是各种考试心肝考的内容。
3． 受力分析时应注意的几个问题
（1） 怎样根据问题的性质，选取合适的研究对象。
所谓“合适”：
一是指在研究对象上既有未知力又有已知力；二是指所选择的研究对象上受力比较简单。
（2） 一定要根据约束性质确定研究对象上所受力约束力，力争做到，在研究对象上每画一个力都有充分的依据，切忌主观随意以及毫无根据的猜测。
4． 刚体系统的“内力”和“外力”
（2） 刚体系统或其分系统中的各个刚体之间的相互作用力，对于系统而言，都是“内力”。
内力总是成对出现的，它们两两大小相等，方向相反，而且作用在同一条直线上。
（3） 当考虑刚体系统的平衡问题时，要特别注意那种对于系统是内力，对局部或单个刚体却是外力的力。
这种力很容易被漏掉。
5． 刚体系统的“整体平衡”与“局部平衡”
当刚体系统处于平衡状态时，其中的每一个局部以及每个刚体也必然处于平衡状态。
反之亦然。
因此，求解刚全系统的平衡问题时，作用于系统及每个局部上的力系，既满足整体的平衡要求，也满足局部的平衡要求。
（此为刚化公理应用之结果）
三、空间力系
空间任意力系平衡方程（六个），重心（对称法，组合法，积分法，实验法）
重点难点分析
重点：
空间任意力系简化；重心计算。
难点：
空间几何关系。
解题指导：
解题步骤
空间力系平衡问题的解题步骤和方法与平面力系基本相同，即取研究对象，画受力图和列写平衡方程求解等。
另外还需注意以下几点：
（1） 首先要对研究对象，受力情况与所选坐标轴之间的关系有清晰的空间概念，并能正确地表示出空间的约束力。
（2） 熟练地计算力在空间坐标轴上的投影和力对轴的矩。
（3） 当力与坐标轴相交或平行时，力对该轴之矩等于零。
在建立力矩方程时，应使力矩轴与尽可能多的未知力平行或相交。
以减少方程中的未知量，简化计算。
（4） 空间力系的独立投影平衡方程总数不能超过三个，而独立的力矩平衡方程可以超过三个（甚至多达六个）。
有时用力矩平衡方程代替投影平衡方程较方便，但应注意力矩平衡方程的独立性。
（三个力矩平衡方程形式的平衡方程为基本式平衡方程，相应的还有四矩式、五矩式、六矩式平衡方程。
如同平面任意力系的二科研项目式、三矩式平衡方程，四、五、六矩式平衡方程也有限制备件。
在使用四、五、六矩式平衡方程过程中，一般也不会出问题。
只要所列的方程能把要求的全部求出，则所列的平衡方程一般就没有违反平衡方程的聘用制条件。
）
（5） 空间任意力系是力系中最一般的情形，空间任意力系的平衡方程是平衡方程最一般的形式，空间（平面）汇交（共点）力系、空间（平面）力偶系、平面任意力系、空间（平面）方法与技巧，空间力系求解过程中要注意以下问题：
要根据实际情况，选择合适的坐标轴，尽量使平衡方程写得简单，解得简单。
建立平衡方程时，要考虑力系中所有的力，不能遗漏。
要正确确定每一个力的坐标轴上投影泊大小和正负号，特别要注意正负号。
当未知约束力的方向不能确定时（一般情况下均如此），可采用设正法及分量形式确定。
当有几个平衡对象可供选择时，应考虑选择哪一个最合适，选择的原则是，在研究对象上既有未知力又有已知力，能够利用平衡条件确定某些未知力（不一定确定全部未知力）的部分应优先考虑。
必须注意的是，当所求结果为负时，表明施力体作用在所研究的刚体上力的方向与实际方向相反。
根据作用力与反作用力定律，这一刚体对于施力体的反作用力亦与原假设的方向相反。
因此，当下一步以施力体作为研究对象时，可以将所设之反作用力的方向改成与实际方向一致，然后建立平衡方程，也可以不改变其作用方向，而将上一步所得的负值代入平衡方程。
可以利用解题过程中尚未被选为研究对象的刚体，对其作受力分析，建立平衡方程，以验证所得结果的正确性。
建立力矩平衡方程时，所选择的坐标轴应尽量与某些未知力作用线相交或平行。
这样，在一个力矩平衡方程中出现的未知力就比较少，从而使计算简化。
在很多情形下，空间力系的六个平衡方程中，有几个是自然满足的，这些方程是无助于求解未知力，因而无需写出。
四、摩擦
重点：
考虑摩擦的平衡问题。
难点：
运动状态不定时的有摩擦平衡问题。
动力学部分：
一、质点动力学
建立质点运动微分方程的方法，或质点动力学的建模方法，是整个动力学任务的中心问题，十分重要。
已知运动求力（第一类问题）和已知力求运动（第二类问题）。
也有些混合问题，即已知部分运动和部分力，求未知的运动和力。
基本要求：
1． 理解质点动力学基本方程和基本概念。
2． 能正确建立直角坐标形式与弧坐标形式的质点运动微分方程。
3． 掌握质点动力学两类基本问题的解法。
对运动初始条件的力学意义及其在确定质点运动规律中的作用有清晰的认识。
重点难点分析：
重点：
建立质点运动微分方程；掌握两类问题的解法。
质点的运动规律不仅取决于质点的质量和作用力，还与质点运动的初始条件（运动开始时质点的位置和速度）有关。
在第二类问题中，积分常数或定积分的上下限由初始条件决定。
在数值计算中，常用投影形式的微分方程。
在建立运动微分方程时，应该注意各物理量投影的正负号。
微分方程等号左边总设为正，等号右边是力在坐标轴上的投影，应注意投影的正负。
一般情况下，力是时间、速度和位置的函数。
因此，加速度也是这些参量的函数。
在求解动力学问题时，不要无根据地用交变速或交速运动公式。
在静力学中，约束反力只决定于主动力。
但在动力学中，约束反力不仅与主动力有关，还与质点的加速度有关。
在求约束反力的动力学问题中，要特别注意。
难点：
经变量代换再积分的方法。
对于第二类问题：
当力是常量或 时，直接分离变量，逐次积分。
当 或 时，先变量代换，再分离变量积分。
也可用常系数二阶线性微分方程求解。
当力的函数非常复杂或是非线性方程时，用计算机按数值积分方法求解。
二、动量定理（重要）
动量与冲量
1． 动量
（1） 质点的动量：
质点的质量与速度的乘积
（2） 质点系的动量：
质点系内各质点动量的矢量和（动量主矢）
（3） 质点系的动量还等于质点系的总质量与质心速度的乘积
2． 力的冲量
（1） 力的元冲量：
在微小时间间隔内，力的元冲量为：
（2） 在时间间隔 内，力的冲量为：
3． 质心坐标公式
质点系质心（质量中心）C到某固定点的矢径 为
动量定理
1． 动量定理
（1）质点的动量定理
微分形式：
质点的动量对时间的一阶导数，等于作用于质点上的力，即：
积分形式：
在一段时间内，质点动量的变化，等于作用力在同一时间内的冲量，即：
（2）质点系的动量定理
微分形式：
质点系动量对时间的一阶导数，等于作用于质点系上外力的矢量和（外力主矢），即：
积分形式：
具体计算中，常用动量定理的投影形式：
即质点系动量在坐标轴上的投影对时间的一阶导数，等于作用于质点的所有外力在同一轴上的投影的代数和。
质点系动量在某方向上投影的变化，等于作用于质点系所有外力冲量在同一方向投影的代数和。
2．动量守恒定理
3．定常流形式的动量定理
附加动压力
质心运动定理
1． 质心运动定理：
2． 质心运动守恒定理：
基本要求：
1． 深刻理解质点系的动量、质心的概念。
2． 熟练计算质点系的动量和质心坐标。
3． 掌握动量定理与质心运动定理的各种表达形式，并熟练应用它们求解动力学问题。
重点难点分析
重点：
1． 质点系的动量；
2． 动量定理与质心运动定理的各种表达形式。
动量及冲量都是矢量，是有大小和方向的量。
质心运动定理与牛顿第二定律在数学形式上相似，但意义不同。
牛顿第二定律是公理，它描述的是质，即质点的质量与加速度的乘积等于力。
质心运动定理是导出的定理，它描述的是质点系质心的运动规律。
难点：
动量定理中力的计算。
质点系的内力总是成对出现的，因此内力的主矢为零，对任一点的主矩也为零。
内力冲量的矢量和亦为零，这是内力的三个重要性质。
只有外力才能改变质点系的动量，因此在质点系的动量定理中根本不考虑内力。
解题指导
1． 动量定理常见题目类型：
（1） 求约束反力力问题；
（2） 突然解除约束问题；
（3） 已知主动力求运动问题；
（4） 综合动力学问题。
2． 解题步骤：
（1） 选定研究对象：
可以选质点，也可以选质点系，在千金情况下，取整体为研究对象往往会对解题带来方便，因为系统的内力不必考虑。
（2） 进行受力分析和运动分析。
（3） 建立方程，应用定理的微分形式时，必须取运动的一般位置建立方程，应用定理的积分形式成守恒形式时，必须明确所考查过程的始末位置及所对应的时间。
（4） 解出未知量。
3． 注意的问题：
（1） 动量是矢量，运算时必须同时考虑其大小和方向，特别要注意取投影时的正负号。
当质点作复合运动时，应采用质点的绝对速度来计算其动量。
（2） 在应用质心系动量定理时，总是把作用力分为外力与内力，但因内力不能改变质点系的动量，故只需考虑外力，而不必考虑内力。
（3） 动量定理建立了动量与冲量的关系，在动量方程（定理）中所包含的物理量有质量，速度、力和时间，所以在解决与速度、国和时间有关的问题时，应用动量定理较为简便。
（4） 当质点系的南心的加速度为已知或通过运动学关系可以求出时，质心运动定理实际上就是外力的关系式，而外力一般包括主动力和约束反力。
若主动力为已知，则可从这个关系式中求出约束反力。
此外，若已知质点系的外力，则可用质心运动定理确定质点系质心的运动。
（5） 动量守恒定理是动量定理的特殊情形。
它反映了机械运动在移动中相互传递的一个方面。
三、动量矩定理（重要）
质点和质点系的动量矩
1． 质点的动量矩：
2． 质点系的动量矩：
3． 动量矩在过固定点O的直角坐标系上的投影：
4． 定轴转动刚体对转轴的动量矩：
动量矩定理
1． 质点的动量矩定理
质点对某固定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用于质点上的力对同一点之矩。
即
2． 质点系的动量矩定理
质点系对某固定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用于质点系上所有外力对同一点之矩的矢量和，即
3． 动量矩守恒定律
当外力对某固定点之矩矢量和始终为零时，质点系对同一点的动量矩保持不变。
刚体绕定轴的转动微分方程
1． 转动惯量
2． 刚体定轴转动微分方程式
定轴转动刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于外力对该轴之矩的代数和。
即
刚体对轴的转动惯量
1． 刚体对转轴的转动惯量
2． 平等轴定理
3． 回转半径
质点系相对于质心的动量矩定理
1． 相对质心的动量矩
以质点系质心C为坐标原点的平动坐标系为动系，则各质点质量与相对速度之乘积对质心相对于质心之矩的矢量和称为相对于质心的动量矩。
2． 相对于质心的动量矩定理
质点第相对于质心的动量矩对时间的一阶导数，等于作用于质点系的外力对质心之矩的矢量和。
刚体作平面运动时，相对于质心的动量矩定理为
当速度瞬心P以质心C的距离保持不变时，也可取速度瞬心为矩心建立动量矩方程，即
3． 相对于质心动量矩守恒定理
当外力对质点系质心之矩矢量和为零时，质点系对质尺度的动量矩为常矢量。
刚体的平面运动微分方程
1． 平面运动刚体（具有质量对称面）对质心的动量矩
平面运动刚体（具有质量对称面）对质心的动量矩为刚体对质心的转动惯量与平面图形角速度的乘积：
2． 刚体平面运动微分方程
将质心运动定理与相对于质心的动量矩定理的相结合，就得到刚体平面运动微分方程式
（ ）
基本要求：
1． 全面理解动量矩和转动惯量的物理意义。
2． 掌握动量矩定理的各种表达式、意义及其应用。
3． 熟悉刚体绕定轴转动及刚体平面运动的微分方程，并能用它们解决相应的实际问题。
4． 了解质心点相对质心（平移坐标）的动量矩定理。
5． 熟练应用刚体平面运动微分方程求解动力学问题。
重点难点分析
重点：
1． 质点系的动量矩和转动惯量。
2． 质点系相对定点的动量矩定理（包括守恒式）。
3． 定轴转动微分方程应用。
4． 刚体平面运动微分方程及其应用。
对点的动量矩是矢量，对轴的动量矩是代数量。
计算质点系相对于质心的动量矩阵收缩时，无论是用绝
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