22
35
当1Wx<2时
F（x）=P（XWx）=F（X=0）+F（X=1）=34
35
当x>2时，F（x）=P（XWx）=1
故X的分布函数
0,x：
：
0
3.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率.
【解】
设X表示击中目标的次数•则X=0，1，2，3.
P（X=0）=（0.2）3=0.008
P（X=1）=C；0.8（0.2）2=0.096
P（X=2）=c3（0.8）20.2=0.384
P（X=3）=（0.8）3=0.512
故X的分布律为
X
0
1
2
3
P
0.008
0.096
0.384
0.512
分布函数
0,xv0
0.008,0兰xc1
F（x）=丿0.104,1兰xv2
0.488,2Ex£3
1,x—3
P（X_2）=P（X=2）P（X=3）=0.896
4.
（1）设随机变量X的分布律为
ik
P{X=k}=a—,
k!
其中k=0,1,2,…，入〉0为常数，试确定常数a.
（2）设随机变量X的分布律为
P{X=k}=a/N,k=1,2,…,N,
试确定常数a.
【解】
（1）由分布律的性质知
:
:
:
:
k
1P（X=k）=aa|_e
yk=0k!
故a
（2）由分布律的性质知
NNa
1P（X=k）a=a
k=1k4N
即a=1.
5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求：
（1）两人投中次数相等的概率；
（2）甲比乙投中次数多的概率.
【解】分别令X、Y表示甲、乙投中次数，则X〜b（3，0.6）,Y~b（3,0.7）
（1）
P（X=3,Y=3）
-（0.4）3（0.3）3C30.6（0.4）2C30.7（0.3）2+
222233
C3（0.6）0.4C3（0.7）0.3（0.6）（0.7）
=0.32076
（2）
=0.243
6.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设
各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即
降落而没有空闲跑道的概率小于0.01（每条跑道只能允许一架飞机降
落）？
【解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数，则X~b（200,0.02），设机场需配备N条跑道，则有
P（XN）：
：
0.01
200
即ZC：
00（0.02）k（0.98）20iV0.01
k=N1
利用泊松近似
■=np=2000.02=4.
of]4Ak
Ie~4
P（X_N）0.01
n1k!
查表得N》9.故机场至少应配备9条跑道.
7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的
某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过,
问出事故的次数不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？
【解】设X表示出事故的次数，则X^b（1000，0.0001）
8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X满足RX=1}=P{X=2}，求概率P{X=4}.
【解】设在每次试验中成功的概率为p,则
故
所以
P（X刈乂甸3J43.
9.设事件A在每一次试验中发生的概率为
0.3，当A发生不少于3次时，指示灯发出信号,
（1）进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率；
（2）进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率.
【解】
（1）设X表示5次独立试验中A发生的次数，则X~6（5，0.3）
5kk5k
P（X_3）=、C5（0.3）（0.7）=0.16308
k=3
⑵令Y表示7次独立试验中A发生的次数，则Y〜b（7，0.3）
7
P（YH3）=ECk（0.3）k（0.7）J=0.35293
k=3
10.某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为（1/2）t的泊松
分布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计）
（1）求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率；
（2）求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率.
35
【解】
（1）P（X=0）=e》
（2）P（X一1）=1-P（X=0）=1-e^
11.设P{X=k}=C2pk（1-p）2=k=0,1,2
m=0,1,2,3,4
5
分别为随机变量X,Y的概率分布，如果已知P{X>1}=，试求P{Y>1}.
9
54
【解】因为P（X-1），故P（X<1）.
99
P（X:
:
:
1）=P（X=0）=（1-p）2
12.某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为0.001，试求在这2000册书
中恰有5册错误的概率.
【解】令X为2000册书中错误的册数，则X~b（2000,0.001）.利用泊松近似计算，
■=np=20000.001=2
P（X=5^0.0018
31
13.
进行某种试验，成功的概率为，失败的概率为.以X表示试验首次成功所需试验的
【解】x=1,2ju,k,m
P（X=2）P（X=4）丨||P（X=2k）Hl
•（丄严.…•（丄严3.…
444444
14.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡
的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可
从保险公司领取2000元赔偿金.求：
（1）保险公司亏本的概率；
（2）保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率.
【解】以“年”为单位来考虑.
（1）在1月1日，保险公司总收入为2500>12=30000元.
设1年中死亡人数为X,则X~b（2500,0.002），则所求概率为
P（2000X•30000）=P（X15）P（X<14）
由于n很大，p很小，入=np=5，故用泊松近似，有
14-5k
_e5
P（X15）:
10.000069
心k!
⑵R保险公司获利不少于10000）
=P（30000—2000X_10000）=P（X乞10）
10_5k
_e50.986305
k=0k!
20000）=P（30000-2000X_20000）=P（X乞5）
5肿k
e5
0.615961
k=0k!
3238
Pl=[P（X150）]=（-）=—
327
i12-4
⑵p2=C3；（）
339
⑶当x<100时F（x）=0
x
当x>100时F（x）f（t）dt
100x
=JfE+Kgt
x100,100
厂dt=1-
100t2x
x_100
x：
：
：
0
1型
F（x）x
0,
17.在区间［0,a］上任意投掷一个质点，以X表示这质点的坐标，设这质点落在］0,a］
中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求X的分布函数.
【解】由题意知X〜U［0,a］，密度函数为
1
0_x_a
f（x）
0,其他
故当x<0时F（x）=0
xxx1x
当0WxWa时F（x）f（t）dtf（t）dtdt
0*0aa
当x>a时，F（x）=1
即分布函数
0,xc0
x
F（x）,0_x_a
|a
1,xa
18.设随机变量X在［2,5］上服从均匀分布.现对X进行三次独立观测，求至少有两次的观测
值大于3的概率.
【解】X~U［2,5］，即
1
I-,2兰x兰5
f（x）二3
10,其他
512
P（X3）=.-dx=-
333
故所求概率为
222132320
P乂3（）C3（）：
33327
1
19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分钟计）服从指数分布E（-）.某顾客在窗
5
口等待服务，若超过10分钟他就离开•他一个月要到银行5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出Y的分布律，并求P{Y>1}.
1
【解】依题意知X~E（—），即其密度函数为
5
f（x）二
该顾客未等到服务而离开的概率为
Y~b（5,e2）,即其分布律为
P（Y二k）二C；（e于（1—e，）5上，k=0,1,2,3,4,5
25
P（Y_1）=1-P（Y=0）=1-（1-e）=0.5167
20.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X
服从N（40,102）;第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X服从N（50,42）.
（1）若动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？
（2）又若离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？
【解】
（1）若走第一条路，X〜N（40,102）,则
i'x-40
P（X®「百
:
:
60一40二门
（2）=0.97727
10
2
若走第二条路，X〜N（50,4）,则
:
:
60-50=：
」（2.5）=0.9938
4
故走第二条路乘上火车的把握大些
（2）若X〜N（40,102）,则
若X〜N（50,42）,则
P（X：
：
45）=PX_50：
45_50=：
：
1.25）
“4丿
=1（1.25）=0.1056
故走第一条路乘上火车的把握大些.
2
21.设X~N（3,2）,
（1）求R22},P{X>3};
（2）确定c使P{X>c}=P{Xwc}.
f2_3
【解】
（1）P（2：
：
：
X^5）=P
I
X-35-3
<<
2
2
II
0.8413—10.6915=0.5328
P（|X|2）=P（X2）P（X：
：
：
-2）
-3
2-3、
fx—3
—2—3）
+PI<1
12
2丿
12
2丿
不f1、
5"
<1"
=1—61--
+①1-
=61-
+1—6丨一
12丿
1
2丿
12丿
12丿
=0.69151-0.9938=0.6977
X—33-3
P（X3）=P（）=1-门（0）=0.5
22
⑵c=3
2
22.
【解】P（|X-10.05|0.12）=P
X—10.05
0.06
0.12
>0.06>
由某机器生产的螺栓长度（cm）X~N（10.05,0.06）,规定长度在10.05±）.12内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率.
=1一门
（2）：
」（一2）=2[1-"
（2）]
二0.0456
2
23.一工厂生产的电子管寿命X（小时）服从正态分布N（160,（T）,若要求F{120vXc200}
》0.8，允许厅最大不超过多少？
【解】p（120：
：
：
x辽200）=p嗖g：
：
：
岂垒口°
ICJCJCJ丿
=细上岀冷鲍-!
0.8
,”40
故31.25
1.29
24.设随机变量X分布函数为
F（x）=
ABe",
°，
x_0,
x0.
（'0）,
（1）求常数A,B;
（2）求RXW2},P{X>3};
（3）求分布密度f（x）.
'凹F（x）=1「a=1
【解】
（1）由x…得
limF（x^limF（x）B=一1
（2）P（X_2）=F
（2）=1-e^
P（X3）=1-F（3）=1-（1-e
25.
设随机变量X的概率密度为
当0wx<1时F（x）
x
「0tdt
当1wx<2时F（x）
1x
0f（t）dt.Jf（t）dt
0
.:
;f（t）dt
1
x23
丄2x
222
0tdt=（2-t）dt
2x—1
当x>2时F（x）二
F（x）
26.设随机变量X的密度函数为
（1）f（x）=ae|x|,入>0;
bx,
1
f（x）=」一2,
x
0,
2
2
x
2x-1,
2
1,
0空x:
:
:
1
x_2
0：
：
x:
:
1,
1乞x：
：
2,
其他.
试确定常数a,b,并求其分布函数F（x）.
【解】
（1）由f（x）dx=1知1二
□0qi
ae_|x|dx=2a
<-□0
O0r,
e^dx
2a
a二一
2
即密度函数为
'_.x
e
2
f（x）二2
17
2e
x_0
1n当xw0时F（x）=J」（x）dx=[
x'■卜
[±e%x
02
-：
：
2
0扎]
当x>0时F（x）=Jf（x）dx=J—e'xdx+
■--_2
-oO
故其分布函数
F（x）
1丄“
!
2
1ex
2e，
x_0
K
⑵由1=f（x）dxbxdx2dx=—
0■1x2
得
即X的密度函数为
x
b=1
x,
0x：
：
1
1:
2
其他
当xW0时F（x）=0
当0x0x
f（x）dx=j—f（x）dx0f（x）dx
x
1x1
xdx2dx
01x2
=.0xdx
0
当1Wx<2时F（x）二f（x）dx二0dx
31
=———
2x当x>2时F（x）=1故其分布函数为
F（x）
0,
2
x
3
3
2
1,
x_0
0■x:
:
1
x_2
27.求标准正态分布的上:
-分位点,
=0.01，求z：
.；
（2）:
-
=0.003，求Z--，Z.-"/2.
【解】
（1）
P（X■zj-0.01
1-门（zJ=0.01
：
：
」（zJ=0.09
乙.=2.33
（2）由P（Xzj=0.003得
1-门（zJ=0.003
即
：
：
」（zj=0.997
查表得
"275
由P（Xz：
./2）=0.0015得
1-:
-：
J（z：
./2）=0.0015
z./2=2.96
「（zQ=0.9985
X
2
1
01
3
Pk
1/5
1/61/5
1/15
11/30
查表得
28.设随机变量X的分布律为
求Y=X2的分布律.
【解】Y可取的值为0,1,4,9
1
P（Y=0）=P（X=0）:
5
117
P（Y=1）=P（X二-1）P（X=1）=
61530
1p（Y=4）=P（X二―2）：
5
11
P（Y=9）=P（X=3）:
30
故Y的分布律为
Y
014
9
Pk
1/57/301/5
11/30
1k
29.设P{X=k}=（—）,k=1,2,…,令
2
r1,当x取偶数时
Y=
1-1,当X取奇数时.
求随机变量X的函数Y的分布律.
【解】P（Y=1）=P（X=2）P（X=4）HIP（X=2k）I"
詔）2（厂叽—
P（Y=-1）=1-P（Y=1）
3
30.设X~N（0,1）.
X
（1）求Y=e的概率密度；
（2）求Y=2X2+1的概率密度；
3）求Y=IX丨的概率密度.
【解】
（1）当y<0时，FY（y）=P（YEy）=0
当y>0时，FY（y）=P（Y空y）=P（eX乞y）=P（X^lny）
lny
■fX（x）dx
fY（y）U
11」n2y/2c
dy
-fx（lny）-一一e,y0y八2n
P（Y=2X21_1）=1
当y<1时FY（y）二P（丫乞y）=0
当y>1时FY（y）=P（Y_y）=P（2X2•1_y）
2y-1
=PX2■
I2
（yJ）/2
fY（y）
-—fX（x）dx
⑶P（Y_0）=1
当y<0时FY（y）二P（丫乞y）=0
当y>0时Fy（y）=P（|X|Ey）=P（-yEXEy）
y
yfx（x）dx
故f丫（y）唱FY（y）f（y）5）
31.设随机变量X~U（0,1），试求：
X
（1）Y=e的分布函数及密度函数;
（2）
2lnX的分布函数及密度函数.
Z=
【解】
（1）
P（0：
：
X：
：
1）=1
X
P（1：
：
Y=e:
:
e）=1
<1时FY（y）二P（YEy）=0
X
当1Iny
=0dx=lny
当y>e时Fy（y）二P（e^iy）=1
即分布函数
0,y<1
I
FyW）=Iny,1：
：
ye
1,y-e
故Y的密度函数为
1d
1：
：
y.efY（y）={y,
0,其他
（2）由P（0P（Z0）=1
Fz（z）=P（ZEz）=0
当z>0时,
FZ（z）二P（ZEz）=P（—2InXEz）
1
〕z/2dx=1-e"
e…
即分布函数
zEOz0
故Z的密度函数为
1-z/2
fZ（z）二2e
10,
32.设随机变量X的密度函数为
:
:
:
x：
：
n
2x
f（x）=
孑
.0,
试求Y=sinX的密度函数.
【解】P（0:
Y<1）=1
FY（y）=P（丫乞y）=0
当0FY（y）二P（Ymy）二P（sinX乞y）
二P（0：
：
X:
:
n
arcsiny
2dx
冗
12
（（arcsiny）
n
2.arcsiny
n
i刍dx
narcsinyn
1-1（n-arcsiny）2
7t
FY（y）=1
故丫的密度函数为
fY（y）=n
0,
0：
：
y：
：
1
其他
33.设随机变量X的分布函数如下:
F（x）
x：
：
：
（1）
试填上
（1）,
（2）,（3）项.
【解】由limF（x）=1知②填1。
故①为0。
由右连续性limF（x）=F（x0）=1知x0=0.
从而③亦为0。
即
F（x）=工1x
x：
：
0
x_0
34.同时掷两枚骰子，直到一枚骰子出现6点为止,
求抛掷次数X的分布律•
1
C=｛每
【解】设A=｛第i枚骰子出现6点｝。
（i=1,2）,RA）=>.且A1与A相互独立。
再设
6
次抛掷出现6点｝。
则
P（C）二P（AUA2）=P（A）P（A2）-P（AJP（A2）
111111
=—i———X—=
666636
11
故抛掷次数X服从参数为的几何分布。
36
35.随机数字序列要多长才能使数字0至少出现一次的概率不小于0.9?
【解】令X为0出现的次数，设数字序列中要包含n个数字，则
X~b（n,0.1）
P（X_1）=1_P（X=0）=1_C0（0.1）0（0.9）n_0.9
即（0.9）nz0.1
得n>22
即随机数字序列至少要有22个数字。
36.
已知
0,
1
F（x）={x十一,
2
【解】因为F（x）在（g，+g）上单调不减右连续，且limF（x）=0
limF（x）=1,所以F（x）是一个分布函数。
xJ:
.
但是F（x）在x=0处不连续，也不是阶梯状曲线，故F（x）是非连续亦非离散型随
机变量的分布函数。
选（C）
37.设在区间［a,b］上，随机变量X的密度函数为f（x）=sinx,而在［a,b］夕卜，f（x）=0，则区
间［a,b］等于（）
（A）［0,n/2］;（B）［0,n］;
（C）L丘/2,0］；（D）［0,-n.
2
nn2
【解】在［0,］上sinx>0,且psinxdx=1.故f（x）是密度函数。
n
在［0,n上psinxdx=2=1.故f（x）不是密度函数。
n
在［,0］上sinx一0,故f（x）不是密度函数。
2
亠3「「3、
在［0,n上，当n：
：
：
x，n时，sinx<0,f（x）也不是密度函数。
22
故选（A）。
38.设随机变量X~N（0,62）,问：
当b取何值时，X落入区间（1,3）的概率最大？
1X3
【解】因为X~N（0,；「2）,P（1：
：
X：
：
3）=P（）
ff31
令g㈡
CTCF=
利用微积分中求极值的方法，有
3311
9
（二）=（_2片
（2）厶门（丄）
CTCTCT令
2e1/^2[仁3e3/^f]=0
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