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1、概率论和数理统计第二章课后习题答案解析概率论与数理统计课后习题答案第二章1. 一袋中有5只乒乓球，编号为 1，2，3，4，5，在其中同时取 3只，以X表示取出的3 只球中的最 大号码，写出随机变量 X的分布律.【解】X =3,4,51P(X =3)厂0.1C5P(X3=4) 3 = 0.3C；【解】当 0 x1 时，F (x) =P( XW x) =P(X=0)=2235当1W x 2 时，F (x) =P (XW x) =1故X的分布函数0, x ： 03. 射手向目标独立 地进行了 3次射击，每次击中率为 0.8，求3次射击中击中目标的次数 的分布律及分布函 数，并求3次射击中至少击中2次

2、的概率.【解】设X表示击中目标的次数则X=0，1，2，3.P(X =0) =(0.2)3 =0.008P(X =1) = C；0.8(0.2)2 =0.096P(X =2) =c3(0.8)20.2 = 0.384P(X =3) = (0.8)3 =0.512故X的分布律为X0123P0.0080.0960.3840.512分布函数0, x v00.008, 0兰xc1F(x)=丿0.104, 1 兰x v20.488, 2 Ex 31, x3P(X _2) =P(X =2) P(X =3) =0.8964. ( 1)设随机变量X的分布律为i kPX=k=a,k!其中k=0, 1, 2,，入0

3、为常数，试确定常数 a.(2)设随机变量X的分布律为PX=k=a/N, k=1, 2,N,试确定常数a.【解】(1)由分布律的性质知: :k1 P(X = k) = a a|_ey k=0 k!故 a(2)由分布律的性质知N N a1 P(X =k) a =ak=1 k 4 N即 a = 1.5. 甲、乙两人投篮，投中的概率分别为 0.6,0.7,今各投3次，求：(1) 两人投中次数相等的概率；(2) 甲比乙投中次数多的概率.【解】分别令X、Y表示甲、乙投中次数，则 Xb(3，0.6),Yb(3,0.7)(1)P(X =3,Y =3)-(0.4)3(0.3)3 C30.6(0.4)2C30.7

4、(0.3)2 +2 2 2 2 3 3C3(0.6) 0.4C3(0.7) 0.3 (0.6) (0.7)=0.32076(2)=0.2436. 设某机场每天有 200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为 0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降 落而没有空闲跑道的概率小于 0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？【解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数， 则Xb(200,0.02)，设机场需配备 N条跑道， 则有P(X N) ： 0.01200即 Z C：00(0.02)k(0.98)20i V0.01k =N 1利用泊松近似

5、 = np = 200 0.02 = 4.of 4 A kI e 4P（X_N） 0.01n 1 k!查表得N9.故机场至少应配备 9条跑道.7. 有 一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为 0.000 1, 在某天的该时段内有 1000辆汽车通过,问出事故的次数不小于 2的概率是多少（利用泊 松定理）？【解】设X表示出事故的次数，则 Xb（ 1000，0.0 001）8. 已知在五重贝努里试验中成功的次数 X满足RX= 1= PX=2，求概率PX=4.【解】设在每次试验中成功的概率为 p,则故所以P(X 刈乂甸 3J43.9.设事件A在每一次试验中发生的概率

6、为0.3，当A发生不少于3次时，指示灯发出信号,（1） 进行了 5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率；（2） 进行了 7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率 .【解】（1）设X表示5次独立试验中 A发生的次数，则 X6（ 5，0.3）5 k k 5 kP(X _3)=、C5(0.3) (0.7) = 0.16308k=3 令Y表示7次独立试验中 A发生的次数，则 Yb（ 7，0.3）7P(YH3)=E Ck(0.3)k(0.7) J =0.35293k=310.某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数 X服从参数为（1/2）t的泊松分布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计）（1）求

7、某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率；（2）求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率.3 5【解】（1）P（X=0）=e （2） P（X 一 1）=1-P（X =0）=1-e11.设 P X=k= C2pk(1-p)2= k=0,1,2m=0,1,2,3,45分别为随机变量 X, Y的概率分布，如果已知 PX 1=，试求PY 1.95 4【解】因为P（X -1） ，故P（X 12=30000元.设1年中死亡人数为 X,则Xb(2500,0.002)，则所求概率为P(2000X 30000) =P(X 15) P(X 14)由于n很大，p很小，入=np=5，故用泊松近似，有14

8、-5 k_ e 5P(X 15) : 1 0.000069心k! R保险公司获利不少于 10000)= P(30000 2000X _10000) =P(X 乞 10)10 _5 k_ e 5 0.986305k =0 k !20000) = P(30000 -2000X _ 20000) = P(X 乞 5)5肿ke 50.615961k =0 k!3 2 3 8Pl =P(X 150) =(-)=3 27i 1 2 - 4 p2 =C3；()3 3 9当 x 100 时 F (x) f(t)dt100 x=JfE + Kgtx 100 , 100厂 dt =1 -100 t2 xx _10

9、0x ： 01型F(x) x0,17.在区间0, a上任意投掷一个质点，以 X表示这质点的坐标，设这质点落在 0, a中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求 X的分布函数.【解】 由题意知XU 0, a，密度函数为1,0 _ x _ af (x)0, 其他故当xa 时，F (x) =1即分布函数0, xc0xF (x) , 0 _ x _ a|a1, x a18.设随机变量X在2 , 5上服从均匀分布.现对X进行三次独立观测， 求至少有两次的观测值大于3的概率.【解】XU2,5，即1I-, 2兰x兰5f(x)二 310, 其他51 2P(X 3)= . -dx=-3 3 3故所求概率

10、为2 2 2 1 323 20P 乂3( ) C3()：3 3 3 27119. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间 X (以分钟计)服从指数分布 E(-).某顾客在窗5口等待服务，若超过10分钟他就离开他一个月要到银行 5次，以Y表示一个月内他未 等到服务而离开窗口的次数，试写出 Y的分布律，并求 PY 1.1【解】依题意知X E()，即其密度函数为5f(x)二该顾客未等到服务而离开的概率为Y b(5,e 2),即其分布律为P(Y 二k)二C；(e于(1e，)5上，k =0,1,2,3,4,52 5P(Y _1)=1-P(Y=0)=1-(1-e ) =0.516720. 某人乘汽车去火车站乘

11、火车，有两条路可走 .第一条路程较短但交通拥挤，所需时间 X服从N(40, 102);第二条路程较长，但阻塞少，所需时间 X服从N(50 , 42).(1) 若动身时离火车开车只有 1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？(2) 又若离火车开车时间只有 45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？【解】(1)若走第一条路，XN( 40, 102),则ix -40P(X 百:60 一40 二门(2) = 0.97727102若走第二条路，XN( 50 , 4 ),则:60 -50 =：(2.5) =0.99384故走第二条路乘上火车的把握大些 (2)若 XN(40, 102),则若 XN(50,

12、42),则P(X ：45)=P X _50 ： 45 _50 =： 1.25)“ 4丿=1 (1.25) =0.1056故走第一条路乘上火车的把握大些 .221. 设 XN (3 , 2 ),(1) 求 R2XW 5, P 4 2 , PX 3;(2) 确定 c 使 PX c=PXw c.f2 _3【解】(1) P(2 ： X 5) =PI X -3 5 -3 22II 0.8413 1 0.6915 =0.5328P(|X | 2) =P(X 2) P(X ： -2)-32-3、fx 323)+ PI 11 22丿1 22丿不f 1、50.06由某机器生产的螺栓长度（cm） XN （10.0

13、5,0.06 ）,规定长度在10.05 ）.12内为合格 品,求一螺栓为不合格品的概率 .=1 一门（2）：（一2） =21- （2）二 0.0456223. 一工厂生产的电子管寿命 X（小时）服从正态分布 N（ 160, （T ）,若要求F120 vXc 2000.8，允许厅最大不超过多少？【解】p（120 ： x 辽 200）=p 嗖g ： 岂垒口I CJ CJ CJ 丿=细上岀冷鲍-! 0.8, ” 40故 31.251.2924. 设随机变量X分布函数为F (x)=A Be,，x _0,x 0.(0),(1) 求常数A, B;(2) 求 RXW 2 , PX3;(3) 求分布密度f (

14、x).凹 F(x)=1 a = 1【解】(1)由x 得lim F (x lim F (x) B = 一1(2) P(X _2) = F(2) =1 -eP(X 3) =1 -F(3) =1 - (1-e25. 设随机变量X的概率密度为当0wx1时 F(x)x0 tdt当 1 w x 2 时 F(x)二F(x)26.设随机变量X的密度函数为(1) f (x)= ae |x|,入 0;bx,1f(x)=一2,x0,22x2x -1,21,0 空 x : 1x _20 ： x : 1,1 乞 x ： 2,其他.试确定常数a, b,并求其分布函数 F (x).【解】(1)由 f (x)dx =1知1二

15、0 q iae_ |x|dx = 2a0 时 F (x) = J f(x)dx=J exdx + - - _ 2-oO故其分布函数F(x)1丄“! 21 ex2e，x _0K 由 1 = f (x)dx bxdx 2dx= 0 1 x 2得即X的密度函数为xb=1x,0 x ： 11 x : 2其他当 x W 0 时 F (x) =0当 0x1 时 F (x)=x 0 xf (x)dx = jf (x)dx 0 f (x)dxx1 x 1xdx 2 dx0 1 x2= .0xdx0当 1Wx 2 时 F (x) =1 故其分布函数为F(x)0,2x3321,x _00 x : 1x _227.

16、求标准正态分布的上:-分位点,=0.01，求 z：.；(2):-=0.003，求 Z-， Z.-/2 .【解】(1)P(X zj -0.011 -门(z J =0.01：(zJ =0.09乙.=2.33(2)由 P(X zj =0.003得1 -门(z J =0.003即：(zj =0.997查表得275由 P(X z：./2) =0.0015 得1-:-：J (z：./2) =0.0015z ./2 = 2.96(zQ =0.9985X210 13Pk1/51/6 1/51/1511/30查表得28.设随机变量X的分布律为求Y=X2的分布律.【解】Y可取的值为0, 1 , 4, 91P(Y

17、=0) = P(X =0):51 1 7P(Y =1) =P(X 二-1) P(X =1)=6 15 301 p(Y =4) = P(X 二2)：511P(Y =9) =P(X =3):30故Y的分布律为Y0 1 49Pk1/5 7/30 1/511/301 k29.设 PX=k=( ) , k=1,2,令2r 1,当x取偶数时Y =1-1,当X取奇数时.求随机变量X的函数Y的分布律.【解】P(Y =1) = P(X =2) P(X =4) HI P(X =2k) I詔）2（厂叽P(Y = -1) = 1 -P(Y =1)330. 设 XN( 0, 1).X(1) 求Y=e的概率密度；(2)

18、求Y=2X2+1的概率密度；3) 求Y= I X丨的概率密度.【解】(1)当 y0 时，FY(y) =P(Y 空 y) =P(eX 乞 y) =P(X ln y)ln y fX(x)dxfY(y)U1 1 n2y/2 cdy-fx(ln y) - 一一 e , y 0 y 八2 nP(Y =2X2 1 _1) =1当 y1 时 FY(y) =P(Y _ y) = P(2X2 1 _ y)2 y -1=P X2 I 2(y J)/ 2fY(y)-fX(x)dx P(Y_0)=1当 y0时 Fy(y) =P(|X |Ey) =P(-y EX Ey)yy fx (x)dx故 f丫(y)唱FY(y)f

19、(y) 5)31. 设随机变量XU( 0,1 )，试求：X (1) Y=e的分布函数及密度函数;(2) 2ln X的分布函数及密度函数.Z=【解】(1)P(0 ： X ：1) =1XP(1 ： Y = e : e) = 11 时 FY(y)二 P(Y Ey) =0X当 1ye 时 FY(y)二 P(e 乞 y) = P(X e 时 Fy(y)二 P(ei y) = 1即分布函数0, y 1IFyW) = In y, 1 ： y e1, y-e故Y的密度函数为1 d1 ： y . e fY(y) = y,0,其他(2)由 P (0X0时,FZ(z)二 P(Z Ez) =P(2In X Ez)1z

20、/2dx=1-ee即分布函数zEO z 0故Z的密度函数为1 -z/2fZ(z)二 2e10,32. 设随机变量X的密度函数为:x ： n2xf (x)=孑.0,试求Y=sinX的密度函数.【解】P(0 : Y 1) =1FY(y) =P(丫 乞 y) =0当0y1时,FY(y)二 P(Y my)二 P(sin X 乞 y)二 P(0 ： X .且A1与A相互独立。再设6次抛掷出现6点。则P(C)二 P(A UA2)= P(A) P(A2)- P(AJP(A2)1111 11=i X = 6 6 6 6 3611故抛掷次数X服从参数为 的几何分布。3635. 随机数字序列要多长才能使数字 0至

21、少出现一次的概率不小于 0.9?【解】令X为0出现的次数，设数字序列中要包含 n个数字，则Xb( n,0.1)P(X _1) =1 _P(X =0) =1_C0(0.1)0(0.9)n _0.9即 (0.9)nz0.1得 n 22即随机数字序列至少要有 22个数字。36. 已知0,1F (x) = x 十一,2【解】因为F (x)在( g，+ g)上单调不减右连续，且 lim F(x) =0lim F(x) =1 ,所以F (x)是一个分布函数。x J :.但是F (x)在x=0处不连续，也不是阶梯状曲线，故 F (x)是非连续亦非离散型随机变量的分布函数。选(C)37. 设在区间a,b上，随

22、机变量 X的密度函数为f (x)=sin x,而在a,b夕卜，f (x)=0，则区间a, b等于( )(A) 0, n /2; ( B) 0, n ;(C) L 丘/2,0； (D) 0, - n.2n n2【解】在0,上sin x 0,且p sinxdx=1.故f (x)是密度函数。n在0, n上p sinxdx=2=1.故f(x)不是密度函数。n在,0上sin x 一 0 ,故f(x)不是密度函数。2亠 3 3 、在0, n上，当n ： x， n时，sin x0, f (x)也不是密度函数。2 2故选(A)。38. 设随机变量XN(0,6 2),问：当b取何值时， X落入区间(1, 3)的概率最大？1X3【解】因为 X N(0,；2), P(1 ： X ： 3) = P( )ff T CT3 1令gCT CF =利用微积分中求极值的方法，有3 3 119（二）=（_2片（2）厶门（丄）CT CT CT J令, 2 e1/2 仁 3e3/f = 0