41焦长与焦比体系.docx

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41焦长与焦比体系

专题1焦长与焦比体系

秒杀秘籍：

第一讲椭圆焦长以及焦比问题

2

4a体:

过椭圆x

a2

+

y2

b2

=1（a>b>0）的左焦点F1的弦AB与右焦点F2围成的三角形△ABF2的周长是4a；

x2

焦长公式：

A是椭圆a2

+

y2

b2

=1（ab2

>b>

0）上一点，F1、F2是左、右焦点，

b2

∠AF1F2为

2ab2

α，AB过F1，c是

ABh2

2ab2

椭圆半焦距，则

（1）AF1

=a-ccosα；

（2）BF1

=a+ccosα；（3）AB=a2-c2cos2α=b2+c2sin2α．

ABh

12ab2

2ab2csinα

ab2csinα

2

4a体面积：

S△ABF=

2=2⋅a2-c2cos2α⋅2csinα=b2+c2sin2α，S△AOB=

2=b2+c2sin2α．

证明：

（1）如图所示，AF1+AF2

=2a;BF1+BF2

=2a，故AB+AF2+BF2

=4a；

（2）设AF1=m;

222

BF1=n;

AF2

=2a-m;

BF2

=2a-n;由余弦定理得

b2

m+（2c）

-（2a-m）

=2m×（2c）cosa；整理得AF1=a-ccosa①

22b2

同理：

n2+（2c）

-（2a-n）

=2n×（2c）cos（180°-a）；整理得BF1

=②

a+ccosa

2ab22ab2

①+②得，则过焦点的弦长：

AB=m+n=a2-c2cos2a=b2+c2sin2a③

x2

焦比定理：

过椭圆

a2

+y2

b2

b2

=1的左焦点F1的弦AF1=a-ccosα，BF1

b2

=a+ccosα，令AF1=lF1B，即

b2lb2

l-1

（l+1）b2

a-ccosa=a+ccosaÞecosa=l+1④，代入焦长公式①可得AF1=2a⑤．

注意：

焦长和焦比体系当中，一切源于焦长公式的推导，所以掌握焦长公式成为了重中之重，在解答题中要有必要的证明过程，除了本文给到的余弦定理外，还可以用圆锥曲线的极坐标方程快速证明，这个问题大家可以自己去掌握，由于极坐标方程在未来高考中的不确定性，本文不给出详细证明过程．

【例1】过椭圆4x2+2y2=1的一个焦点F的弦AB与另一个焦点F围成的三角形△ABF2的周长

12

是．

x2y211

【例2】过椭圆+=1（a>b>0）的一个焦点F作弦AB，若|AF|=d，|BF|=d，则+

1

2

a2b212dd

（）

的数值为

A．2b

a2

B．2a

b2

x2y2

C．a+b

a2

D．与a、b斜率有关

【例3】设直线l:

y=x+1与椭圆a2+b2=1（a>b>0）相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点F．

（1）证明：

a2+b2>1；

（2）若F是椭圆的一个焦点，且AF=2FB，求椭圆的方程．

【例4】设椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，一个顶点（2,0），离心率为3．

2

（1）求椭圆的方程；

（2）若椭圆左焦点为F1，右焦点F2，过F1且斜率为1的直线交椭圆于A、B，求△ABF2的面积．

x2y2

【例5】已知椭圆C：

a2+b2=1的左右顶点为A，B，点P为椭圆C上不同于A，B，的一点，且直线PA，

PB的斜率之积为-1；

2

（1）求椭圆的离心率；

（2）设F（-1,0）为椭圆C的左焦点，直线l过点F与椭圆C交与不同的两点M，N，且MF=3FN求直线l

的斜率．

y2

b2

【例6】（2014•安徽）设F1，F2分别是椭圆E：

x2+=1（0

E于A、B两点，若AF1=3F1B，AF2^x轴，则椭圆E的方程为．

x22

【例7】（2011•浙江）设F1，F2分别为椭圆+y

3

的坐标是．

=1的焦点，点A，B在椭圆上，若F1A=5F2B,则点A

x2y2

【例8】（2014•安徽）设F1，F2分别是椭圆E：

a2+b2=1的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，

B两点，AF1=3F1B．

（1）若AB=4，△ABF2的周长为16，求AF2；

（2）若cosÐAFB=3，求椭圆E的离心率．

25

x2

1．F1,F2分别是椭圆9

+y2

7

同步训练

=1的左右两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2=45︒，则△AF1F2的面积为（）

75

77

A．7B．C．D．

422

2

2

2．过椭圆x+y=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的

54

面积为．

x2

2

3．已知F1为椭圆C:

2+y

为．

=1的左焦点，直线l:

y=x-1与椭圆C交于A、B两点,那么|F1A|+|F1B|的值

2

4．过椭圆C:

x

y211

+

AF

BF

=1的左焦点F作倾斜角为60︒的直线l与椭圆交于A，B两点，则+

=（）

43

A．4B．3C．

3D．5

3453

2

x2+y2=>>

5．已知椭圆a2

1（a

b2

b0）的离心率为

2

．设L为过椭圆右焦点F的直线，交椭圆于M、N两点，

MF

NF

且L的倾斜角为60︒．则=．

3

6．已知F1（-1,0）,F2（1,0）是椭圆C的两个焦点,A、B为过F1的直线与椭圆的交点,且△F2AB的周长为4．

（1）求椭圆C的方程;

F1A

F1B

（2）判断1+1是否为定值,若是求出这个值,若不是说明理由．

7．已知中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆，左焦点F1（-1,0），一个顶点坐标为（0,1）．

（1）求椭圆方程；

（2）直线l过椭圆的右焦点F2交椭圆于A、B两点,当△AOB面积最大时，求直线l方程．

2

8．已知椭圆x

3

+

y2

2

=1的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆于B、D两点，过F2的直线交椭

圆于A、C两点，且AC⊥BD，垂足为P．

x2y2

（1）设P点的坐标为（x0，y0），证明：

0+0<1．

32

（2）求四边形ABCD的面积的最小值．

秒杀秘籍：

第二讲双曲线的焦点三角形问题

x2y2

周长问题：

双曲线a2-b2=1（a>0，b>0）的两个焦点为F1、F2，弦AB过左焦点F1（A、B都在左支上），AB=l，则△ABF2的周长为4a+2l（如下图左）

焦长公式：

（1）当AB交双曲线于一支时，|AB|=

（2）当AB交双曲线于两支时，|AB|=

双曲线焦比定理和椭圆的焦比定理一致：

2ab2

a2-c2cos2a2ab2

c2cos2a-a2

，a2-c2cos2a>0Þ1

cosa

，a2-c2cos2a<0Þe>1（图右）

cosa

b2lb2

l-1

（l+1）b2

令AF1=lF1B，即a-ccosa=a+ccosaÞecosa=l+1（l>1），代入弦长公式可得AF1=2a．

b2lb2

l+1

（l-1）b2

若交于两支时，ccosa-a=a+ccosaÞecosa=l-1（l>1），代入弦长公式可得AF1=2a．

x2y2

【例9】已知双曲线-

169

=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线与该双曲线的右支交于A、B两点,

若AB

=5,则△ABF1的周长为．

2y2π

【例10】过双曲线x-=1的左焦点F1作倾斜角为

36

的直线l交双曲线于A、B两点，则|AB|=．

x2y2

【例11】已知双曲线a2-b2=1（a，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2．过F2

的直线与双曲线C的右支相交于P，Q两点，若PF2=3F2Q，若△PQF1是以Q

为顶角的等腰三角形，则双曲线的离心率e为（）

A．3B．2

2

C．

2

9．过双曲线x

4

-y2

3

D．

3

=1左焦点F1的直线交双曲线的左支于M、N两点，F2为其右焦点，则|MF2|＋|NF2|－

|MN|的值为（）

A．6B．8C．10D．16

x2y2

10．如果F1，F2分别是双曲线16-9

则△ABF2的周长是．

=1的左、右焦点，AB是双曲线左支上过点F1的弦，且|AB|=6，

11．过双曲线x2-4y2=4的焦点F1且在双曲线一支上的弦AB的长度为5，F2为另一焦点，则△ABF2的周长为．

12．斜率为2的直线l过双曲线x2-y2=

（a>0,b>0）的右焦点,且与双曲线的左右两支分别相交，则双曲

1

a2b2

线的离心率e的取值范围是（

）

A．e<2

B．1

C．1

D．e>5

x2

13．已知双曲线a2

-

y2

b2

=1的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60︒的直线与双曲线的右支有且仅有一个交

点,则此双曲线离心率的范围是（）

A．（1,2]

B．（1,2）

C．[2,+∞）

D．（2,+∞）

-=

x2y2

14．过双曲线1的左焦点F1

作倾斜角为α=π的直线与双曲线交于A，B两点，求|AB|．

9

15．经过双曲线x2

（1）AB；

16

-y2

3

4

=1的右焦点F2作倾