数列的求和例题解析.docx
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数列的求和例题解析
数列的求和•例题解析
【例1】求下列数列的前n项和Sn：
1
1
1
1
（1）12
2
4
，38，'
…，（n
2*），
♦•
1
2
12
1
2
1
2
⑵—
3
孑
，于
孑，…,
32n1
♦♦♦•
32n，；
1
1
1
1
1
1
⑶1,
1+
—
1+-
•，1+-
+-+•
••+&1，
2
2
4
2
4
1
班）
1111解（声厂右2；38…（n歹）
=（1+2+3+•••+n）+（2
1
1
2（1
尹）
1
1
—
2
n（n+1）
2
1
（2）Sn=1
2
1
2
1
2
32
33
34
32n1
32n
1
1
1
2
2
2
=（3盲+…+芦）+孑盲+…+尹）
1
32
32
11
1
1
an=1-
n1
2
n1
24
2
2
二Sn=（2+2+•■
••+2）-
（1+
111
++…+n-1）
242n
Q2n
（3）先对通项求和
4-
00in
+
CXI
g
\—
L
T—
T—
+
00
00
in
m
cxi
O）
（COUCXI）（Lucxl）co（gu寸）u
llgggcloc）（loclIT）
（CXI+UCO）（L
+（3n2）
…的前n项之和是
111
二—（）
323n2
n
6n4
【例3】求下面数列的前n项和：
111
1+仁—+4,~2+7,…，—+（3n—2）,
aaa
1
分析将数列中的每一项拆成两个数，一个数组成以
丄为公比的等
a
比数列，另一个数组成以
3n-2为通项的等差数列，分别求和后再合并.
又•••an=1123+22+•••+
61
Abn=^=6（；
21
n2=_n（n+1）（2n+1）6
1
n+1）
数列｛bn｝的前n项和Sn=b1+b2+-+
bn
=6[（1
11
nn）]
=6（1
6n
n+1选（A）.
【例5】求在区间
[a,b]（b>a,
a,b€N）上分母是3的不可约分数之和.
解法一区间［a,b］上分母为3的所有分数是专
3a53b2
3,a+2，…，b—1,亍,
1
1为公差的等差数列.
3
3a4
a+1,盯,
3a
§为首项，以
3a1
T
3b1
3
3a2
丁,辿它是以
3
124521
•-S=（a+3）+（a+-）+（a+3）+（a+-）+…+（b—-）+（b--）
12452
而又有S=（b-3）+（b--）+（b-3）+（b-3）+…+（a+-）+
1
（a+3）
两式相加：
2S=（a+b）+（a+b）+…+（a+b）
其个数为以3为分母的分数个数减去可约分数个数.
即3（b—a）+1—（b—a+1）=2（b—a）
2S=2（b—a）（a+b）
S=b2-a2
【例6】求下列数列的前n项和Sn：
（2）1,4,9，…，n2,…;
解
（1）Sn=a+2a2+3a3+…+nan
•/0
aSn=a2+2a3+3a4+…+（n—1）an+nan+1
Sn—aSn=a+a2+a3+…+an—nan+1
nn1
a（1a）na
（1a）21a
⑵Sn=1+4+9+・・・+n2
（a+1）3—a3=3a2+3a+1
23—13=3x12+3X1+1
43-33=3X32+3X3+1n3-（n-1）3=3（n-1）2+3（n—1）+1
（n+1）3—n3=3n2+3n+1
把上列几个等式的左右两边分别相加，得
（n+1）3—13=3（12+22+…+n2）+3（1+2+…+n）+n
22223n（n1）
=3（12+22+32+…+n2）++n
12+22+32+…+n2
=如+1）3-1-
l[n3+3n2+3n-
3
3n（n1）
2
—n]
_1
=6
+3n+1）
（2n
n+1n
1）x1（2n1）x
（1x）
（1x）2
1
2
3
n
⑷VSn=
■
2
3
n
2
2
2
2
1
1
2
3
n
Sn
2n
22
23
24
2n
两式相减，得
说明求形如｛an•bn｝的数列的前n项和，若其中｛an｝成等差数列，｛bn｝成等比数列，则可采用推导等比数列求和公式的方法，即错位相减法，此方法体现了化归思想.
a1
【例7】设等差数列｛an｝的前n项和为Sn，且Sn=（岂」）2,
n€N*,若bn=（—1）n•Sn,求数列｛bn｝的前n项和Tn・
分析求｛bn｝的前n项和，应从通项bn入手，关键在于求｛an｝的前n项
和Sn,而由已知只需求｛an｝的通项an即可.
a1
解法一•-｛an｝是等差数列，Sn=（^—）2
a1
当n=1时，a1=（冷）2解得a1=1
a1
当n=2时，a1+a2=）2解得a2=3或a2=—1
2
a1
当n=3时，a1+a2+a3=（）2，由a2=3，解得a3=5或a3=
2
—3，由a2=1，解得a3=1.
ai
又Sn=（—）>0，二a2=—1,a3=—3,a?
=1（舍）
即a〔=i,a2=3,a3=5,「.d=2
an=1+2（n—1）=2n—1
Sn=1+3+5+・・・+（2n—1）=n
bn=（—1）n・Sn=（—1）「n2
Tn=—12+22—32+42—…+（—1）n•n2
当n为偶数时，即n=2k,k€N*
Tn=（—12+22）+（—32+42）+•••+[—（2k—1）2+（2k）2]
=3+7+-+（4k—1）
=[3+（4k1）]•k
=2
=（2k+1）k
=n（n1）
=2
当n为奇数时，即n=2k—1,k€N*
Tn=—12+22—32+42—…—（2k—1）2
=—12+22—32+42—…一（2k—1）2+（2k）2—（2k）2
=（2k+1）k—（2k）2
=—k（2k—1）
n（n1）
=2
Tn=（-1）n•“；1）n€N*
a1=1
（蔦
a1
解法二取门=1,贝Va1=（—）2；
12
•an丰—1…an=2n—1以下冋解法一.
说明本题以“等差数列”这一已知条件为线索，运用方程思想，求数列
｛an｝的通项an，在求数列｛bn｝的前n项和中，通过化简、变形把一般数列的求
和问题转化为等差数列的求和问题.由于（一1）n的作用，在变形中对n须分两
种情况讨论
1
项数为3b—3a+1,其和S=，（3b—3a+1）（a+b）
其中，可约分数是a,a+1,a+2，…，b
1
其和S'=^（b—a+1）（a+b）
故不可约分数之和为
S—S'=2（a+b）[（3b—3a+1）—（b—a+1）]
=b2一a2
解法
...$=土+沁+心+沁++3b2
3333
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