关于万仙山郭亮村垃圾箱公共卫生间合理优化的建模论文.docx
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关于万仙山郭亮村垃圾箱公共卫生间合理优化的建模论文
数学与信息科学系
社
会
实
践
论
文
院系：
数学与信息科学系
团队名称：
万仙山景区公共设施
调查优化小组
时间：
2013年8月10日
我的中国梦专业实践
关于万仙山郭亮村垃圾箱、公共卫生间合理优化的建模论文
实践队员：
彭先耀杨欣怡贾真珍辛茹指导老师：
王仁举
摘要
本文研究的是解决目前新乡市万仙山局部区域垃圾箱和公共卫生间位置的布局问题，以解决在满足垃圾箱需求的同时，达到垃圾箱设置投资及数量最少和垃圾箱设置地点最合理的目标。
再者，通过调查研究公共厕所的位置，进行优化归置以达到无论是客流量多还是少都能达到最佳“光顾率”的目标。
为了解决这些问题，本文建立了“郭亮村垃圾箱及卫生间配置方案的评价模型”，还建立了“最优规划模型”对景点内垃圾箱及卫生间进行最优化配置，给出优化方案，以达到环境保护的目的。
在解决本问题前我们通过实地考察和问卷调查的方法得出万仙山郭亮村景点内的垃圾箱及卫生间的布局现状图（如图1）。
针对我们提出的问题一：
对现行的垃圾箱和卫生间的摆放做出评价。
通过引入服务满足率
、服务范围覆盖率
以及服务范围重叠率
三个参数评价了现行的垃圾箱及卫生间的配置方案。
最后得出结论为垃圾箱的配置方案是某些区域的垃圾箱数量不足，为游客带来了一些不便，而有一些区域数量又过多，造成了浪费。
针对问题二：
垃圾箱的位置摆放和数量控制的优化模型和优化方案，我们首先用Matlab软件求解出了各区段内所需配置的垃圾箱数目，然后根据问题一中提出的三个参数，具体分析每一区段的情况，确定了每一路段的垃圾箱的摆放位置。
从建立的垃圾箱需求模型
（1）
得：
①路段设8个垃圾箱，②路段应设4个垃圾箱，③路段应设3个垃圾箱，④路段设3个垃圾箱。
再应用第一问中得到的评价模型对第二问中得到的方案进行评价，得出最合理的配置方案。
针对问题三：
卫生间的位置摆放和数量控制的优化模型和优化方案。
我们通过调查得到的各区域的人流量及游客
对卫生间的需求率
，算出该地区设置卫生间的最佳数量
，从而达到卫生间的最佳配置为：
①路段设4个卫生间，②路段应设2个卫生间，③路段应设2个卫生间，④路段设1个卫生间。
再应用第一问中得到的评价模型对第三问中得到的方案进行评价，得出最佳的配置结果。
关键词：
服务半径；服务满足率；服务范围覆盖率；服务范围重叠率；人流密度；
人均垃圾携带量
一、问题提出
当今时代科技飞速进步，社会经济高速发展，但是一些地方的环境却遭受着极大程度的破坏，近年来随着我们国家经济实力的提升和环境问题的日益凸显，政府和人民群众都十分重视环境保护问题。
垃圾箱和公共卫生间是自然旅游景区里一道独特的风景线，垃圾箱和卫生间的数量及其摆放地点对于服务游客和美化环境都有着非常重要的作用。
假期中，我们通过对位于新乡市辉县的万仙山郭亮旅游景区实地调查研究，发现此景区内的垃圾箱和卫生间的摆设有很多不合理的地方，很多垃圾箱只是简单的用石块垒起来的，有些垃圾箱口太狭小不易扔垃圾，相应的提示标语极度缺少，难以达到高效服务于游客的效果。
本文中，我们根据所学的知识，仅对垃圾箱和卫生间的摆放做研究讨论，并给出优化方案，已达到对环境保护及服务满足率更佳的目的。
我们提出了三个问题：
问题一：
对现行的垃圾箱和卫生间的摆放做出评价；
问题二：
垃圾箱的位置摆放和数量控制的优化模型和优化方案；
问题三：
卫生间的位置摆放和数量控制的优化模型和优化方案；
据我们调查分析万仙山，垃圾箱的数量大量不足，并且布置不是十分合理，有的区域放置数量较多（如吃饭点），而有的垃圾箱之间相距很远，使用起来很不方便。
很多人都认为垃圾箱的摆放位置不够合理。
而环卫工人不是定期打扫，而是直接就地焚烧。
因此本文根据所给的信息从万仙山郭亮村的实际情况出发，以经济，环保，合理为目标，建立了关于景点的垃圾箱及长椅的最优化配置问题的数学模型，包括在垃圾箱摆放点考虑每天人流量和垃圾总体积，对现有的垃圾箱和长椅的配置方案做出了具体的评价，同时在论文最后还指出了本方案的优点和不足之处。
二、问题分析
为了研究万仙山郭亮旅游景区的垃圾箱和长椅的合理配置，我们首先在XX地图里找到郭亮旅游景区的地图，并进行实地考察，通过分析郭亮旅游景区的地图，针对区域Ⅰ，在郭亮旅游景区内，可绕行一周，由游客中心出发，一路向前经过汉柳至鸳鸯石（此路段记为①），再经过喊泉到达瑶池（此段路程记为②），然后由上山的悬崖山道至红龙洞，再到白龙洞（此段记为③），最后一路下山至鸳鸯石（此段为④），返回出发点。
由于各路段的长度和地理环境不同，垃圾箱的数量和长椅数量是有很大不同的，应当分别考虑。
如图1（未优化）：
图1
说明：
区域划分如图Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ区，图中蓝色点代表垃圾箱，Ρ代表卫生间。
1、对问题一的具体分析：
问题一要求建立数学模型对我们新乡万仙山现行的垃圾箱和卫生间的配置方案做出评价。
一个好的垃圾箱配置方案首先应当有足够大的覆盖率，即在景点的每一条主要道路上均有垃圾桶的分布，以方便游客使用。
在此基础上应当尽量减少垃圾箱的数量，以减少成本，充分利用每一个垃圾箱，但又不能使垃圾箱过少而使得某个垃圾箱不能容纳周围所有的垃圾，或者游客要走过很长的路去扔垃圾（即覆盖率不够高）。
因此一个好的方案应当在一定程度上做到两者兼顾。
卫生间的分布将影响着游客的满意度，一个好的卫生间的分布方案将决定景点游客的数量。
因此我们建立了客观的评价模型对现有的垃圾箱和卫生间的分布进行了评价。
2、对问题二的具体分析：
由以上的分析可知，应当建立一个模型求解出一个最优的配置方案使得：
对每一区域上的垃圾箱的数量应当足够这片区域上所产生的所有（或尽量多的）垃圾；而垃圾箱的摆放则应方便游客，以免行人需要走很长一段路去扔垃圾。
每一区域的垃圾量与该区域的人流量和人均垃圾的携带量有关。
所以应当在具体分析该区域的人流量和人均垃圾的携带量的基础上计算出该区域所需的垃圾箱数，然后参照问题一中的标准得到每一个垃圾箱的具体摆放地点。
3、对问题三的具体分析：
由以上的分析可知，需要建立一个模型求解出一个最优的配置方案使得：
对每一块景点卫生间的数量应当足够满足游客在游览时需求，因此需要我们再次优化模型，在现有优化模型的基础上对长椅的分布进行更加合理的规划。
三、模型假设
1.为了方便起见，假设垃圾箱都摆放在路边。
2.不考虑节假日等因素造成的垃圾量的变化。
3.不考虑垃圾的分类。
4.垃圾的投放量均用体积描述。
5．假设垃圾箱中的垃圾每天清理一次。
6．假设每个人将垃圾扔进垃圾箱的机率都是等同的。
7.清洁工每天清理垃圾次数恒定，清理时间固定，每天垃圾的总重量一定。
8.假设景点现有垃圾箱只有一种，其最大容量为75L，垃圾箱的填充系数恒定为0.8。
9.假设人们只在8:
00am-18:
00pm时间段在景点活动。
10.每个路段的产生的垃圾都是均匀分布的（在分段时将近似的垃圾产生均匀的一段路划为一段）。
四、符号说明
符号
符号说明
T
垃圾箱的清理周期（指每隔
天垃圾箱将清空一次）
v
垃圾箱的最大容量
第
路段垃圾箱的总个数
W
垃圾箱服务能力
第
路段垃圾的产生量
第
路段人流密度
第
路段人均携带垃圾量
第
路段相邻两个最近垃圾箱之间的距离
y
第
路段一个垃圾箱为景区服务的面积
ρ
垃圾箱填充系数
第
路段卫生间的总个数
η
卫生间的需求率
a
一个卫生间可容纳人数（取4人）
服务满足率
五、模型建立与求解
（1）问题1的模型
由上述的问题分析,为了更好的描述垃圾箱的覆盖程度,首先引入垃圾箱服务半径的概念,某垃圾箱的服务半径是指：
经过以该垃圾箱为圆心,
为半径的圆内的行人都可将携带的垃圾丢入该垃圾箱内。
例如在Ⅰ区，由于假设垃圾箱都摆放在路的两旁，行人只在路上行走，故垃圾箱的服务范围即为以垃圾箱为中点，长度为2R的线段，如图2所示，线段AB即为垃圾箱a的服务范围，AB长为2R。
图2
R越大，则代表该垃圾箱服务的范围越大，行人需要走更长的路去丢垃圾，越不方便。
为了达到一定的方便程度，我们通过调查得到，垃圾箱的服务半径为100米大多数人认为是较为方便的，本文称为最佳服务半径。
一旦垃圾箱的服务半径超过100米，将会给行人带来不便。
对于每一个垃圾箱而言，由于容积有限，造成垃圾箱能够容纳的垃圾量有限，本文将垃圾箱能容纳的最大垃圾量定义为服务能力，记为w，w=vρ,其中为w垃圾箱的容积，ρ为垃圾箱的填充系数（垃圾箱不可能所有的空间都能够用来盛垃圾，一般情况下，0.7<ρ<0.9，本文中取0.8）。
各路段景点的垃圾量是互不相同的，而某处的垃圾量与经过此处的人流量和每一个人携带的垃圾量有关，为了更方便的分析问题，可将景区分四个路段进行讨论研究（具体区域划分结果参考附录），对于某一路段而言，假设其单位时间（本文中取一小时为单位时间）内经过的人数是一定的，称为人流密度，记为
；平均每人单位时间内携带的垃圾量也是一定的，记为
（取
=1）。
调查知道每一路段的游客量在不同的时间段是不同的。
见表1：
表1
时间段
7:
00am-9:
00am
9:
00am-12:
00am
12:
00am-6：
00pm
①路段
200
250
100
②路段
30
90
20
③路段
20
50
10
④路段
10
50
20
对于
，为了方便起见，取
=1。
引入了上述的变量之后，便可以计算出每一条道路上垃圾箱的一个清理周期T内的垃圾产生量
，
。
由于每一段道路上垃圾箱的数目有限，而每一个垃圾箱的服务能力有限，有可能该道路的垃圾箱不能承载该道路在一个清理周期内所产生的所有垃圾，故引入服务满足率
，对第
路段:
（2）
易知,
当
时,表示该道路能够容纳道路上一周期内所产生的所有垃圾，此时效果最理想。
接下来，为描述垃圾箱服务范围的覆盖程度，这里引入覆盖率
。
对于第i段道路:
（3）
易知,
时,覆盖程度达到100％，此时覆盖效果最好。
由于相邻的垃圾箱的服务范围可能会发生重叠,造成垃圾箱的利用率不够高，为了描述它，我们继续引入重叠率。
对于第i区域：
（4）
易知，当
时，所有垃圾箱的服务范围均不发生重叠，此时每一个垃圾箱都达到了最大利用率，没有产生浪费。
至此，我们已经得到了评价景点垃圾箱配置方案的所有必要参数。
在评价景点垃圾箱的配置方案时，如果优先考虑便捷程度，可以认为，每一个垃圾箱的服务半径均为便捷服务半径（本文中取其值为100米）不会给行人带来不便。
下面举例说明上述三个参数的计算。
按图2所示计算：
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
运用上述定义，计算出每一区域的服务满足率
，垃圾箱的服务覆盖率
，垃圾箱的服务范围重叠率
，计算结果如下表2所示:
表2
指标
①路段
0.2727
0.4615
/
②路段
1.0714
0.6667
/
③路段
0.6250
0.2222
/
④路段
0.6250
0.2857
/
分析上述结果可知，只有②路段的服务满足率足够高，其他路段的服务满足率都不佳，某些区域的显然垃圾箱的数目不足（如①路段）；整体覆盖率不高，但①路段的覆盖率显然不够；虽然垃圾箱服务范围没有发生重叠（‘/’表示无数据，同下表），但由于垃圾箱间距较远，所以其利用率较低。
根据垃圾箱的评价方法，我们对景点卫生间状况进行的评价结果见下表3：
表3
指标
①路段
0.0159
/
/
②路段
0.0286
/
/
③路段
/
/
/
④路段
/
/
/
由表3可以看出各路段卫生间的设置严重不足。
（2）问题2的模型
对于i路段，为使得该区域上的垃圾箱能够容纳该该区域上一个清理周期内产生的所有垃圾，易知第i区域所需的最少垃圾箱数为：
（12）
其中
，
，（13）
故有：
（14）
通过计算得出各区域布置的最佳垃圾箱数，如下表4所示：
表4
指标
①路段
200250100
1L
8
②路段
309020
1L
4
③路段
205010
1L
3
④路段
105020
1L
3
得到每一路段所需的垃圾箱数之后，可根据每一路段的不同情况确定每个垃圾箱的具体摆放位置。
为了使重叠率尽量小，而覆盖率尽量大，应使每一个垃圾箱尽量分散摆放。
某些位置虽然需要的垃圾箱数较少，但由于道路较长，为了提高垃圾箱服务的覆盖率，可适当增加一些垃圾箱数，在①路段，按原便捷半径计算，应置6个垃圾箱，但由于道路长，游客较多，所以适当的增加了两个垃圾箱，若此，在此路段上每两个垃圾箱间的距离为162.5米。
而在③路段，由于游客量较少，若置四个垃圾箱，垃圾箱的服务能力（计算得2.5）有明显过剩部分，所以，置三个垃圾箱，即合理又经济。
根据这些原则，我们可以确定每一个垃圾箱的具体摆放位置。
对优化后的模型进行评价，得到下表5结果：
表5
指标
①路段
0.7273
1
0
②路段
1.4286
1
0
③路段
1.875
1
0
④路段
1.875
1
0
分析比较优化前与优化后的模型评价，容易得出优化后的景区的垃圾箱的配置更为合理。
（3）问题3的模型
下面，进行对卫生间模型建立及求解，由于四个路段人流量的差别较大所以应当分别考虑。
对于i区域，为使得该区域上的卫生间需求量取决于该区域需要卫生间总人数及每个卫生间可容数，经统计得出每个区域每个时间段游客对卫生间需求率如下表6：
表6
T
η
i
7am-9am
9am-12am
12am-6pm
①路段
0.3
0.2
0.3
②路段
0.2
0.2
0.1
③路段
0.2
0.1
0.1
④路段
0.1
0.1
0.1
易知第i路段所需卫生间：
假设游客平均进卫生间需要10分钟，根据不同路段的实际情况和时间的不同，最终得出各区域布置的最佳卫生间数如表7，
表7
指标
①路段
4
②路段
2
③路段
2
④路段
1
得到每一路段所需的卫生间数，根据每一路段的不同情况确定每个卫生间设置位置。
为了使某一路段的卫生间能满足游客的需求，且根据垃圾箱的摆放模型，设置卫生间的位置，使得每个卫生间附近都有垃圾箱，考虑到景区的地形地貌，对优化后的卫生间设置模型进行评价，结果见下表8：
表8
指标
①路段
0.7869
1
0
②路段
0.56
1
0
③路段
0.48
1
0
④路段
0.9
1
0
由评价表可以得出现在的卫生间设置方案为合理，优化后的景区设施设置图见附录。
六、模型的评价与推广
1、模型的优点：
该优化模型有效地解决了满足垃圾箱需求的同时达到垃圾箱设置数量最少、垃圾箱设置地点最优的目标，解决新乡市万仙山建设投资过高而效益低下的两难困境。
若政府按照这种方案进行垃圾箱配置，不仅可以达到美化景点的，还能为政府省去一笔投放在垃圾箱上的资金。
所以这对万仙山的建设有很强的指导性作用。
本模型具有较强的可转移性，问题一中引入的模型，能够全面的评价景点内原有垃圾箱和卫生间设置方案优劣。
且可以迁移到任意地点垃圾箱的配置方案评价中，甚至可以推广到其他公用设施的配置方案评价中（只需要知道该公用设施相应的服务半径和服务能力即可）。
该模型从各道路人流量、垃圾日产量、环境的美化达到垃圾箱的最优配置，再联系实际情况对其进行优化，进而实现人性化的配置，体现校园文化。
2、模型的优化：
（1）本模型简单易懂，具有较好的通用性与适应性。
（2）模型解决了复杂问题。
（3）根据实际情况，在程序上加些约束条件，使得程序更加紧密，结果会得到进一步优化。
3、模型的缺点：
整个过程中需要处理大量的数据量，用该模型虽易懂，但涉及的因素少，可能结果不够优化。
尽管联系了实际情况，但在有些地方仍然显得有些过于理想化，从而给实际的配置工作中增添一些工作量。
本模型的评价和配置方案都可以精确到每一条道路上，准确性较高。
但同时，由于对每一条路都进行分析，造成模型求解过程较为繁杂。
模型中引入的人流密度系数和人均垃圾携带系数，都需要通过大量的统计分析才能得到较准确的值，这又增加了估计参数时的工作量。
4、模型的推广：
根据实际情况，在程序上加些约束条件，使得程序更加紧密，结果会得到进一步优化。
问题一中为了简化问题，本文假设服务半径是相同的，实际上，垃圾箱的服务半径不仅可以代表方便程度，也可以在一定程度上反映人的环保意识，若服务半径很大，则代表行人总是在看见垃圾箱之后才丢弃垃圾，而不是在短距离内看不到垃圾箱，就将垃圾随手扔掉。
于是可根据不同地点不同人群，调查得到不同的服务半径，使模型更符合实际。
另外，假如服务半径并不总是便捷服务半径，则可以在引入一个参数，来评价不同位置垃圾箱的方便程度。
景点的游客数量的增加对于垃圾的处理也就显得愈发重要，而垃圾箱在其中扮演了一个重要的角色。
从而也使得垃圾箱在景点内的配置问题成了政府所必须面对的现实。
而本方案在联系实际的基础上结合数学的应用为该配置问题提供了很好的解决思路。
通过考虑校园内每一通道的人流量、垃圾的日产量、实际线路的布置和环境的美化达到垃圾箱的最优配置，而且本方案不仅适合于景点还可以推广到各种居住小区和校园为社会的环境美化提供帮助。
不仅如此，该模型还适用于其他设施的布局，如：
路灯、广告牌等等。
可以说这个方案的实用的价值是很高的，是一个值得推广的方案
七、参考文献
[1]杨启帆,方道远.《数学建模》.杭州:
浙江大学出版社,1999-8.
[2]刘志峰,宋守许,郑学慧,等.大学生环境意识调查及结果分析[J].合肥工业大学学报（社会科学版）,2003,17（4）:
11-14.
[3]姜启源,谢金星,数学建模案例选集,北京:
高等教育出版社,2006.
[4]吴建国,数学建模案例精编,北京:
中国水利水电出版社,2005.
[5]刘广青,侯吉聪,王凤宇,等.美国城市生活垃圾处理模式分析及思考[J].中国科技信息,2006（12）:
30-32.
[6]姜启源等，数学模型，北京：
高等教育出版社，2010
[7]颜辉武等，基于GIS的城市公共设施规划分析模型的研究，苏州城建环保学院学报，2001第14卷第2期12-15
[8]Autocad2007简明教程
附录：
优化后的景区内垃圾箱及卫生间的位置简图：
（红点代表垃圾箱，P代表卫生间）
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