概率论与数理统计英文版总结材料docx.docx
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实用标准
SampleSpace样本空间
Thesetofallpossibleoutcomesofastatisticalexperimentiscalledthesample
space.
Event事件
Aneventisasubsetofasamplespace.
certainevent（必然事件）：
ThesamplespaceSitself,iscertainlyanevent,whichiscalledacertainevent,
meansthatitalwaysoccursintheexperiment.
impossibleevent（不可能事件）：
Theemptyset,denotedby,isalsoanevent,calledanimpossibleevent,
meansthatitneveroccursintheexperiment.
Probabilityofevents（概率）
Ifthenumberofsuccessesinntrailsisdenotedbys,andifthesequenceof
relativefrequenciess/nobtainedforlargerandlargervalueofnapproachesa
limit,thenthislimitisdefinedastheprobabilityofsuccessinasingletrial.
“equallylikelytooccur”------probability（古典概率）
IfasamplespaceSconsistsofNsamplepoints,eachisequallylikelytooccur.
AssumethattheeventAconsistsofnsamplepoints,thentheprobabilityp
thatAoccursis
pP（A）
n
N
Mutuallyexclusive（互斥事件）
文档
实用标准
Definition2.4.1EventsA1,A2,L,Anarecalledmutuallyexclusive,if
AiIAj,ij.
Theorem2.4.1IfAandBaremutuallyexclusive,then
P（AUB）P（A）P（B）（2.4.1）
Mutuallyindependent事件的独立性
TwoeventsAandBaresaidtobeindependentif
P（AIB）P（A）P（B）
OrTwoeventsAandBareindependentifandonlyif
P（B|A）P（B）.
ConditionalProbability条件概率
Theprobabilityofaneventisfrequentlyinfluencedbyotherevents.
DefinitionTheconditionalprobabilityofB,givenA,denotedbyP（B|A）,is
definedby
P（AIB）
P（B|A）
P（A）
ifP（A）0.（2.5.1）
Themultiplicationtheorem乘法定理
If
A1,A2,L
Ak
areevents,then
P（A1IA2I
L
Ak）
P（A1）P（A2|A1）P（A3|A1IA2）L
P（Ak|A1I
A2IL
IAk1）
If
the
events
A1,A2,L
Ak
are
independent,
then
for
anysubset
{i1,i2,L,im}
{1,2,L
k},
P（Ai1
IAi2
IL
Aim）
P（Ai1
）P（Ai2
）L
P（Aim）
文档
实用标准
（全概率公式totalprobability）
Theorem2.6.1.IftheeventsB1,B2,L,Bkconstituteapartitionofthe
samplespaceSsuchthatP（Bj）0forj1,2,L,k,thanforanyevent
AofS,
kk
P（A）P（AIBj）
j1
P（Bj）P（AIBj）
（2.6.2）
j1
（贝叶斯公式Bayes’formula.
）
Theorem2.6.2Ifthe
events
B1,B2,L,Bk
constitute
a
partition
of
the
samplespaceSsuchthat
P（Bj）
0forj1,2,L
k,thanforany
eventAofS,
P（A）0,
P（Bi|A）
P（Bi）P（A|Bi）
.
for
i
1,2,L
k
k
P（Bj）P（A|Bj）
j1
（2.6.2）
ProofBythedefinitionofconditionalprobability,
P（BiIA）
P（Bi|A）
P（A）
Usingthetheoremoftotalprobability,wehave
P（Bi|A）k
P（Bi）P（A|Bi）
i1,2,L,k
P（Bj）P（A|Bj）
j1
1.randomvariabledefinition
文档
实用标准
Definition3.1.1Arandomvariableisarealvaluedfunction
definedonasamplespace;i.e.itassignsarealnumbertoeachsamplepointinthesamplespace.
2.Distributionfunction
Definition3.1.2LetXbearandomvariableonthesample
spaceS.Thenthefunction
F（X）P（Xx）.xR
iscalledthedistributionfunctionofX
NoteThedistributionfunctionF（X）isdefinedonreal
numbers,notonsamplespace.
3.Properties
ThedistributionfunctionF（x）ofarandomvariableXhasthefollowingproperties:
（1）F（x）isnon-decreasing.
Infact,ifx1x2,thentheevent{Xx1}isasubsetofthe
event{Xx2},thus
F（x1）P（Xx1）P（Xx2）F（x2）
（2）F（）limF（x）0,
x
F（）limF（x）1.
x
（3）Foranyx0R,limF（x）F（x00）F（x0）.Thisistosay,the
xx00
distributionfunctionF（x）ofarandomvariableXisright
continuous.
文档
实用标准
3.2DiscreteRandomVariables
离散型随机量
Definition
3.2.1
A
random
variable
Xiscalled
a
discrete
random
variable
if
ittakes
valuesfrom
afinitesetor,
aset
whoseelementscanbewrittenasasequence
{a1,a2,L
an,L}
geometricdistribution
（几何分布）
X
1
2
3
4
⋯k
⋯
P
p
q1
q2
q3
qk
－
p
p
p
1p
⋯
Binomialdistribution
（二项分布）
Definition
3.4.1
The
number
Xof
successes
in
n
Bernoulli
trialsis
called
a
binomial
random
variable.The
probability
distribution
of
this
discrete
random
variable
is
called
the
binomialdistribution
withparameters
nand
p,denotedby
B（n,p）.
poissondistribution
（泊松分布）
Definition
3.5.1
Adiscrete
random
variable
X
is
calleda
Poisson
random
variable,
ifittakes
values
from
the
set
{0,1,2,L},andif
k
P（X
k）
p（k;）
e
0
k
0,1,2,L
k!
（3.5.1）
Distribution（3.5.1）iscalledthePoissondistributionwith
文档
实用标准
parameter
denotedby
P（
）.
Expectation（mean）
数学期望
Definition
3.3.1
Let
X
be
adiscrete
randomvariable.
The
expectation
or
mean
of
X
isdefinedas
E（X）
xP（X
x）
（3.3.1）
x
2．Variance
方差
standarddeviation
（标准差）
Definition3.3.2
Let
X
beadiscreterandomvariable,having
expectation
E（X）
.Thenthevariance
ofX,denoteby
D（X）
isdefinedastheexpectationoftherandomvariable
（X
）2
D（X）
E
（X
）2
（3.3.6）
Thesquarerootofthevariance
D（X）,denoteby
D（X）,
2
1
iscalledthe
standard
deviation
of
X:
D（X）
EX
2
（3.3.7）
probabilitydensityfunction概率密度函数
Definition4.1.1Afunctionf（x）definedon（,）iscalledaprobability
densityfunction（概率密度函数）if:
（i）f（x）0foranyxR;
（ii）f（x）isintergrable（可积的）on（,）andf（x）dx1.
文档
实用标准
Definition4.1.2
Letf（x）beaprobabilitydensityfunction.IfXisarandomvariablehaving
distributionfunction
x
F（x）P（Xx）f（t）dt,（4.1.1）
thenXiscalledacontinuousrandomvariablehavingdensityfunctionf（x）.Inthis
case,
x2
P（x1Xx2）
f（t）dt.
（4.1.2）
x1
5.Mean（均值）
Definition4.1.2LetXbeacontinuousrandomvariablehavingprobabilitydensityfunctionf（x）.Thenthemean（orexpectation）ofXisdefinedby
E（X）xf（x）dx,（4.1.3）
6.variance方差
Similarly,thevarianceandstandarddeviationofacontinuousrandomvariableXis
definedby
2D（X）E（（X）2）,（4.1.4）
WhereE（X）isthemeanofX,isreferredtoasthestandarddeviation.
文档
实用标准
Weeasilyget
2
D（X）
x2f（x）dx
2.
（4.1.5）
.
4.2UniformDistribution
均匀分布
Theuniformdistribution,withtheparameters
aand
b,hasprobabilitydensity
function
1
forax
b,
f（x）b
a
0
elsewhere,
4.5ExponentialDistribution指数分布
Definition
4.5.1AcontinuousvariableXhasanexponentialdistributionwithparameter
（
0）
ifitsdensityfunctionisgivenby
1e
x
for
x
0
f（x）
（4.5.1）
0
for
x
0
Theorem4.5.1ThemeanandvarianceofacontinuousrandomvariableXhaving
exponentialdistributionwithparameterisgivenby
E（X）,D（X）2.
文档
实用标准
4.3NormalDistribution正态分布
1.Definition
Theequationofthenormalprobabilitydensity,whosegraphisshowninFigure
4.3.1,is
f（x）
1
e（x）2/22
x
2
4.4NormalApproximationtotheBinomialDistribution（二
项分布）
X~B（n,p）,nislarge（n>30）,piscloseto0.50,
X~B（n,p）N（np,npq）
4.7Chebyshev’sTheorem（切比雪夫定理）
Theorem4.7.1Ifaprobabilitydistributionhasmeanμandstandarddeviationσ,
theprobabilityofgettingavaluewhichdeviatesfromμbyatleastkσisatmost
1
k2.Symbolically,
P（|X
|
k）
1
k2.
Jointprobabilitydistribution
（联合分布）
In
thestudy
ofprobability,
givenatleasttworandom
variablesX,Y,...,thataredefinedonaprobabilityspace,the
joint
probability
distribution
for
X,Y,...isaprobability
文档
实用标准
distributionthatgivestheprobabilitythateachofX,Y,...fallsinanyparticularrangeordiscretesetofvaluesspecifiedforthatvariable.
5.2Conditionaldistribution条件分布
Consistentwiththedefinitionofconditionalprobabilityof
eventswhenAistheeventX=xandBistheeventY=y,the
conditionalprobabilitydistributionofXgivenY=yisdefined
as
pX（x|y）
p（x,y）forallxprovided
pY（y）
pY（y）0.
5.3Statisticalindependent随机变量的独立性
Definition5.3.1Supposethepair{X,Y}ofrealrandomvariableshasjointdistributionfunctionF（x,y）.IftheF（x,y）obeytheproductrule
F（x,y）FX（x）FY（y）forallx,y.
thetworandomvariablesXandYareindependent,orthepair{X,Y}isindependent.
5.4CovarianceandCorrelation协方差和相关系数
Wenowdefinetworelatedquantitieswhoserolein
characterizingtheinterdependenceofXandYwewantto
examine.
Definition5.4.1SupposeXandYarerandomvariables.Thecovarianceofthepair{X,Y}is
Cov（X,Y）E[（XX）（YY）].
Thecorrelationcoefficientofthepair{X,Y}is
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