全国高中数学联合竞赛试题与解答A卷.docx

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全国高中数学联合竞赛试题与解答A卷

20XX年全国高中数学联合竞赛一试（A卷）

说明：

1.评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．

2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次给分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分一个档次，不要增加其他中间档次．

一、填空题：

本大题共8小题，每小题8分，共64分

1．设实数

满足

，则

的取值范围是

2．设复数

满足

，

，其中

是虚数单位，

分别表示

的共轭复数，则

的模为

3．正实数

均不等于1，若

，

，则

的值为

4．袋子A中装有2张10元纸币和3张1元纸币，袋子B中装有4张5元纸币和3张1元纸币．现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则A中剩下的纸币面值之和大于B中剩下的纸币面值之和的概率为

5．设P为一圆锥的顶点，A，B，C是其底面圆周上的三点，满足

=90°，M为AP的中点．若AB=1，AC=2，

，则二面角M—BC—A的大小为

6．设函数

，其中

是一个正整数．若对任意实数

，均有

，则

的最小值为

7．双曲线C的方程为

，左、右焦点分别为

、

，过点

作直线与双曲线C的右半支交于点P，Q，使得

=90°，则

的内切圆半径是

8．设

是1，2，…，100中的4个互不相同的数，满足

则这样的有序数组

的个数为

二、解答题：

本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

9．（本题满分16分）在

中，已知

．求

的最大值．

10．（本题满分20分）已知

是R上的奇函数，

，且对任意

，均有

．

求

…

的值．

11．（本题满分20分）如图所示，在平面直角坐标系

中，F是

轴正半轴上的一个动点．以F为焦点，O为顶点作抛物线C．设P是第一象限内C上的一点，Q是

轴负半轴上一点，使得PQ为C的切线，且｜PQ｜=2.圆

均与直线OP相切于点P，且均与轴相切．求点F的坐标，使圆

与

的面积之和取到最小值．

20XX年全国高中数学联合竞赛加试

一、（本题满分40分）设实数

…

满足

…

。

求

…

的最大值。

二、（本题满分40分）如图所示，在

中，X，Y是直线BC上两点（X，B，C，Y顺次排列），使得

。

设

，

的外心分别为

，

，直线

与AB，AC分别交于点U，V。

证明：

是等腰三角形。

三、（本题满分50分）给定空间中10个点，其中任意四点不在一个平面上，将某些点之间用线段相连，若得到的图形中没有三角形也没有空间四边形，试确定所连线段数目的最大值。

四、（本题满分50分）设

与

均是素数，

。

数列

的定义为

，

，

，…。

这里

表示不小于实数

的最小整数。

20XX年全国高中数学联合竞赛一试（A卷）

参考答案及评分标准

说明：

3.评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．

4.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次给分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分一个档次，不要增加其他中间档次．

一、填空题：

本大题共8小题，每小题8分，共64分

1．设实数

满足

，则

的取值范围是

答案：

解：

由

可得

，原不等式可变形为

即

，所以

．又

，故

．

2．设复数

满足

，

，其中

是虚数单位，

分别表示

的共轭复数，则

的模为

答案：

解：

由运算性质，

，因为

与

为实数，

，故

，

，又

，所以

，从而

因此，

的模为

．

3．正实数

均不等于1，若

，

，则

的值为

答案：

解：

令

，

，则

，

，

条件化为

，

，由此可得

，因此

．

4．袋子A中装有2张10元纸币和3张1元纸币，袋子B中装有4张5元纸币和3张1元纸币．现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则A中剩下的纸币面值之和大于B中剩下的纸币面值之和的概率为

答案：

解：

一种取法符合要求，等价于从A中取走的两张纸币的总面值

小于从B中取走的两张纸币的总面值

，从而

．故只能从A中国取走两张1元纸币，相应的取法数为

．又此时

，即从B中取走的两张纸币不能都是1元纸币，相应有

种取法．因此，所求的概率为

．

5．设P为一圆锥的顶点，A，B，C是其底面圆周上的三点，满足

=90°，M为AP的中点．若AB=1，AC=2，

，则二面角M—BC—A的大小为

答案：

解：

由

=90°知，AC为底面圆的直径．设底面中心为O，则

平面ABC，易知

，进而

．

设H为M在底面上的射影，则H为AO的中点．在底面中作

于点K，则由三垂线定理知

，从而

为二面角M—BC—A的平面角．

因

，结合

与

平行知，

，即

，这样

．故二面角M—BC—A的大小为

．

6．设函数

，其中

是一个正整数．若对任意实数

，均有

，则

的最小值为

答案：

16

解：

由条件知，

其中当且仅当

时，

取到最大值．根据条件知，任意一个长为1的开区间

至少包含一个最大值点，从而

，即

．

反之，当

时，任意一个开区间均包含

的一个完整周期，此时

成立．综上可知，正整数的最小值为

．

7．双曲线C的方程为

，左、右焦点分别为

、

，过点

作直线与双曲线C的右半支交于点P，Q，使得

=90°，则

的内切圆半径是

答案：

解：

由双曲线的性质知，

，

．

因

=90°，故

，因此

从而直角

的内切圆半径是

8．设

是1，2，…，100中的4个互不相同的数，满足

则这样的有序数组

的个数为

答案：

40

解：

由柯西不等式知，

，等号成立的充分必要条件是

，即

成等比数列．于是问题等价于计算满足

…

的等比数列

的个数．设等比数列的公比

，且

为有理数．记

，其中

为互素的正整数，且

．

先考虑

的情况．

此时

，注意到

互素，故

为正整数．相应地，

分别等于

，它们均为正整数．这表明，对任意给定的

，满足条件并以

为公比的等比数列

的个数，即为满足不等式

的正整数

的个数，即

．

由于

，故仅需考虑

这些情况，相应的等比数列的个数为

．

当

时，由对称性可知，亦有20个满足条件的等比数列

．

综上可知，共有40个满足条件的有序数组

．

二、解答题：

本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

9．（本题满分16分）在

中，已知

．求

的最大值．

解：

由数量积的定义及余弦定理知，

．

同理得，

，

．故已知条件化为

即

．………………………………8分

由余弦定理及基本不等式，得

所以

．………………………………12分

等号成立当且仅当

．因此

的最大值是

．……………16分

10．（本题满分20分）已知

是R上的奇函数，

，且对任意

，均有

．

求

…

的值．

解：

设

=1，2，3，…），则

．

在

中取

，注意到

，及

为奇函数．可知

……………………5分

即

，从而

．……………………10分

因此

……………………20分

11．（本题满分20分）如图所示，在平面直角坐标系

中，F是

轴正半轴上的一个动点．以F为焦点，O为顶点作抛物线C．设P是第一象限内C上的一点，Q是

轴负半轴上一点，使得PQ为C的切线，且｜PQ｜=2.圆

均与直线OP相切于点P，且均与轴相切．求点F的坐标，使圆

与

的面积之和取到最小值．

解：

设抛物线C的方程是

，点Q的坐标为

，并设

的圆心分别为

．

设直线PQ的方程为

，将其与C的方程联立，消去

可知

．

因为PQ与C相切于点P，所以上述方程的判别式为

，解得

．进而可知，点P的坐标为

．于是

．

由｜PQ｜=2可得

①……………………5分

注意到OP与圆

相切于点P，所以

．设圆

与

轴分别相切于点M，N，则

分别是

的平分线，故

=90°．从而由射影定理知

结合①，就有

②……………………10分

由

共线，可得

．

化简得

③……………………15分

令

，则圆

的面积之和为

．根据题意，仅需考虑T取到最小值的情况．

根据②、③可知，

．

作代换

，由于

，所以

．于是

．

上式等号成立当且仅当

，此时

，因此结合①得，

从而F的坐标为

．………………………20分

20XX年全国高中数学联合竞赛

加试

一、（本题满分40分）设实数

…

满足

…

。

求

…

的最大值。

解：

令

…

，

由已知得，对

…，2015，均有

。

若

，则

。

……………10分

以下考虑

的情况。

约定

。

由平均不等式得

………………20分

所以

。

………………30分

当

…

时，上述不等式等号成立，且有

…

，此时

。

综上所述，所求最大值为

。

………………40分

二、（本题满分40分）如图所示，在

中，X，Y是直线BC上两点（X，B，C，Y顺次排列），使得

。

设

，

的外心分别为

，

，直线

与AB，AC分别交于点U，V。

证明：

是等腰三角形。

证法一：

作

的内角平分线交BC于点P，设三角形ACX和ABY的外接圆分别为

和

。

由内角平分线的性质知，

。

由条件可得

。

从而

即

。

…………20分

故P对圆

和

的幂相等，所以P在

和

的根轴上。

…………30分

于是

，这表明点U，V关于直线AP对称，从而三角形AUV是等腰三角形。

…………40分

证法二：

设

的外心为O，连接

，

。

过点

，分别作直线BC的垂线，垂足分别为

，作于点K。

我们证明。

在直角三角形

中，

由外心性质，

。

又

，故

。

而

分别是BC，CX的中点，所以

。

因此

这里R是

的外接圆半径。

同理

。

…………10分

由已知条件可得

，故

。

…………20分

由于

，所以

90°

。

同理

90°

。

…………30分

又因为

，故

，从而

。

这样

，即

是等腰三角形。

………………40分

三、（本题满分50分）给定空间中10个点，其中任意四点不在一个平面上，将某些点之间用线段相连，若得到的图形中没有三角形也没有空间四边形，试确定所连线段数目的最大值。

解：

以这10个点为顶点，所连线段为边。

得到一个10阶简单图G。

我们证明G的边数不超过15.

设G的顶点为

…

，共有

条边，用

表示顶点

的度。

若

对

…，10都成立，则

假设存在

满足

。

不妨设

，且

与

…

均相邻。

于是

…

之间没有边，否则就形成三角形，所以，

…

之间恰有

条边。

…………10分

对每个

，

至多与

…

中的一个顶点相邻（否则设

与

相邻，则

就对应了一个空间四边形的四个顶点，这与题设条件矛盾。

）从而

…

与

…

之间的边数至多

条。

…………20分

在

…

这

个顶点之间，由于没有三角