数学与应用数学专业学科必修课程教学大纲.docx
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数学与应用数学专业学科必修课程教学大纲
数学与应用数学专业学科必修课程教学大纲
数学分析I
一﹑说明
课程性质
本课程是专业核心课程，是学生学习分析学系列课程及数学专业其它后继课程的重要基础，也为高观点下深入理解中学教学内容所必需。
教学目的
通过本课程的学习，使学生掌握一元函数极限、连续以及微分学的内容，为学习数学分析Ⅱ、数学分析Ⅲ、及分析学系列课程（复变函数、实变函数、微分方程、泛函分析等）及数学专业其它后继课程打好基础，并自然地渗透了对学生进行逻辑和数学抽象思维的特殊训练。
教学内容
实数集与函数、数列极限、函数极限与连续函数，微分、微分中值定理及其应用、实数完备性、不定积分。
教学时数
108学时
教学方式
讲授与课堂讨论法相结合
二﹑本文
第一章实数集与函数
教学要点：
实数集的性质；有界集、上、下确界的定义与性质；确界原理；有界、无界函数的定义；单调函数的定义与性质。
教学时数：
10学时
教学内容：
§1实数（2学时）
实数及其性质；绝对值与不等式
§2数集·确界原理（4学时）
区间与邻域；有界集的定义；上确界、下确界的定义与性质；确界原理；求解集合的上、下确界
§3函数概念（2学时）
函数定义的进一步讨论；函数的表示方法；Dirichlet函数、Riemann函数的定义；复合函数的定义与性质；反函数、初等函数的定义。
§4具有某些特性的函数（2学时）
有界函数的定义；无界函数的定义；单调函数的定义与性质；奇函数、偶函数的定义与性质；周期函数的定义。
考核要求：
熟练掌握上确界、下确界的定义，会运用上、下确界的定义证明或求解集合的上、下确界；掌握确界原理的定义；能运用有界函数、无界函数的定义证明函数的有界性与无界性。
第二章数列极限
教学要点：
数列极限的定义；收敛数列的性质；单调有界原理；Cauchy收敛准则。
教学时数：
15学时
教学内容：
§1数列极限的概念（6学时）
收敛数列的
定义，邻域型定义；发散数列的定义；运用收敛数列的定义证明数列的极限；无穷小数列；无穷大数列。
§2收敛数列的性质（4学时）
收敛数列极限的唯一性；收敛数列的有界性；收敛数列的保号性；收敛数列的保不等式性；收敛数列的迫敛性；收敛数列的四则运算法则；子列的概念以及与之有关的数列收敛的充要条件。
§3数列极限存在的条件（5学时）
单调数列的定义；单调有界原理以及运用单调有界原理证明数列的收敛性；致密性定理；Cauchy收敛准则。
考核要求：
熟练掌握收敛数列的各种定义，并能熟练运用收敛数列的定义
；熟练掌握收敛数列的各个性质；熟练掌握单调有界原理、致密性定理以及Cauchy收敛准则，并能运用上述定理证明数列的收敛性。
第三章函数极限
教学要点：
各种类型函数极限的定义；单侧极限；函数极限的性质；函数极限存在的条件；两个重要极限；无穷小量与无穷大量。
教学时数：
19学时
教学内容：
§1函数极限概念（4学时）
时函数极限的定义与几何意义；
时函数极限的
定义以及几何意义；单侧极限的定义。
§2函数极限的性质（4学时）
函数极限的唯一性；局部有界性；局部保号性；保不等式性；迫敛性；四则运算法则以及上述性质的应用。
§3函数极限存在的条件（4学时）
各种类型函数极限存在的Heine归结原则；四类单侧极限的单调有界原理；函数极限的Cauchy收敛准则。
§4两个重要极限（2学时）
重要极限
的证明及应用；重要极限
的证明及应用。
§5无穷小量与无穷大量（5学时）
无穷小量、有界量的定义；无穷小量的性质；无穷小量阶的比较：
高阶无穷小量、同阶无穷小量、等价无穷小量；等价无穷小量在求极限问题中的应用；无穷大量的定义、无穷大量的性质、无穷大量与无穷小量的关系；曲线的渐近线。
考核要求：
熟练掌握函数极限的定义，并能运用定义验证函数的极限；熟练掌握函数极限的性质及其应用；掌握函数极限存在的条件，并能用其证明函数是否收敛；熟练掌握运用两个重要极限与等价无穷小量求极限的方法。
第四章函数的连续性
教学要点：
函数连续、一致连续的定义；函数的间断点；连续函数的性质以及初等函数的连续性。
教学时数：
12学时
教学内容：
§1连续性的概念（2学时）
函数在一点的连续性；间断点及其分类；区间上的连续函数。
§2连续函数的性质（6学时）
连续函数的局部性质：
局部有界性、局部保号性、四则运算法则；复合函数的连续性；闭区间上连续函数的性质：
最大、最小值定理、有界性定理、介值性定理、零点定理与一直连续性定理。
§3初等函数的连续性（4学时）
指数函数的连续性、幂函数、对数函数的连续性。
考核要求：
充分领会函连续的定义、领会一致连续的概念，能应用连续的定义分析、论证，能区分不连续点的类型。
第五章导数和微分
教学要点：
熟练掌握微分的定义、导数的定义、导数的四则运算和反函数的求导法则、复合函数的求导法则及其应用，一阶微分形式的不变性、高阶导数和高阶微分及运算法则，会应用Leibniz公式、理解和掌握参变量函数的高阶导数。
教学时数：
13学时
教学内容：
§1导数的概念（2学时）
导数产生的背景；导数的定义；单侧导数的定义以及与可导的关系；导数的几何意义。
§2求导法则（2学时）
导数的四则运算和反函数的求导法则、复合函数的求导法则及其应用、基本求导公式。
§3参变量函数的导数（2学时）
参变量函数的求导法则。
§4高阶导数（4学时）
高阶导数的定义、求函数高阶导数的Leibniz公式、参变量函数的高阶导数。
§5微分（3学时）
微分的概念；可微的几何意义；微分的基本运算法则；高阶微分；微分在近似计算中的应用。
考核要求：
会应用导数的定义、四则运算法则、反函数的求导法则和复合函数求导法则求导数和高阶导数，能综合应用各种方法求函数的导数。
第六章微分中值定理及其应用
教学要点：
微分中值定理、不定式极限；Taylor公式及其应用，函数的极值与最值、函数的凸性和拐点，函数图像讨论。
教学时数：
19学时
教学内容：
§1Lagrange中值定理和函数的单调性（4学时）
Rolle中值定理和Lagrange中值定理及其应用；单调函数和可导的关系；Darboux定理。
§2Cauchy中值定理和不定式极限（4学时）
Cauchy中值定理、定理的应用及几何意义；运用L’Hospital法则求解不定式极限。
§3Taylor公式（4学时）
带Peano型余项的Taylor公式；带Lagrange型余项的Taylor公式；Taylor公式的应用。
§4函数的极值与最大、小值（2学时）
函数极值的定义；函数极值的第一充分条件、第二充分条件以及第三充分条件；求解函数的最大、小值。
§5函数的凸性与拐点（3学时）
凸函数、凹函数的定义；函数为凸函数的充要条件、充分条件；凸函数的应用；拐点的定义。
§6函数图像的定义（2学时）
作函数图像的一般程序，根据函数的性质绘出函数图像。
考核要求：
领会微分中值定理、Taylor公式的深刻意义，能用微分中值定理进行分析、论证，能将函数展开成Taylor多项式和其余项之和，能综合使用
Hospital法则Taylor公式求函数及数列的极限，掌握函数极值与凸性的定义以及相关性质与应用，会进行函数作图。
第七章实数的完备性
教学要点：
领会实数基本定理。
教学时数：
6学时
教学内容：
§1关于实数集完备性的基本定理（4学时）
区间套定理、聚点定理和有限覆盖定理。
考核要求：
掌握实数基本定理的内容，领会实数基本定理之间的关系。
第八章不定积分
教学要点：
理解不定积分的概念、性质、运算和换元积分法、分部积分法，熟练掌握不定积分的基本公式，分部积分法和换元积分法、有理函数积分的计算、区分无理函数的积分和可化为有理函数积分的类型
教学时数：
14学时
教学内容：
§1不定积分的概念与基本积分公式（3学时）
原函数、不定积分的定义、不定积分线性性质、不定积分的基本公式。
§2换元积分法和分部积分法（5学时）
换元积分法——第一类换元积分法、第二类换元积分法，分部积分法、基本积分表。
§3有理函数和可化为有理函数的不定积分（6学时）
有理函数、有理函数的积分、可化为有理函数不定积分的情况。
考核要求：
综合应用各种方法，（包括定义、基本公式、线性性质、换元积分法、分部积分法）能计算出一般函数的不定积分
三、参考书目
1.陈纪修，於崇华，金路著，《数学分析》，高等教育出版社，2002年第1版（第5次印刷）
2.陈传璋，金福临，朱学炎，欧阳光中编，《数学分析》，高等教育出版，1990年第2版
3.吉米多维奇，《数学分析习题集》，人民教育出版社，1958年第三版
数学分析II
一﹑说明
课程性质
数学分析
（二）研究的主要内容是如何求解不定积分、定积分，如何理解和讨论级数和反常积分的敛散性，它是分析数学系列课程之一，也是其他后继课程的重要基础。
数学分析
（二）是数学与应用数学专业的基础专业课之一，在第2学期开设。
教学目的
掌握定积分的概念、可积条件，计算方法及几何意义；反常积分和级数的概念和敛散性的基本判别方法及幂级数的基本知识；初步培养具有用定积分解决实际问题的能力和敛散性的思想；为分析数学及其后继课程的学习打好必要的基础知识。
教学内容
不定积分、定积分及其应用、数项级数及其收敛判别方法、函数列与函数项级数的一致收敛性及其性质、幂级数、Fourier级数。
教学时数
108学时
教学方式
讲授法，同时注重基本理论和实际问题的密切结合
二﹑本文
第九章定积分
教学要点：
定积分的概念，定积分的思想，可积的判断方法，微积分基本定理和定积分的计算。
教学时数：
23学时
教学内容：
§1定积分的概念（4学时）
定积分的引入、定积分的定义、运用定积分的定义求函数的定积分。
§2牛顿-莱布尼茨公式（2学时）
牛顿-莱布尼茨公式；运用牛顿-莱布尼茨公式求定积分；运用定积分的定义求数列的极限。
§3可积条件（6学时）
Riemann可积的必要条件、充要条件和可积函数类。
§4定积分的性质（5学时）
定积分的基本性质：
线性性、区间可加性、单调性以及绝对可积性等；积分第一中值定理及其推广形式。
§5微积分学基本定理·定积分的计算（6学时）
变限积分与原函数的存在性；积分第二中值定理；定积分的换元积分法和分部积分法；Taylor公式的积分型余项以及Cauchy型余项。
考核要求：
重点掌握定积分的概念等；掌握可积的充要条件，可积函数类，定积分的性质，微积分基本定理，定积分计算方法（换元法、分部积分法及奇偶函数的定积分等）。
第十章定积分的应用
教学要点：
各种类型函数极限的定义；单侧极限；函数极限的性质；函数极限存在的条件；两个重要极限；无穷小量与无穷大量。
教学时数：
13学时
教学内容：
§1平面图形的面积（2学时）
三种不同形式的求平面图形的面积公式：
函数以
形式给出的；以参数形式给出的；以极坐标形式给出的。
§2由平行截面面积求体积（2学时）
一般立体的体积公式；旋转体的体积公式。
§3平面曲线的弧长与曲率（2学时）
三种不同形式的求平面曲线弧长的公式：
函数以
形式给出的；以参数形式给出的；以极坐标形式给出的；曲线的曲率公式。
§4旋转曲面的面积（4学时）
微元法；运用微元法求解旋转曲面的面积。
§5定积分在物理中的应用（3学时）
运用定积分求解液体静压力、引力、功与平均功率。
考核要求：
熟练掌握运用定积分求解平面图形的面积、立体的体积、平面曲线的弧长与曲率以及旋转曲面的面积；了解定积分在物理中的应用。
第十一章反常积分
教学要点：
反常积分收敛和发散的概念及敛散性判别法。
教学时数：
14学时
教学内容：
§1反常积分的概念（3学时）
反常积分的引入；无穷限反常积分的概念、几何意义与计算；瑕积分的概念、几何意义与计算。
§2无穷积分的性质与收敛判别（6学时）
无穷积分的性质：
线性性、区间可加性、绝对收敛和条件收敛等；非负函数无穷限积分的收敛判别法：
比较原则、Cauchy判别法；一般无穷积分的收敛判别法：
Dirichlet判别法、Abel判别法。
§3瑕积分的性质与收敛判别（5学时）
瑕积分的性质：
线性性、区间可加性、绝对收敛和条件收敛等；非负函数瑕积分的收敛判别法：
比较原则、Cauchy判别法；一般瑕积分的收敛判别法：
Dirichlet判别法、Abel判别法。
。
考核要求：
掌握反常积分敛散性的定义，掌握一些重要的反常积分收敛和发散的例子，理解并掌握绝对收敛和条件收敛的概念并能用反常积分的Cauchy收敛原理、非负函数反常积分的比较判别法、Cauchy判别法，以及一般函数反常积分的Abel、Dirichlet判别法判别基本的反常积分，。
第十二章数项级数
教学要点：
数项级数及其敛散性概念，级数的基本性质，正项级数的判别法，任意项级数的判别法。
教学时数：
15学时
教学内容：
§1级数的收敛性（3学时）
数项级数及其敛散性概念，级数收敛的必要条件和其它性质，一些简单的级数求和。
§2正项级数（6学时）
正项级数的概念，比较原则，Cauchy、D`Alembert及其极限形式，Raabe判别法和积分判别法
§3一般项级数（6学时）
交错级数的概念，莱布尼茨判别法；绝对收敛级数及其性质；条件收敛级数及其性质；Dirichlet判别法；Abel判别法。
考核要求：
准确理解敛散性概念、级数收敛的必要条件和其它性质，熟练地求一些级数的和；比较熟练利用正项级数的收敛原理，比较判别法，Cauchy、D`Alembert判别法及其极限形式，Raabe判别法和积分判别法判别正项级数的敛散性；准确理解Leibniz级数，并比较熟练利用Leibniz级数，Abel、Dirichlet判别法判别一般级数的敛散性。
第十三章函数列与函数项级数
教学要点：
函数项级数和函数列一致收敛的概念及其判别方法，一致收敛函数项级数和函数列的连续、可导和可积性。
教学时数：
14学时
教学内容：
§1一致收敛性（8学时）
函数列的点态收敛，收敛域，部分和函数，函数列的一致收敛、内闭一致收敛，函数列一致收敛的判别法；函数项级数的点态收敛，收敛域，部分和函数，函数项级数的一致收敛、内闭一致收敛，函数项一致收敛的判别法
§2一致收敛函数列与函数项级数的性质（6学时）
一致收敛函数列的连续性、可微性和可积性定理；一致收敛函数项级数的连续性、可微性和可积性定理。
考核要求：
重点理解点态收敛、一致收敛和内闭一致收敛，函数列一致收敛的判别法，掌握一致收敛函数列的连续性、可导性和可积性；掌握并学会应用函数项级数的Cauchy收敛原理，Weierstrass判别法，Abel、Dirichlet判别法，掌握一致收敛级数的连续性、可导性和可积性。
第十四章幂级数
教学要点：
幂级数的收敛半径和收敛域及其半径求法，函数的幂级数展开。
教学时数：
12学时
教学内容：
§1幂级数（6学时）
幂级数的概念，收敛半径和收敛域，利用Cauchy-Hadamard定理，D`Alembert判别法求收敛半径，幂级数的连续、可导和可积性，利用幂级数的连续、可导和可积性求幂级数的和。
§2函数的幂级数展开（6学时）
函数幂级数展开的条件，初等函数的幂级数展开。
考核要求：
重点掌握用Cauchy-Hadamard、D`Alembert求幂级数收敛半径，可以利用幂级数可导和可积性求幂级数的和，掌握函数幂级数展开的条件，初等函数的幂级数展开。
第十五章傅里叶级数
教学要点：
熟练掌握函数的Fourier级数展开；熟练掌握Fourier级数的收敛判别法；正确理解Fourier级数的分析性质和逼近性质；掌握Fourier变换的性质及其在理论分析和实际计算中的应用；快速Fourier变换的思想及应用。
教学时数：
17学时
教学内容：
§1Fourier级数（6学时）
三角级数与正交函数系；周期为2π的函数的Fourier展开；收敛定理；
§2以
为周期的函数的展开式（6学时）
以
为周期的函数的Fourier展开式；偶函数的Fourier级数；奇函数的Fourier级数。
§3收敛定理的证明（5学时）
Bessel不等式；Parseval等式；Riemann-Lebesgue定理；上述定理与公式在收敛定理证明中的应用。
考核要求：
熟练掌握函数的Fourier级数展开；综合分析Fourier级数的敛散性；掌握Fourier变换的性质及其在理论分析和实际计算中的应用。
三、参考书目
1.陈纪修，於崇华，金路著《数学分析》，高等教育出版，2002年第1版（第5次印刷）
2.陈传璋，福临，朱学炎，欧阳光中编，《数学分析》，高等教育出版社1990年第2版
3.吉米多维奇，《数学分析习题集》，人民教育出版社，1958年第三版
数学分析III
一﹑说明
课程性质
数学分析III的主要内容是多元函数的极限、多元函数的连续性以及多元函数微分学、含参量积分、多重积分、曲线积分和曲面积分等，在第3学期开设。
它是进行数学研究的理论基础，着重研究解决数学问题的基础方法及其理论。
教学目的
使学生掌握数学分析的基本原理和思想，掌握方法处理的技巧，要熟练掌握多元函数微积分学的基本概念与理论；其次，要通过例子，初步掌握用分析的方法解决实际应用问题。
教学内容
数学分析第三部分的内容包括多元函数的极限、多元函数的连续性以及多元函数微分学、含参量积分、多重积分、曲线积分和曲面积分等。
教学时数
108学时
教学方式
讲授为主，并结合作业、测验。
（一）课程性质
数学分析III研究的主要内容是如何求解含参量积分、多重积分、曲线积分和曲面积分，它是分析数学系列课程之一，也是其他后继课程的重要基础。
数学分析IV是数学与应用数学专业的基础专业课之一，在第2学期开设。
（二）教学目的
通过本课程的学习，使学生掌握多元函数积分学的内容，为之后分析学系列课程（复变函数、实变函数、微分方程、泛函分析等）及数学专业其它后继课程打好基础，并自然地渗透了对学生进行逻辑和数学抽象思维的特殊训练。
二﹑本文
第十六章多元函数的极限与连续
教学要点：
有关平面点集的定义；二元函数重极限和累次极限的定义、性质；累次极限和重极限的关系；二元函数连续的概念以及关于单变元连续的概念；二元连续函数的局部性质和全局性质。
教学时数：
16学时
教学内容：
§1平面点集与多元函数（6学时）
平面点集的定义；内点、外点、界点、聚点、孤立点、开集、闭集、开域、闭域以及区域的定义等；
上的完备性定理；二元函数与多元函数的定义与性质。
§2二元函数的性质（4学时）
二元函数重极限的
定义；二元函数重极限的性质；二元函数重极限存在的充要条件；非正常极限；累次极限的定义；累次极限与重极限的关系。
§3二元函数的连续性（6学时）
二元函数的连续性概念；二元连续函数的局部性质；不连续点、可去间断点的定义；关于单变元连续和连续之间的关系；有界闭域上连续函数的性质：
有界性与最大、最小值定理、一致连续性定理以及介值性定理
考核要求：
熟练掌握有关平面点集的定义；熟练掌握二元函数重极限和累次极限的定义、性质并能掌握累次极限和重极限的关系；掌握二元函数连续的概念以及关于单变元连续的概念；并能掌握两者之间的联系；掌握并能运用连续函数的性质探讨相关命题。
第十七章多元函数的微分学
教学要点：
偏导数和高阶偏导数的概念与计算；方向导数﹑梯度﹑切线与法平面的概念；多元复合函数的求导法则；多元函数的中值定理、Taylor公式与极值问题。
教学时数：
18学时
教学内容：
§1可微性（5学时）
可微性与全微分；偏导数的定义；偏导数和全微分的几何意义；可微的必要条件；可微的充分条件；可微的集合意义及其应用；可微、连续以及偏导数存在这三者之间的关系。
§2复合函数微分法（4学时）
复合函数求偏导的链式法则；一阶全微分的形式不变性。
§3方向导数与梯度（4学时）
方向导数的定义；方向导数的计算；方向导数与偏导数、全微分之间的关系；梯度的定义及其性质。
§4Taylor公式与极值问题（5学时）
高阶偏导数的计算；混合偏导数相等的条件；复合函数高阶偏导数的求法；中值定理；多元函数的Taylor公式；应用Taylor公式求解函数的近似值；极值存在的必要条件；Hessen矩阵；极值存在的充分条件；应用极值存在的条件求解实际问题的最小值和最大值。
考核要求：
熟练计算偏导数和高阶偏导数，了解偏导数的几何意义；理解全微分的意义及其几何意义；了解全微分、偏导数与连续三者之间的关系；掌握Taylor公式以及求极值的条件。
第十八章隐函数定理及其应用
教学要点：
隐函数存在与唯一性定理；隐函数组定理；由隐函数或隐函数组所确定的平面或空间曲线（曲面）的切线、法线或法平面的求法；隐函数的求导法则；无条件极值与条件极值的计算方法。
教学时数：
14学时
教学内容：
§1隐函数（6学时）
隐函数的概念；隐函数存在性条件分析；隐函数存在唯一性定理；隐函数可微性定理；隐函数极值问题的求解；隐函数求导问题。
§2隐函数组（4学时）
隐函数组的概念；隐函数组定理；反函数组与坐标变换。
§3几何应用（2学时）
运用隐函数定理求解平面曲线的切线和法线；运用隐函数求导法则求解空间曲线的切线和法平面；运用隐函数求导法则求解曲面的切平面与法线。
§7条件极值（2学时）
条件极值问题的定义；Lagrange乘数法及条件极值的充分条件；函数的条件极值与最值的计算；条件极值在几何﹑不等式及其它实际问题中的应用。
考核要求：
理解隐函数定理和隐函数组定理的条件；会计算隐函数的导数，会计算隐函数组的导数或偏导数；会运用隐函数（组）定理求解相关线、面方程；掌握无条件极值与条件极值的求法。
第十九章含参量积分
教学要点：
理解含参变量的常义积分的定义及分析性质；掌握含参变量的反常积分的一致收敛的判别法及一致收敛积分的分析性质；掌握Beta函数和Gamma函数的性质、递推公式及二者之间的关系。
教学时数：
12学时
教学内容：
§1含参量正常积分（4学时）
含参量正常积分的定义；含参量正常积分的连续性；含参量正常积分的可微性；含参量正常积分的可积性。
§2含参量反常积分（6学时）
含参量积分的一致收敛的定义；含参量反常积分一致收敛的充要条件；含参量反常积分的判别法；含参量反常积分的连续性；含参量反常积分的可微性；含参量反常积分的可积性；含参量反常积分的计算和应用。
§3欧拉积分（2学时）
Gamma
升级会员 