x=ih1,i=0,1,…,N1,h1=a/N1
y=jh2,j=0,1,…,N2,h2=b/N2
将G剖分为网格区域，见图9-1。
h1，h2分别称为x方向和y方向的剖分步长，网格交点（xi，yi）称为剖分节点（区域内节点集合记为Gh={（xi，yi）;（xi，yi）∈G}）,网格线与边界Γ的交点称为边界点，边界点集合记为Γh。
现在将微分方程（9.1）在每一个内节点（xi，yi）上进行离散。
在节点（xi，yi）处，方程（9.1）为
（9.5）
需进一步离散（9.5）中的二阶偏导数。
为简化记号，简记节点（xi，yi）=（i,j），节点函数值u（xi，yi）=u（i,j）。
利用一元函数的Taylor展开公式，推得二阶偏导数的差商表达式
代入（9.5）式中，得到方程（9.1）在节点（i,j）处的离散形式
其中。
舍去高阶小项，就导出了u（i,j）的近似值ui,j所满足的差分方程
（9.6）
在节点（i,j）处方程（9.6）逼近偏微分方程（9.1）的误差为，它关于剖分步长是二阶的。
这个误差称为差分方程逼近偏微分方程的截断误差，它的大小将影响近似解的精度。
在差分方程（9.6）中，每一个节点（i,j）处的方程仅涉及五个节点未知量ui,j，ui+1,j，ui-1,j，ui,j+1，ui,j-1，因此通常称（9.6）式为五点差分格式，当h1=h2=h时，它简化为
差分方程（9.6）中，方程个数等于内节点总数，但未知量除内节点值ui,j,（i,j）∈Gh外，还包括边界点值。
例如，点（1,j）处方程就含有边界点未知量u0,j。
因此，还要利用给定的边值条件补充上边界点未知量的方程。
对于第一边值条件式（9.2），可直接取ui,j=α（xi，yi），（i,j）∈Γh（9.7）
对于第三（k=0时为第二）边值条件式（9.4），
以左边界点（1,j）为例，见图9-2,
利用一阶差商公式
则得到边界点（0,j）处的差分方程
（9.8）
联立差分方程（9.6）与（9.7）或（9.8）就形成了求解Poisson方程边值问题的差分方程组，它实质上是一个关于未知量{ui,j}的线性代数方程组，可采用第2，3章介绍的方法进行求解。
这个方程组的解就称为偏微分方程的差分近似解，简称差分解。
考虑更一般形式的二阶椭圆型方程
（9.9）
其中A（x,y）≥Amin>0,B（x,y）≥Bmin>0,E（x,y）≥0。
引进半节点
利用一阶中心差商公式，在节点（i,j）处可有
对类似处理，就可推得求解方程（9.9）的差分方程
（9.10）
其中
（9.11）
显然，当系数函数A（x,y）=B（x,y）=1,C（x,y）=D（x,y）=E（x,y）=0时，椭圆型方程（9.9）就成为Poisson方程（9.1），而差分方程（9.10）就成为差分方程（9.6）。
容易看出，差分方程（9.10）的截断误差为阶。
9.1.2一般区域的边界条件处理
前面已假设G为矩形区域，现在考虑G为一般区域情形，这里主要涉及边界条件的处理。
考虑Poisson方程第一边值问题
（9.12）
其中G可为平面上一般区域，例如为曲边区域。
仍然用两组平行直线：
x=x0+ih1,y=y0+jh2,i,j=0,±1,…,对区域G进行矩形网格剖分，见图9-3。
如果一个内节点（i,j）的四个相邻节点（i+1,j），（i-1,j），（i,j+1）和（i,j-1）属于，则称其为正则内点，见图9-3中打“。
”号者；如果一个节点（i,j）属于且不为正则内点，则称其为非正则内点，见图9-3中打“.”号者。
记正则内点集合为，非正则内点集合为。
显然，当G为矩形区域时，成立。
在正则内点（i,j）处，完全同矩形区域情形，可建立五点差分格式
（9.13）
在方程（9.13）中，当（i,j）点临近边界时，将出现非正则内点上的未知量，因此必须补充非正则内点处的方程。
若非正则内点恰好是边界点，如图9-4中
D点，则利用边界条件可取uD=α（D）
对于不是边界点的非正则内点，如图9-4中B点，一般可采用如下两种处理方法。
a.直接转移法.取与点B距离最近的边界点（如图9-4中E点）上的u的值作为u（B）的近似值uB，即uB=u（E）=α（E）
直接转移法的优点是简单易行，但精度较低，只为一阶近似。
b.线性插值法.取B点的两个相邻点（如图9-4中边界点A和正则内点C作为插值节点对u（B）进行线性插值
则得到点B处的方程
线性插值法精度较高，为二阶近似。
对每一个非正则内点进行上述处理，将所得到的方程与（9.13）式联立，就组成了方程个数与未知量个数相一致的线性代数方程组。
求解此方程组就可得到一般区域上边值问题（9.12）的差分近似解。
对于一般区域上二阶椭圆型方程（9.9）的第一边值问题，可完全类似处理。
第二、三边值条件的处理较为复杂，这里不再讨论。
9.2抛物型方程的差分方法
本节介绍抛物型方程的差分方法，重点讨论差分格式的构造和稳定性分析。
9.2.1一维问题
作为模型，考虑一维热传导的初边值问题
（9.14）
（9.15）
（9.16）
其中a是正常数，都是已知的连续的函数。
现在讨论求解问题（9.14）-（9.18）的差分方法。
首先对求解区域G={0≤x≤l,0≤t≤T}进行网格剖分。
取空间步长h=l/N,时间步长τ=T/M,其中N,M是正整数，作两族平行直线
将区域G剖分成矩形网格，见图9-5，网格交点（xj，tk）称为节点。
用差分方法求解初边值问题（9.14）-（9.16）就是要求出精确解u（x,t）在每个节点（xj，tk）处的近似值。
为简化记号，简记节点（xj，tk）=u（j,k）。
利用一元函数的Taylor展开公式，可推出下列差商表达式
（9.17）
（9.18）
（9.19）
（9.20）
1.古典显格式
在区域G的内节点（j,k）处，利用公式（9.17）和（9.20），可将偏微分方程（9.14）离散为
其中。
舍去高阶小项，就得到节点近似值（差分解）所满足的差分方程
（9.21）
显然，在节点（j,k）处，差分方程（9.21）逼近偏微分方程（9.14）的误差为，这个误差称为截断误差，它反映了差分方程逼近偏微分方程的精度。
现将（9.21）式改写为便于计算的形式，并利用初边值条件（9.15）与（9.16）补充上初始值和边界点方程，则得到
（9.22）
其中称为网比。
与时间相关问题差分方程的求解通常是按时间方向逐层进行的。
对于差分方程（9.22），当第k层节点值已知时，可直接计算出第k+1层节点值。
这样，从第0层已知值开始，就可逐层求出各时间层的节点值。
差分方程（9.22）的求解计算是显式的，无须求解方程组，故称为古典显格式。
此外，在式（9.22）中，每个内节点处方程仅涉及k和k+1两层节点值，称这样的差分格式为双层格式。
差分方程（9.22）可表示为矩阵形式
（9.23）
其中
2.古典隐格式
在区域G的内节点（j,k）处，利用公式（9.18）和（9.20），可将偏微分方程（9.14）离散为
舍去高阶小项，则得到如下差分方程
（9.24）
它的截断误差为，逼近精度与古典显格式相同。
改写（9.24）式为便于计算的形式，并补充上初始值与边界点方程，则得到
（9.25）
与古典显格式不同，在差分方程（9.25）的求解中，当第k-1层值已知时，必须通过求解一个线性方程组才能求出第k层值，所以称（9.25）式为古典隐格式，它也是双层格式。
差分方程（9.25）的矩阵形式为
（9.26）
其中
向量同（9.23）式中定义。
从（9.26）式看到，古典隐格式在每一层计算时，都需求解一个三对角形线性方程组，可采用追赶法求解。
3.Crank-Nicolson格式（六点对称格式）
利用一元函数Taylor展开公式可得到如下等式
使用这两个公式，在点离散偏微分方程（9.14），然后利用（9.20）式进一步离散二阶偏导数，则可导出差分方程
（9.27）
其截断误差为，在时间方向的逼近阶较显格式和隐格式高出一阶。
这个差分格式称为Crank-Nicolson格式，有时也称为六点对称格式，它显然是双层隐式格式。
改写（9.27）式，并补充初始值和边界点方程得到
（9.28）
它的矩阵形式为
（9.29）
在每层计算时，仍需求解一个三对角形方程组。
4.Richardson格式
利用公式（9.19）和（9.20），可导出另一个截断误差为阶的差分方程
称之为Richardson格式。
可改写为
（9.32）
这是一个三层显式差分格式。
在逐层计算时，需用到和两层值才能得到k+1层值。
这样，从第0层已知值开始，还须补充上第一层值，才能逐层计算下去。
可采用前述的双层格式计算。
除上述四种差分格式外，还可构造出许多逼近偏微分方程（9.14）的差分格式，但并不是每个差分格式都是可用的。
一个有实用价值的差分格式应具有如下性质：
（1）收敛性。
对任意固定的节点（xj，tk）,当剖分步长时，差分解应收敛到精确解u（xj，tk）。
（2）稳定性。
当某一时间层计算产生误差时，在以后各层的计算中，这些误差的传播积累是可控制而不是无限增长的。
理论上可以证明，在一定条件下，稳定的差分格式必然是收敛的。
因此，这里主要研究差分格式的稳定性。
作为例子，先考查Richardson格式的稳定性。
设是当计算过程中带有误差时，按Richardson格式（9.30）得到的实际计算值。
是理论值，误差。
假定右端项的计算是精确的，网比，则满足
（9.31）
设前k-1层计算时精确的，误差只是在第k层点发生，即
。
则利用（9.31）式可得到误差的传播情况，见表9-1。
表9-1r=1/2时Richardson格式的误差传播
j
k
j0-4
j0-3
j0-2
j0-1
j0
j0+1
j0+
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