223 实际问题与二次函数教学设计.docx

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223实际问题与二次函数教学设计

22.3实际问题与二次函数教学设计

教学目标

1.会求二次函数y＝ax2＋bx＋c的最小（大）值．

2.能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小（大）值等实际问题．

3.根据不同条件设自变量x求二次函数的关系式和建立合适的直角坐标系．

教学重点

1.根据不同条件设自变量x求二次函数的关系式和建立合适的直角坐标系．

2.求二次函数y＝ax2＋bx＋c的最小（大）值．

教学难点

将实际问题转化成二次函数问题

课时安排

3课时.

第1课时

教学内容

22.3实际问题与二次函数

（1）．

教学目标

1．会求二次函数y＝ax2＋bx＋c的最小（大）值．

2．能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小（大）值等实际问题．

教学重点

求二次函数y＝ax2＋bx＋c的最小（大）值．

教学难点

将实际问题转化成二次函数问题．

教学过程

一、导入新课

在现实生活中，我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，如抛球、围墙、拱桥跨度等，利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题，具有很现实的意义．从这节课开始，我们就共同解决这几个问题．

二、新课教学

问题1从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：

m）与小球的运动时间t（单位：

s）之间的关系式是h＝30t－5t2（0≤t≤6）．小球运动的时间是多少时，小球最高？

小球运动中的最大高度是多少？

教师引导学生找出问题中的两个变量：

小球的高度h（单位：

m）与小球的运动时间t（单位：

s）．

然后让学生计算当t＝1、t＝2、t＝3、t＝4、t＝5、t＝6时，h的值是多少？

再让学生根据算出的数据，画出函数h＝30t－5t2（0≤t≤6）的图象（可见教材第49页图）．

根据函数图象，观察出小球运动的时间是多少时，小球最高？

小球运动中的最大高度是多少？

学生结合图象回答：

这个函数的图象是一条抛物线的一部分．这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高点，也就是说，当t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值．

教师引导学生求函数的顶点坐标，解决这个问题．

当t＝－

＝－

＝3时，h有最大值

＝

＝45．

答：

小球运动的时间是3s时，小球最高．小球运动中的最大高度是45m．

问题2如何求出二次函数y＝ax2＋bx＋c的最小（大）值？

学生根据问题1归纳总结：

当a＞0（a＜0），抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是最低（高）点，也就是说，当x＝－

时，二次函数y＝ax2＋bx＋c有最小（大）值

．

三、巩固练习

探究1用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化．当l是多少米时，场地的面积S最大？

教师引导学生参照问题1的解法，先找出两个变量，然后写出S关于l的函数解析式，最后求出使S最大的l值．

解：

矩形场地的周长是60m，一边长为lm，所以另一边长（

－l）m．场地的面积S＝l（30－l），即S＝－l2＋30l（0＜l＜30）．

因此，当l＝－

＝－

＝15时，S有最大值

＝

＝225．也就是说，当l是15m时，场地的面积S最大．

四、课堂小结

利用二次函数解决实际问题的过程是什么？

找出变量和自变量；然后列出二次函数的解析式；再根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；最后在自变量的取值范围内，求出二次函数的最小（大）值．

五、布置作业

习题22.3第1、4题．

第2课时

教学内容

22.3实际问题与二次函数

（2）．

教学目标

1．会求二次函数y＝ax2＋bx＋c的最小（大）值．

2．能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小（大）值等实际问题．

3．根据不同条件设自变量x求二次函数的关系式．

教学重点

1．根据不同条件设自变量x求二次函数的关系式．

2．求二次函数y＝ax2＋bx＋c的最小（大）值．

教学难点

将实际问题转化成二次函数问题．

教学过程

一、导入新课

复习利用二次函数解决实际问题的过程导入新课的教学．

二、新课教学

探究2：

某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：

如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？

教师引导学生阅读问题，理清自变量和变量．在这个探究中，某商品调整，销量会随之变化．调整的价格包括涨价和降价两种情况．

（1）我们先看涨价的情况．

设每件涨价x元，每星期则少卖l0x件，实际卖出（300－l0x）件，销售额为（60+x）（300－l0x）元，买进商品需付40（300－10x）元．因此，所得利润y＝（60+x）（300－l0x）一40（300－l0x），即y＝－l0x2+100x+6000．

列出函数解析式后，教师引导学生怎样确定x的取值范围呢？

由300－l0x≥0，得x≤30．再由x≥0，得0≤x≤30．

根据上面的函数，可知：

当x＝5时，y最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价5元，即定价65元时，利润最大，最大利润是6250元．

（2）我们再看降价的情况．

设每件降价x元，每星期则多卖20x件，实际卖出（300＋20x）件，销售额为（60－x）（300＋20x）元，买进商品需付40（300＋20x）元．因此，所得利润

y＝（60－x）（300＋20x）－40（300＋20x），

即

y＝－20x2＋100x＋6000．

怎样确定x的取值范围呢？

由降价后的定价（60－x）元，不高于现价60元，不低于进价40元可得0≤x≤20．

当x＝2.5时，y最大，也就是说，在降价的情况下，降价2.5元，即定价57.5元时，利润最大，最大利润是6125元．

由

（1）

（2）的讨论及现在的销售状况，你知道应如何定价能使利润最大了吗？

学生最后的出答案：

综合涨价和降价两种情况及现在的销售状况可知，定价65元时，利润最大．

三、巩固练习

1．某商场购进一批单价为16元的日用品，经试销发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数y（件）是价格x（元/件）的一次函数，则y与x之间的关系式是，销售所获得的利润为w（元）与价格x（元/件）的关系式是．

2．某商店销售一种商品，每件的进价为2.50元，根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：

在一段时间内，单价是13.50元时，销售量为500件，而单价每降低1元，就可以多售出200件.设每件商品降价x元，总利润为y元，请你写出y与x的函数关系式，并分析，当销售单价为多少元时，获利最大，最大利润是多少？

参考答案：

1．y＝－30x＋960，w＝（x－16）（－30x＋960）

2．y＝（13.5－x－2.5）（500＋200x）＝－200x2＋1700x＋5500，顶点坐标为（4.25，9112.5），即当每件商品降价4.25元，即售价为13.5－4.25＝9.25时，可取得最大利润9112.5元．

四、课堂小结

今天你学习了什么？

有什么收获？

五、布置作业

习题22.3第8题．

第3课时

教学内容

22.3实际问题与二次函数（3）．

教学目标

1．根据不同条件建立合适的直角坐标系．

2．能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小（大）值等实际问题．

教学重点

1．根据不同条件建立合适的直角坐标系．

2．将实际问题转化成二次函数问题．

教学难点

将实际问题转化成二次函数问题．

教学过程

一、导入新课

复习二次函数y＝ax2的性质和特点，导入新课的教学．

二、新课教学

探究3下图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．水面下降1m，水面宽度增加多少？

教师引导学生审题，然后根据条件建立直角坐标系．怎样建立直角坐标系呢？

因为二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数．为解题简便，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系．

教师可让学生自己建立直角坐标系，然后求出二次函数的解析式．

如上图，设这条抛物线表示的二次函数为y＝ax2．由抛物线经过点（2，－2），可得

－2＝a×22，a＝－

．

这条抛物线表示的二次函数为y＝－

x2．

当水面下降1m时，水面的纵坐标为－3，根据上面的函数解析式可得水面的横坐标为

，－

，据此可求出这时的水面宽度是2

．

答：

水面下降1m，水面宽度增加2

－4m．

三、巩固练习

某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的A处安装一个喷头向外喷水．连喷头在内，柱高为0.8m．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如左图所示．

根据设计图纸已知：

如右图中所示直角坐标系中，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式是y＝－x2＋2x＋

．

（1）喷出的水流距水平面的最大高度是多少?

（2）如果不计其他的因素，那么水池至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内?

教师让学生讨论、交流，如何将文学语言转化为数学语言，得出问题

（1）就是求函数y＝－x2＋2x＋

最大值，问题

（2）就是求右图B点的横坐标．

学生独立解答，教师巡视指导，最后让一两位同学板演，教师讲评．

四、课堂小结

今天你学习了什么？

有什么收获？

五、布置作业

习题22.3第6、7题．

教案B

第1课时

教学内容

22.3实际问题与二次函数

（1）．

教学目标

1．会求二次函数y＝ax2＋bx＋c的最小（大）值．

2．能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小（大）值等实际问题．

教学重点

求二次函数y＝ax2＋bx＋c的最小（大）值．

教学难点

将实际问题转化成二次函数问题．

教学过程

一、导入新课

同学们好，我们上节课学习了二次函数与一元二次方程，可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根．对于某些实际问题，如果其中变量之间的关系可以用二次函数模型来刻画，那么我们就可以利用二次函数的图象和性质来进行研究．

二、新课教学

问题从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：

m）与小球的运动时间t（单位：

s）之间的关系式是h＝30t－5t2（0≤t≤6）．小球运动的时间是多少时，小球最高？

小球运动中的最大高度是多少？

教师引导学生找出问题中的两个变量：

小球的高度h（单位：

m）与小球的运动时间t（单位：

s）．然后画出函数h＝30t－5t2（0≤t≤6）的图象（可见教材第49页图）．

根据函数图象，可以观察到当t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值．也就是说，当小球运动的时间是3s时，小球最高，小球运动中的最大高度是45m．

一般地，当a＞0（a＜0），抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是最低（高）点，也就是说，当x＝－

时，二次函数y＝ax2＋bx＋c有最小（大）值

．

探究1用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化．当l是多少米时，场地的面积S最大？

教师引导学生参照问题1的解法，先找出两个变量，然后写出S关于l的函数解析式，最后求出使S最大的l值．具体步骤可见教材第50页．

三、巩固练习

1．已知一个矩形的周长是100cm，设它的一边长为xcm，则它的另一边长为______cm，若设面积为scm2，则s与x的函数关系式是__________，自变量x的取值范围是________．当x等于_____cm时，s最大，为_______cm2.

2．已知：

正方形ABCD的边长为4，E是BC上任意一点，且AE=AF，若EC=x，请写出△AEF的面积y与x之间的函数关系式，并求出x为何值时y最大．

参考答案：

1．50－x，s=x（50－x），0

2．y＝－

x2＋4x，当x＝4时，y有最大值8．

四、课堂小结

今天学习了什么，有什么收获？

五、布置作业

习题22.3第1、4题．

第2课时

教学内容

22.3实际问题与二次函数

（2）．

教学目标

1．会求二次函数y＝ax2＋bx＋c的最小（大）值．

2．能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小（大）值等实际问题．

3．根据不同条件设自变量x求二次函数的关系式．

教学重点

1．根据不同条件设自变量x求二次函数的关系式．

2．求二次函数y＝ax2＋bx＋c的最小（大）值．

教学难点

将实际问题转化成二次函数问题．

教学过程

一、导入新课

复习利用二次函数解决实际问题的过程导入新课的教学．

二、新课教学

1．探究2：

某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：

如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？

教师引导学生阅读问题，理清自变量和变量，根据不同情况列出函数关系式．具体步骤见教材第50页．

2．巩固练习

重庆某区地理环境偏僻，严重制约经济发展，丰富的花木产品只能在本地销售，区政府对该花木产品每投资x万元，所获利润为P＝－

（x－30）2＋10万元，为了响应我国西部大开发的宏伟决策，区政府在制定经济发展的10年规划时，拟开发此花木产品，而开发前后可用于该项目投资的专项资金每年最多50万元，若开发该产品，在前5年中，必须每年从专项资金中拿出25万元投资修通一条公路，且5年修通，公路修通后，花木产品除在本地销售外，还可运往外地销售，运往外地销售的花木产品，每投资x万元可获利润Q＝－

（50－x）2＋

（50－x）＋308万元．

（1）若不进行开发，求10年所获利润最大值是多少?

（2）若按此规划开发，求10年所获利润的最大值是多少?

（3）根据

（1）

（2）计算的结果，请你用一句话谈谈你的想法．

教师引导学生先自主分析，小组进行讨论．在学生分析、讨论过程中，对学生进行学法引导，引导学生先了解二次函数的基本性质，并学会从实际问题中抽象出二次函数的模型，借助二次函数的性质来解决这类实际应用题．

解：

（1）若不开发此产品，按原来的投资方式，由P＝－

（x－30）2＋10知道，只需从50万元专款中拿出30万元投资，每年即可获最大利润10万元，则10年的最大利润为

M1＝10×10＝100万元．

（2）若对该产品开发，在前5年中，当x＝25时，每年最大利润是：

P＝－

（25－30）2＋10＝9.5（万元）．

则前5年的最大利润为

M2＝9.5×5＝47.5万元．

设后5年中x万元就是用于本地销售的投资，则由Q＝－

（50－x）＋

（50－x）＋308知，将余下的（50－x）万元全部用于外地销售的投资．才有可能获得最大利润．

则后5年的利润是

M3＝[－

（x－30）2＋10]×5＋（－

x2＋

x＋308）×5

＝－5（x－20）2＋3500．

故当x＝20时，M3取得最大值为3500万元．

∴10年的最大利润为M＝M2＋M3＝3547.5万元．

（3）因为3547.5＞100，所以该项目有极大的开发价值．

三、课堂小结

今天你学习了什么？

有什么收获？

四、布置作业

习题22.3第8题．

第3课时

教学内容

22.3实际问题与二次函数（3）．

教学目标

1．根据不同条件建立合适的直角坐标系．

2．能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小（大）值等实际问题．

教学重点

1．根据不同条件建立合适的直角坐标系．

2．将实际问题转化成二次函数问题．

教学难点

将实际问题转化成二次函数问题．

教学过程

一、导入新课

复习二次函数y＝ax2的性质和特点，导入新课的教学．

二、新课教学

探究3下图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．水面下降1m，水面宽度增加多少？

教师引导学生审题，然后根据条件建立直角坐标系．怎样建立直角坐标系呢？

因为二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数．为解题简便，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系．

教师可让学生自己建立直角坐标系，然后求出二次函数的解析式．

设这条抛物线表示的二次函数为y＝ax2．由抛物线经过点（2，－2），可得这条抛物线表示的二次函数为y＝－

x2．

当水面下降1m时，水面宽度就增加2

－4m．

三、巩固练习

一个涵洞成抛物线形，它的截面如右图所示，现测得，当水面宽AB＝1.6m时，涵洞顶点与水面的距离为2.4m．这时，离开水面1.5m处，涵洞宽ED是多少？

是否会超过1m？

分析：

根据已知条件，要求ED的宽，只要求出FD的长度．在如右图的直角坐标系中，即只要求出D点的横坐标．因为点D在涵洞所成的抛物线上，又由已知条件可得到点D的纵坐标，所以利用抛物线的函数关系式可以进一步算出点D的横坐标．

2．让学生完成解答，教师巡视指导．

3．教师分析存在的问题，书写解答过程．

解：

以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立直角坐标系．

这时，涵洞的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式为

y＝ax2（a＜0）①

因为AB与y轴相交于C点，所以CB＝

＝0.8（m），又OC＝2.4m，所以点B的坐标是（0.8，－2.4）．

因为点B在抛物线上，将它的坐标代人①，得－2.4＝a×0.82所以

a＝－

因此，函数关系式是

y＝－

x2②

∵OC＝2.4m，FC＝1.5m，∴OF＝2.4―1.5＝0.9（m）．

将y＝－0.9代入②式得

－0.9＝－

x2

解得x1＝

，x2＝―

．

涵洞宽ED＝2

≈0.98＜1．

四、课堂小结

今天你学习了什么？

有什么收获？

五、布置作业

习题22.3第6、7题．