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1、223 实际问题与二次函数教学设计22.3 实际问题与二次函数教学设计教学目标1. 会求二次函数yax2bxc的最小（大）值2. 能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小（大）值等实际问题3. 根据不同条件设自变量x求二次函数的关系式和建立合适的直角坐标系教学重点1. 根据不同条件设自变量x求二次函数的关系式和建立合适的直角坐标系2. 求二次函数yax2bxc的最小（大）值教学难点将实际问题转化成二次函数问题课时安排3课时.第1课时教学内容22.3 实际问题与二次函数（1）教学目标1会求二次函数yax2bxc的最小（大）值2能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次

2、函数及性质解决最小（大）值等实际问题教学重点求二次函数yax2bxc的最小（大）值教学难点将实际问题转化成二次函数问题教学过程一、导入新课在现实生活中，我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，如抛球、围墙、拱桥跨度等，利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题，具有很现实的意义从这节课开始，我们就共同解决这几个问题二、新课教学问题1 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h30t5t2 (0t6)小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？教师引导学生找出问题中的两个变量：小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单

3、位：s）然后让学生计算当t1、t2、t3、t4、t5、t6时，h的值是多少？再让学生根据算出的数据，画出函数h30t5t2 (0t6)的图象（可见教材第49页图）根据函数图象，观察出小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？学生结合图象回答：这个函数的图象是一条抛物线的一部分这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高点，也就是说，当t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值教师引导学生求函数的顶点坐标，解决这个问题当t3时，h有最大值45答：小球运动的时间是3s时，小球最高小球运动中的最大高度是45m问题2 如何求出二次函数 yax2bxc的最小（大）值？学生根据问题1归纳总结：当a

4、0（a0），抛物线yax2bxc的顶点是最低（高）点，也就是说，当x时，二次函数yax2bxc有最小（大）值 三、巩固练习 探究1 用总长为60 m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化当l是多少米时，场地的面积S最大？教师引导学生参照问题1的解法，先找出两个变量，然后写出S关于l的函数解析式，最后求出使S最大的l值解：矩形场地的周长是60 m，一边长为l m，所以另一边长（l） m场地的面积Sl(30l)，即Sl230l（0l30）因此，当l15时，S有最大值225也就是说，当l是15 m时，场地的面积S最大四、课堂小结利用二次函数解决实际问题的过程是什么？找出变量和自变量

5、；然后列出二次函数的解析式；再根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；最后在自变量的取值范围内，求出二次函数的最小（大）值五、布置作业习题22.3 第1、4题第2课时教学内容22.3 实际问题与二次函数（2）教学目标1会求二次函数yax2bxc的最小（大）值2能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小（大）值等实际问题3根据不同条件设自变量x求二次函数的关系式教学重点1根据不同条件设自变量x求二次函数的关系式2求二次函数yax2bxc的最小（大）值教学难点将实际问题转化成二次函数问题教学过程一、导入新课复习利用二次函数解决实际问题的过程导入新课的教学 二、新课教学探究

6、2：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？教师引导学生阅读问题，理清自变量和变量在这个探究中，某商品调整，销量会随之变化调整的价格包括涨价和降价两种情况（1）我们先看涨价的情况设每件涨价x元，每星期则少卖l0x件，实际卖出(300l0x)件，销售额为(60 + x) (300l0x)元，买进商品需付40(30010x)元因此，所得利润y(60+x)(300l0x)一40(300l0x)，即yl0x2+100x+6 000列出函数解析式后，教

7、师引导学生怎样确定x的取值范围呢？由300l0x0，得x30再由x0，得0x30根据上面的函数，可知：当x5时，y最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价5元，即定价65元时，利润最大，最大利润是6250元（2）我们再看降价的情况设每件降价x元，每星期则多卖20x件，实际卖出(30020x)件，销售额为(60x) (30020x)元，买进商品需付40(30020x)元因此，所得利润y(60x)(30020x)40(30020x)，即y20x2100x6 000怎样确定x的取值范围呢？由降价后的定价(60x)元，不高于现价60元，不低于进价40元可得0x20当x2.5时，y最大，也就是说，在降价的情

8、况下，降价2.5元，即定价57.5元时，利润最大，最大利润是6125元由（1）（2）的讨论及现在的销售状况，你知道应如何定价能使利润最大了吗？学生最后的出答案：综合涨价和降价两种情况及现在的销售状况可知，定价65元时，利润最大三、巩固练习1某商场购进一批单价为16元的日用品，经试销发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数y（件）是价格x（元/件）的一次函数，则y与x之间的关系式是 ，销售所获得的利润为w（元）与价格x（元/件）的关系式是 2某商店销售一种商品，每件的进价为2.50元，根据市场调查，销售量与销售单价满足如下

9、关系：在一段时间内，单价是13.50元时，销售量为500件，而单价每降低1元，就可以多售出200件.设每件商品降价x元，总利润为y元，请你写出y与x的函数关系式，并分析，当销售单价为多少元时，获利最大，最大利润是多少？参考答案：1y30x96 0，w(x16)(30x960)2 y(13.5x2.5)(500200x)200x21 700x550 0，顶点坐标为（4.25，9112.5），即当每件商品降价4.25元，即售价为13.54.259.25时，可取得最大利润9112.5元四、课堂小结 今天你学习了什么？有什么收获？五、布置作业习题22.3 第8题第3课时教学内容22.3 实际问题与二次

10、函数（3）教学目标1根据不同条件建立合适的直角坐标系2能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小（大）值等实际问题教学重点1根据不同条件建立合适的直角坐标系2将实际问题转化成二次函数问题教学难点将实际问题转化成二次函数问题教学过程一、导入新课复习二次函数yax2的性质和特点，导入新课的教学二、新课教学探究3 下图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4 m水面下降1 m，水面宽度增加多少？教师引导学生审题，然后根据条件建立直角坐标系怎样建立直角坐标系呢？因为二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数为解题简便，以抛物线的顶点为原点，

11、以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系教师可让学生自己建立直角坐标系，然后求出二次函数的解析式如上图，设这条抛物线表示的二次函数为yax2由抛物线经过点(2，2)，可得2a22， a 这条抛物线表示的二次函数为yx2当水面下降1m时，水面的纵坐标为3，根据上面的函数解析式可得水面的横坐标为，据此可求出这时的水面宽度是2答：水面下降1m，水面宽度增加24m三、巩固练习某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的A处安装一个喷头向外喷水连喷头在内，柱高为0.8m水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如左图所示 根据设计图纸已知：如右图中所示直角坐标系中，水流喷出的高度y

12、(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是yx22x（1）喷出的水流距水平面的最大高度是多少?（2）如果不计其他的因素，那么水池至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内?教师让学生讨论、交流，如何将文学语言转化为数学语言，得出问题（1）就是求函数yx22x最大值，问题（2）就是求右图B点的横坐标学生独立解答，教师巡视指导，最后让一两位同学板演，教师讲评四、课堂小结今天你学习了什么？有什么收获？五、布置作业习题22.3 第6、7题教案B第1课时教学内容22.3 实际问题与二次函数（1）教学目标1会求二次函数yax2bxc的最小（大）值2能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解

13、决最小（大）值等实际问题教学重点求二次函数yax2bxc的最小（大）值教学难点将实际问题转化成二次函数问题教学过程一、导入新课同学们好，我们上节课学习了二次函数与一元二次方程，可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根对于某些实际问题，如果其中变量之间的关系可以用二次函数模型来刻画，那么我们就可以利用二次函数的图象和性质来进行研究二、新课教学问题 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h30t5t2 (0t6)小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？教师引导学生找出问题中的两个变量：小球的高度h（单位：m）与小球的运动

14、时间t（单位：s）然后画出函数h30t5t2 (0t6)的图象（可见教材第49页图）根据函数图象，可以观察到当t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值也就是说，当小球运动的时间是3s时，小球最高，小球运动中的最大高度是45m一般地，当a0（a0），抛物线yax2bxc的顶点是最低（高）点，也就是说，当x时，二次函数yax2bxc有最小（大）值 探究1 用总长为60 m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化当l是多少米时，场地的面积S最大？教师引导学生参照问题1的解法，先找出两个变量，然后写出S关于l的函数解析式，最后求出使S最大的l值具体步骤可见教材第50页三、巩固练习1已知一个

15、矩形的周长是100 cm，设它的一边长为x cm，则它的另一边长为_cm，若设面积为s cm2，则s与x的函数关系式是_，自变量x的取值范围是_当x等于_cm时，s最大，为_ cm2.2已知：正方形ABCD的边长为4，E是BC上任意一点，且AE=AF，若EC=x，请写出AEF的面积y与x之间的函数关系式，并求出x为何值时y最大参考答案：150x，s=x(50x)，0x50，25，625 2yx24x，当x4时，y有最大值8四、课堂小结今天学习了什么，有什么收获？五、布置作业习题22.3 第1、4题第2课时教学内容22.3 实际问题与二次函数（2）教学目标1会求二次函数yax2bxc的最小（大）

16、值2能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小（大）值等实际问题3根据不同条件设自变量x求二次函数的关系式教学重点1根据不同条件设自变量x求二次函数的关系式2求二次函数yax2bxc的最小（大）值教学难点将实际问题转化成二次函数问题教学过程 一、导入新课复习利用二次函数解决实际问题的过程导入新课的教学 二、新课教学1探究2：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？教师引导学生阅读问题，理清自变量和变量，根据不同情况列出函

17、数关系式具体步骤见教材第50页2巩固练习重庆某区地理环境偏僻，严重制约经济发展，丰富的花木产品只能在本地销售，区政府对该花木产品每投资x万元，所获利润为P(x30)210万元，为了响应我国西部大开发的宏伟决策，区政府在制定经济发展的10年规划时，拟开发此花木产品，而开发前后可用于该项目投资的专项资金每年最多50万元，若开发该产品，在前5年中，必须每年从专项资金中拿出25万元投资修通一条公路，且5年修通，公路修通后，花木产品除在本地销售外，还可运往外地销售，运往外地销售的花木产品，每投资x万元可获利润Q(50x)2(50x)308万元（1）若不进行开发，求10年所获利润最大值是多少?（2）若按此

18、规划开发，求10年所获利润的最大值是多少?（3）根据（1）（2）计算的结果，请你用一句话谈谈你的想法教师引导学生先自主分析，小组进行讨论在学生分析、讨论过程中，对学生进行学法引导，引导学生先了解二次函数的基本性质，并学会从实际问题中抽象出二次函数的模型，借助二次函数的性质来解决这类实际应用题解：（1）若不开发此产品，按原来的投资方式，由P(x30)210知道，只需从50万元专款中拿出30万元投资，每年即可获最大利润10万元，则10年的最大利润为M11010100万元（2）若对该产品开发，在前5年中，当x25时，每年最大利润是：P(2530)2109.5（万元）则前5年的最大利润为M29.554

19、7.5万元设后5年中x万元就是用于本地销售的投资，则由Q(50x)(50x)308知，将余下的(50x)万元全部用于外地销售的投资才有可能获得最大利润则后5年的利润是 M3(x30)2105(x2x308)55(x20)23500故当x20时，M3取得最大值为3500万元10年的最大利润为MM2M33547.5万元（3）因为3547.5100，所以该项目有极大的开发价值三、课堂小结 今天你学习了什么？有什么收获？四、布置作业习题22.3 第8题第3课时教学内容22.3 实际问题与二次函数（3）教学目标1根据不同条件建立合适的直角坐标系2能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解

20、决最小（大）值等实际问题教学重点1根据不同条件建立合适的直角坐标系2将实际问题转化成二次函数问题教学难点将实际问题转化成二次函数问题教学过程一、导入新课复习二次函数yax2的性质和特点，导入新课的教学二、新课教学探究3 下图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4 m水面下降1 m，水面宽度增加多少？教师引导学生审题，然后根据条件建立直角坐标系怎样建立直角坐标系呢？因为二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数为解题简便，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系教师可让学生自己建立直角坐标系，然后求出二次函数的解析式设这条抛物线表示的二

21、次函数为yax2由抛物线经过点(2，2)，可得这条抛物线表示的二次函数为yx2当水面下降1m时，水面宽度就增加24 m三、巩固练习一个涵洞成抛物线形，它的截面如右图所示，现测得，当水面宽AB1.6 m时，涵洞顶点与水面的距离为2.4 m这时，离开水面1.5 m处，涵洞宽ED是多少？是否会超过1 m？分析：根据已知条件，要求ED的宽，只要求出FD的长度在如右图的直角坐标系中，即只要求出D点的横坐标因为点D在涵洞所成的抛物线上，又由已知条件可得到点D的纵坐标，所以利用抛物线的函数关系式可以进一步算出点D的横坐标2让学生完成解答，教师巡视指导3教师分析存在的问题，书写解答过程解：以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立直角坐标系这时，涵洞的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式为 yax2 (a0) 因为AB与y轴相交于C点，所以CB0.8（m），又OC2.4 m，所以点B的坐标是(0.8，2.4)因为点B在抛物线上，将它的坐标代人，得2.4a0.82 所以 a因此，函数关系式是 yx2 OC2.4 m，FC1.5 m，OF2.41.50.9（m）将y0.9代入式得0.9x2解得 x1，x2涵洞宽ED20.981四、课堂小结今天你学习了什么？有什么收获？五、布置作业习题22.3 第6、7题