学年最新沪科版八年级数学上册《角平分线的性质及判定》教案优质课教案.docx

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学年最新沪科版八年级数学上册《角平分线的性质及判定》教案优质课教案

第2课时　角平分线的性质及判定

1．会叙述角的平分线的性质及判定；（重点）

2．能利用三角形全等，证明角平分线的性质定理，理解和掌握角平分线性质定理和它的逆定理．能应用这两个性质解决一些简单的实际问题；（难点）

3．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．

一、情境导入

在S区有一个集贸市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路．

问题1：

怎样修建道路最短？

问题2：

往哪条路走更近呢？

二、合作探究

探究点一：

角平分线的性质

【类型一】利用角平分线的性质求线段的长度

如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，∠BAC的平分线AD交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝7cm，则△DBE的周长是____________．

解析：

在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，∠BAC的平分线AD交BC于D，DE⊥AB于E，根据角平分线的性质，可得CD＝ED，AC＝AE＝BC，继而可得△DBE的周长＝AB.故答案为7cm.

方法总结：

此题考查了角平分线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．从题目提供的信息找出求证的思路是解题的关键，读懂题目信息比较重要．

【类型二】角平分线的性质和三角形面积的综合

如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是（　　）

A．6B．5C．4D．3

解析：

过点D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DF＝DE＝2，∴S△ABC＝

×4×2＋

AC×2＝7，解得AC＝3.故选D.

方法总结：

利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法．

【类型三】利用角平分线的性质证明线段相等

如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF.求证：

（1）CF＝EB；

（2）AB＝AF＋2EB.

解析：

（1）根据角平分线的性质，可得点D到AB的距离等于点D到AC的距离，即CD＝DE.再根据Rt△CFD≌Rt△EBD，得CF＝EB；

（2）利用角平分线的性质证明△ADC和△ADE全等得到AC＝AE，然后通过线段之间的相互转化进行证明．

证明：

（1）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC.在Rt△DCF和Rt△DEB中，∵

∴Rt△CFD≌Rt△EBD（HL），∴CF＝EB；

（2）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴CD＝DE.在Rt△ADC与Rt△ADE中，

∵

∴Rt△ADC≌Rt△ADE（HL），∴AC＝AE，∴AB＝AE＋BE＝AC＋EB＝AF＋CF＋EB＝AF＋2EB.

方法总结：

角平分线的性质是判定线段相等的一个重要依据，在运用时一定要注意是两条“垂线段”相等．

探究点二：

角平分线的判定

【类型一】判断点是否在角平分线上

如图，已知点P到BE，BD，AC的距离恰好相等，则点P的位置：

①在∠B的平分线上；②在∠DAC的平分线上；③在∠ECA的平分线上；④恰是∠B，∠DAC，∠ECA三条角平分线的交点，上述结论中，正确结论的个数有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

解析：

利用角平分线性质的逆定理分析．由已知点P到BE，BD，AC的距离恰好相等进行思考，首先考虑到两边距离相等，得出结论，然后考虑到另外两边距离相等再得结论，如此这样，答案可得．由角平分线性质的逆定理，可得①②③④都正确．故选D.

方法总结：

此题主要考查角平分线性质的逆定理：

角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．解答时，可分别处理，逐个验证．

【类型二】角平分线的判定

如图，BE＝CF，DE⊥AB交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC，求证：

AD是∠BAC的平分线．

解析：

先判定Rt△BDE和Rt△CDF全等，得出DE＝DF，再由角平分线的判定可知AD是∠BAC的平分线．

证明：

∵DE⊥AB交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，∴∠BED＝∠CFD＝90°，∴△BDE与△CDF是直角三角形．在Rt△BDE和Rt△CDF中，∵

∴Rt△BDE≌Rt△CDF，∴DE＝DF，∴AD是∠BAC的平分线．

方法总结：

证明一条射线是角平分线的方法有两种：

一是利用三角形全等证明两角相等；二是角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上．

探究点三：

三角形角平分线的应用

已知：

如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个塔台，若要求它到三条公路的距离都相等，试问：

（1）可选择的地点有几处？

（2）你能画出塔台的位置吗？

解析：

（1）根据角平分线的性质得出符合条件的点有4处．

（2）作出直线l1，l2，l3两两相交组成的角的平分线，平分线的交点就是所求的点．

解：

（1）可选择的地点有4处，如图：

P1、P2、P3、P4，共4处；

（2）能，如图，根据角平分线的性质作三条直线相交所成的角的平分线，平分线的交点就是所求的点．

方法总结：

三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，反过来，到三角形三边距离相等的点，即为三角形内角平分线的交点，这一结论在以后的学习中经常遇到．

三、板书设计

角平分线是初中数学中重要的概念，它有着十分重要的性质，通过本节的学习，可以丰富和加深学生对已学图形的认识，同时为学习其他图形知识打好基础．教学时用数学语言叙述角平分线的性质定理和判定定理，让学生熟悉这两个定理的条件和结论后，再出一些具体的题目让学生在情境当中运用这两个定理．在证明定理时注重分析思路，学生学会思考问题，注重书写格式，让学生学会清楚的表达思考的过程．在证明的选题上，注意减缓难度，循序渐进．