文科高考导数练习题.docx

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文科高考导数练习题

导数高中数学组卷 （附参考答案）

一．选择题（共 22 小题）

1．（2015•绵阳模拟）设函数 f（x）=ax3+3bx（a，b 为实数，a＜0，b＞0），当 x∈[0，1]时，有 f（x）∈[0，1]，则

b 的最大值是（）

A．B．C．D．

2．（2015•红河州一模）若函数 f（x）= x3+x2﹣ 在区间（a，a+5）内存在最小值，则实数 a 的取值范围是（）

A．[﹣5，0）B．（﹣5，0）C．[﹣3，0）D．（﹣3，0）

3．（2015•开封模拟）函数 f（x）=lnx+ax 存在与直线 2x﹣y=0 平行的切线，则实数 a 的取值范围是（）

A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，2）C．[0，+∞）D．（2，+∞）

4．（2015•泸州模拟）设函数 f（x）=ax3+3x，其图象在点（1，f

（1））处的切线 l 与直线 x﹣6y﹣7=0 垂直，则直线

l 与坐标轴围成的三角形的面积为（）

A．1

B．3           C．9

D．12

5．（2014•郑州一模）已知曲线

的一条切线的斜率为 ，则切点的横坐标为（   ）

A．3

B．2

C．1

D．

6．（2014•郑州模拟）曲线

在点

处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（   ）

A．

B．

C．

D．

7．（2014•西藏一模）已知曲线

的一条切线的斜率为 ，则切点的横坐标为（   ）

A．1B．2

C．3

D．4

8．（2014•广西）曲线 y=xex﹣ 在点（1，1）处切线的斜率等于（）

A．2eB．e

C．2

D．1

9．（2014•武汉模拟）若函数 f（x）=x2+ax+

是增函数，则 a 的取值范围是（   ）

A．[﹣1，0]B．[﹣1，∞]

C．[0，3]

D．[3，+∞]

10．（2014•包头一模）已知函数 y=x3﹣3x+c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，则 c=（）

A．﹣2 或 2B．﹣9 或 3C．﹣1 或 1D．﹣3 或 1

11．（2014•郑州模拟）已知 f（x）=x2+2xf′

（1），则 f′（0）等于（）

A．0B．﹣4C．﹣2D．2

12．（2014•江西二模）已知函数 f（x）=x2+f′

（2）（lnx﹣x），则 f′

（1）=（）

A．1

B．2           C．3

D．4

13．（2014•上海二模）已知 f（x）=（2x+1）3﹣

A．4B．5C．﹣2

+3a，若 f′（﹣1）=8，则 f（﹣1）=（   ）

D．﹣3

14．（2014•菏泽一模）已知函数 f（x）=x2﹣cosx，则 f（0.6），f（0），f（﹣0.5）的大小关系是（）

A．（0）＜（﹣0.5） ．f（0）＜f（0.6） ．f（0.6）＜f（﹣D．（﹣0.5）＜（0）

＜f（0.6）＜f（﹣0.5）0.5）＜f（0）＜f（0.6）

15．（2014•呼伦贝尔一模）若函数 f（x）= x3﹣ ax2+（a﹣1）x+1 在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）

为增函数，则实数 a 的取值范围是（）

A．（﹣∞，2]B．[5，7]C．[4，6]

D．（﹣∞，5]∪[7，

+∞）

16．（2014•福建模拟）函数 f（x）=﹣x3+3x2﹣4 的单调递增区间是（）

A．（﹣∞，0）B．（﹣2，0）C．（0，2）D．（2，+∞）

17．（2014•佛山二模）已知函数 f（x）=x2﹣cosx，x∈R，则（）

ff

＞f（﹣

）     ＞f（﹣  ）     ＞f（  ）         ）＞f

（1）

18．（2014•江西模拟）已知 m 是区间[0，4]内任取的一个数，那么函数 f（x）= x3﹣2x2+m2x+3 在 x∈R 上是增函

数的概率是（）

A．B．

C．            D．

19．（2014•宁德模拟）函数 f（x）=x﹣sinx 是（）

A．奇函数且单调 B．奇函数且单调

递增递减

C．偶函数且单调 D．偶函数且单调

递增递减

20．（2014•梧州模拟）已知 f（x）=﹣x3+ax 在（﹣∞，﹣1]上单调递减，则 a 的取值范围是（）

A．（﹣∞，1]B．[1，+∞）C．（﹣∞，3]D．[3，+∞）

21．（2014•揭阳模拟）关于函数 f（x）=x3﹣3x+1，下列说法正确的是（）

A．f（x）是奇函数

且 x=﹣1 处取得

极小值

B．f（x）是奇函数

且 x=1 处取得极

小值

C．f（x）是非奇非

偶函数且 x=﹣1

处取得极小值

D．f（x）是非奇非

偶函数且 x=1 处

取得极小值

22．（2014•贵州模拟）函数 y=ax3+bx2 取得极大值和极小值时的 x 的值分别为 0 和 ，则（）

A．a﹣2b=0B．2a﹣b=0C．2a+b=0

D．a+2b=0

二．填空题（共 2 小题）

23．（2015•广东模拟）函数 f（x）=xlnx 在点（e，f（e））处的切线方程为_________．

24． 2015•赤峰模拟）已知 f（x）=x3﹣3x2+2x+a，若 f（x）在 R 上的极值点分别为 m，n，则 m+n=_________．

三．解答题（共 6 小题）

25．（2015•路南区二模）已知函数 f（x）=ax2﹣ex（a∈R）

（Ⅰ）当 a=1 时，判断函数 f（x）的单调区间并给予证明；

（Ⅱ）若 f（x）有两个极值点 x1，x2（x1＜x2），证明：

﹣ ＜f（x1）＜﹣1．

26．（2015•汕尾模拟）已知函数 f（x）=x3+bx2+cx 的极值点为 x=﹣ 和 x=1

（1）求 b，c 的值与 f（x）的单调区间

（2）当 x∈[﹣1，2]时，不等式 f（x）＜m 恒成立，求实数 m 的取值范围．

27．（2015•南昌模拟）函数 f（x）=x﹣alnx﹣2．

（Ⅰ）求 f（x）的单调区间；

（Ⅱ）a=1 时，不等式 f（x）+（b+1）f′（x）＜x﹣1 对 x＞1 恒成立，求正整数 b 的取值集合．

28．（2015•安徽一模）已知函数 f（x）=b+（1﹣2a）x+x2﹣x3．

（I）讨论 f（x）在其定义域上的单调性；

（II）设曲线 y=f（x）在点（1，f

（1））处的切线方程为 y=4x﹣1，求函数 f（x）在定义域上的极小值．

29．（2015•重庆一模）已知函数

（1）当 a=0 时，求 f（x）的极值；

（2）若 f（x）在区间

上是增函数，求实数 a 的取值范围．

30．（2014•广西）函数 f（x）=ax3+3x2+3x（a≠0）．

（Ⅰ）讨论 f（x）的单调性；

（Ⅱ）若 f（x）在区间（1，2）是增函数，求 a 的取值范围．

导数高中数学组卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共 22 小题）

1．（2015•绵阳模拟）设函数 f（x）=ax3+3bx（a，b 为实数，a＜0，b＞0），当 x∈[0，1]时，有 f（x）∈[0，1]，则

b 的最大值是（）

A．

考点：

专题：

分析：

解答：

B．            C．            D．

利用导数求闭区间上函数的最值．

计算题．

求导数，利用函数的单调性，结合 x∈[0，1]时，有 f（x）∈[0，1]，即可 b 的最大值．

解：

∵f（x）=ax3+3bx，∴f′（x）=3ax2+3b

令 f′（x）=0，可得 x=

，

①

≥1，则 f（x）max=f

（1）=1，∴b∈（0， ]；

②0＜

＜1，f（x）max=f（

）=1，f

（1）≥0，∴b∈（ ，  ]．

∴b 的最大值是

．

故选：

C．

点评：

本题考查导数知识的运用，考查函数的值域，考查学生的计算能力，属于中档题．

2．（2015•红河州一模）若函数 f（x）= x3+x2﹣ 在区间（a，a+5）内存在最小值，则实数 a 的取值范围是（）

A．[﹣5，0）B．（﹣5，0） C． [ ﹣3，0）D． （﹣3，0）

考点：

利用导数求闭区间上函数的最值．

专题：

计算题；作图题；导数的综合应用．

分析：

由题意，求导 f′（x）=x2+2x=x（x+2）确定函数的单调性，从而作出函数的简图，由图象求实数 a

的取值范围．

解答：

解：

由题意，f′（x）=x2+2x=x（x+2），

故 f（x）在（﹣∞，﹣2），（0，+∞）上是增函数，

在（﹣2，0）上是减函数，

作其图象如右图，

令 x3+x2﹣ =﹣ 得，

x=0 或 x=﹣3；

则结合图象可知，

；

解得，a∈[﹣3，0）；

故选 C．

点评：

本题考查了导数的综合应用及学生作图识图的能力，属于中档题．

3．（2015•开封模拟）函数 f（x）=lnx+ax 存在与直线 2x﹣y=0 平行的切线，则实数 a 的取值范围是（）

A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，2） C． [0 ，+∞）D． （2，+∞）

考点：

利用导数研究曲线上某点切线方程．

专题：

导数的概念及应用．

分析：

问题等价于 f′（x）=2 在（0，+∞）上有解，分离出参数 a，转化为求函数值域问题即可．

解答：

解：

函数 f（x）=lnx+ax 存在与直线 2x﹣y=0 平行的切线，即 f′（x）=2 在（0，+∞）上有解，

而 f′（x）= +a，即 +a=2 在（0，+∞）上有解，a=2﹣ ，因为 x＞0，所以 2﹣ ＜2，

所以 a 的取值范围是（﹣∞，2）．

故选 B．

点评：

本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程问题，注意体会转化思想在本题中的应用．

4．（2015•泸州模拟）设函数 f（x）=ax3+3x，其图象在点（1，f

（1））处的切线 l 与直线 x﹣6y﹣7=0 垂直，则直线

l 与坐标轴围成的三角形的面积为（）

A．1B．3C．9D． 12

考点：

利用导数研究曲线上某点切线方程．

专题：

导数的综合应用．

分析：

求出原函数的导函数，得到 f

（1）=3a+3，由 3a+3=﹣6 求得 a 的值，代入原函数解析式，求出 

（1），

由直线方程的点斜式得到 l 的方程，求出其在两坐标轴上的截距，由三角形的面积公式得答案．

解答：

解：

由 f（x）=ax3+3x，得

f′（x）=3ax2+3，f′

（1）=3a+3．

∵函数 f（x）=ax3+3x 在点（1，f

（1））处的切线 l 与直线 x﹣6y﹣7=0 垂直，

∴3a+3=﹣6，解得 a=﹣3．

∴f（x）=﹣3x3+3x，

则 f

（1）=﹣3+3=0．

∴切线方程为 y=﹣6（x﹣1），

即 6x+y﹣6=0．

取 x=0，得 y=6，取 y=0，得 x=1．

∴直线 l 与坐标轴围成的三角形的面积为．

故选：

B．

点评：

本题考查了利用导数研究函数在某点处的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该

点处的导数值，是中档题．

5．（2014•郑州一模）已知曲线

的一条切线的斜率为 ，则切点的横坐标为（   ）

A．

3  B．

2  C．         1  D．

考点：

分析：

解答：

∵曲线

导数的几何意义．

根据斜率，对已知函数求导，解出横坐标，要注意自变量的取值区间．

解：

设切点的横坐标为（x0，y0）

的一条切线的斜率为 ，

∴y′=﹣= ，解得 x0=3 或 x0=﹣2（舍去，不符合题意），即切点的横坐标为 3

故选 A．

点评：

考查导数的几何意义，属于基础题，对于一个给定的函数来说，要考虑它的定义域．比如，该题的

定义域为{x＞0}．

6．（2014•郑州模拟）曲线

在点

处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（   ）

A．

考点：

专题：

B．

导数的几何意义．

压轴题．

C．

D．

分析：

（1）首先利用导数的几何意义，求出曲线在 P（x0，y0）处的切线斜率，进而得到切线方程；

（2）

利用切线方程与坐标轴直线方程求出交点坐标（3）利用面积公式求出面积．

解答：

解：

若 y= x3+x，则 y′|x=1=2，即曲线

在点         处的切线方程是                ，

它与坐标轴的交点是（ ，0），（0，﹣ ），围成的三角形面积为 ，故选 A．

点评：

函数 y=f（x）在 x=x0 处的导数的几何意义，就是曲线 y=f（x）在点 P（x0，y0）处的切线的斜率，

过点 P 的切线方程为：

y﹣y0=f′（x0）（x﹣x0）

7．（2014•西藏一模）已知曲线

的一条切线的斜率为 ，则切点的横坐标为（   ）

A．

1  B．

2  C．         3  D． 4

考点：

分析：

解答：

导数的几何意义．

利用导数的几何意义，列出关于斜率的等式，进而得到切点横坐标．

解：

已知曲线     的一条切线的斜率为 ，∵       = ，

∴x=1，则切点的横坐标为 1，

故选 A．

点评：

函数 y=f（x）在 x=x0 处的导数的几何意义，就是曲线 y=f（x）在点 P（x0，y0）处的切线的斜率．应

熟练掌握斜率与导数的关系．

8．（2014•广西）曲线 y=xex﹣1 在点（1，1）处切线的斜率等于（）

A．2e B．eC．2D． 1

考点：

导数的几何意义．

专题：

导数的概念及应用．

分析：

求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出对应的切线斜率．

解答：

解：

函数的导数为 f′（x）=ex﹣1+xex﹣1=（1+x）ex﹣1，

当 x=1 时，f′

（1）=2，

即曲线 y=xex﹣1 在点（1，1）处切线的斜率 k=f′

（1）=2，

故选：

C．

点评：

本题主要考查导数的几何意义，直接求函数的导数是解决本题的关键，比较基础．

9．（2014•武汉模拟）若函数 f（x）=x2+ax+

是增函数，则 a 的取值范围是（   ）

A．

考点：

专题：

[﹣1，0]        B．

利用导数研究函数的单调性．

导数的综合应用．

[﹣1，∞]  C． [0 ，3]  D． [3，+∞]

分析：

由函数                 在（ ，+∞）上是增函数，可得

≥0 在（ ，+∞）

上恒成立，进而可转化为 a≥

a 的取值范围．

﹣2x 在（ ，+∞）上恒成立，构造函数求出

﹣2x 在（ ，+∞）上的最值，可得

解答：

故

即 a≥

解：

∵                 在（ ，+∞）上是增函数

≥0 在（ ，+∞）上恒成立

﹣2x 在（ ，+∞）上恒成立

令 h（x）=

则 h′（x）=﹣

﹣2x，

﹣2

当 x∈（ ，+∞）时，h′（x）＜0，则 h（x）为减函数

∴h（x）＜h（ ）=3

∴a≥3

故选 D

点评：

本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，恒成立问题，是导数的综合应用，难度中档．

10．（2014•包头一模）已知函数 y=x3﹣3x+c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，则 c=（）

A．﹣2 或 2B．﹣9 或 3 C． ﹣1 或 1 D． ﹣3 或 1

考点：

利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系．

专题：

计算题．

分析：

求导函数，确定函数的单调性，确定函数的极值点，利用函数 y=x3﹣3x+c 的图象与 x 轴恰有两个公

共点，可得极大值等于 0 或极小值等于 0，由此可求 c 的值．

解答：

解：

求导函数可得 y′=3（x+1）（x﹣1）

令 y′＞0，可得 x＞1 或 x＜﹣1；令 y′＜0，可得﹣1＜x＜1；

∴函数在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调增，（﹣1，1）上单调减

∴函数在 x=﹣1 处取得极大值，在 x=1 处取得极小值

∵函数 y=x3﹣3x+c 的图象与 x 轴恰有两个公共点

∴极大值等于 0 或极小值等于 0

∴1﹣3+c=0 或﹣1+3+c=0

∴c=﹣2 或 2

故选 A．

点评：

本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，解题的关键是利用极大值等于0 或极小值等

于 0．

11．（2014•郑州模拟）已知 f（x）=x2+2xf′

（1），则 f′（0）等于（）

A．0B．﹣4C．﹣2D． 2

考点：

导数的运算．

专题：

导数的概念及应用．

分析：

把给出的函数求导得其导函数，在导函数解析式中取 x=1 可求 2f′

（1）的值．

解答：

解：

由 f（x）=x2+2xf′

（1），

得：

f′（x）=2x+2f′

（1），

取 x=1 得：

f′

（1）=2×1+2f′

（1），

所以，f′

（1）=﹣2．

故 f′（0）=2f′

（1）=﹣4，

故答案为：

B．

点评：

本题考查了导数运算，解答此题的关键是理解原函数解析式中的 f′

（1），在这里 f′

（1）只是一个常

数，此题是基础题．

12．（2014•江西二模）已知函数 f（x）=x2+f′

（2）（lnx﹣x），则 f′

（1）=（）

A．1B．2C．3D． 4

考点：

导数的运算．

专题：

导数的概念及应用．

分析：

f′

（2）是一个常数，对函数 f（x）求导，能直接求出 f′

（1）的值．

解答：

解：

∵f（x）=x2+f′

（2）（lnx﹣x），

∴f′（x）=2x+f′

（2）（ ﹣1）；

∴f′

（1）=2×1+f′

（2）×（1﹣1）=2．

故选：

B．

点评：

本题考查了利用求导法则求函数的导函数问题，解题时应知f′

（2）是一个常数，根据求导法则进行

计算即可，是基础题．

13．（2014•上海二模）已知 f（x）=（2x+1）3﹣

+3a，若 f′（﹣1）=8，则 f（﹣1）=（   ）

A．

考点：

专题：

4  B．         5 C．

导数的加法与减法法则．

计算题．

﹣2D． ﹣3

分析：

先求出函数的导数，再把 x=﹣1 代入 f′（x）的解析式得到 f'（﹣1），再由 f'（﹣1）=8，求得 a 的

值，即可得到函数 f（x）的解析式，从而求得 f（﹣1）的值．

解答：

解：

已知

，

∴f′（x）=3（2x+1）2×2+

，

∵f'（﹣1）=8，

∴3×2+2a=8，故有 a=1，

∴=，

∴f（﹣1）=﹣1+2+3=4，

故选 A．

点评：

本题主要考查函数在某一点的导数的定义，求一个函数的导数的方法，属于基础题．

14．（2014•菏泽一模）已知函数 f（x）=x2﹣cosx，则 f（0.6），f（0），f（﹣0.5）的大小关系是（）

A．f（0）＜f（﹣0.5）＜f（0.6）B．f（0）＜f（0.6）＜f（﹣0.5）C． f （0.6）

＜f（﹣0.5）＜f（0） D．f（﹣0.5）＜f（0）＜f（0.6）

考点：

利用导数研究函数的单调性；奇偶性与单调性的综合．

专题：

导数的综合应用．

分析：

由 f（x）=x2﹣cosx 为偶函数，得 f（﹣0.5）=f（0.5），只须比较 f（0.6），f（0），f（﹣0.5）的大小

关系即可．

解答：

解：

∵f（﹣x）=（﹣x）2﹣cos（﹣x）=x2﹣cosx=f（x），

∴f（x）是偶函数；

∴f（﹣0.5）=f（0.5）；

又∵f′（x）=2x+sinx，

当 x∈（0，1）时，f′（x）＞0，

∴f（x）在（0，1）上是增函数，

∴f（0）＜f（0.5）＜f（0.6）；

即 f（0）＜f（﹣0.5）＜f（0.6）．

故选：

A．

点评：

本题考查了利用导数判定函数的单调性并比较函数值的大小问题，是基础题．

15．（2014•呼伦贝尔一模）若函数 f（x）= x3﹣ ax2+（a﹣1）x+1 在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）

为增函数，则实数 a 的取值范围是（）

A．（﹣∞，2]B．[5，7]C． [4 ，6]D． （﹣∞，5]∪[7，+∞）

考点：

利用导数研究函数的单调性．

专题：

导数的综合应用．

分析：

求出原函数的导函数，求得导函数的零点 1，a﹣1，然后分 1 与 a﹣1 的大小分析导函数在不同区间

内的符号，从而得到原函数在不同区间内的单调性，最后借助于已知条件得到a﹣1 与 4 和 6 的关系，则答案可求．

解答：

解：

由函数                                  ，

得 f′（x）=x2﹣ax+a﹣1．

令 f′（x）=0，解得 x=1 或 x=a﹣1．

当 a﹣1≤1，即 a≤2 时，f′（x）在（1，+∞）上大于 0，函数 f（x）在（1，+∞）上为增函数，不合题意；

当 a﹣1＞1，即 a＞2 时，f′（x）在（﹣∞，1）上大于 0，函数 f（x）在（﹣∞，1）上为增函数，

f′（x）在（1，a﹣1）内小于 0，函数 f（x）在（1，a﹣1）内为减函数，f′（x）在（a﹣1，+∞）内大于 0，

函数 f（x）在（a﹣1，+∞）上为增函数．

依题意应有：

当 x∈（1，4）时，f′（x）＜0，

当 x∈（6，+∞）时，f′（x）＞0．

∴4≤a﹣1≤6，解得 5≤a≤7．

∴a 的取值范围是[5，7]．

故选：

B．

点评：

本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了分类讨论的数学思想方法，采用了逆向思维方法，

解答的关键是对端点值的取舍，是中档题．

16．（2014•福建模拟）函数 f（x）=﹣x3+3x2﹣4 的单调递增区间是（）

A．（﹣∞，0）B．（﹣2，0） C． （0，2）

考点：

利用导数研究函数的单调性．

专题：

导数的概念及应用．

分析：

利用导数求解，由 f′（x）＞0 得，0＜x＜2．

解答：

解：

∵f′（x）=﹣3x2+6x=﹣3x（x﹣2）

∴由 f′（x）＞0 得，0＜x＜2．

∴f（x）的递增区间是（0，2）．

故选 C．

点评：

本题主要考查利用导数求函数的单调区间的方法，属基础题．

17．（2014•佛山二模）已知函数 f（x）=x2﹣cosx，x∈R，则（）

D． （2，+∞）

A．

＞f

（1）＞f（

f（

）  D．

）＞f

（1）＞f（﹣

f（

）

）＞f（﹣

B．   f

（1）＞f（  ）＞f（﹣  ） C． （﹣  ）

）＞f

（1）

考点：

专题：

分析：

利用导数研究函数的单调性．

导数的概念及应用．

由 f（x）=x2﹣cosx 得，f（x）为偶函数且在（0，

）上是增函数，利用函数单调性及奇偶性的性

质得出结论．

解答：

解：

∵f′（x）=2x+sinx，

∴当 x∈（0，）时，f′（x）=2x+sinx＞0，