初三数学上圆中常见【辅助线】的作法.docx

初三数学上圆中常见【辅助线】的作法.docx

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1、遇到弦时（解决有关弦的问题时）

常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。

作用：

①利用垂径定理；

②圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；

③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。

【例题】如图,在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D二点。

求证：

AC=BD

证明:

过O作OE⊥AB于E，

则OE⊥CD，∵OE过O，

∴由垂径定理得：

AE=BE，CE=DE，

∴AE-CE=BE-DE，即AC=BD．

故答案为：

过O作OE⊥AB于E，

则OE⊥CD，∵OE过O，

∴由垂径定理得：

AE=BE，CE=DE，

∴AE-CE=BE-DE，即AC=BD．

2、遇到90度的圆周角时

常常连结两条弦没有公共点的另一端点

作用：

利用圆周角的性质，可得到直径。

【例题】如图，在Rt△ABC中,∠BCA=90o,以BC为直径的⊙O交AB于E,D为AC中点，连结BD交⊙O于F。

求证：

BC/BE=CF/EF

证明：

连结CE．

∵BC为⊙O的直径，

∴∠BFC为90°，∠BEC为90°．

又∵∠ACB＝90°，∴∠ECB=∠BAC.

∵∠ECB=∠BAC，∠EFB=∠ECB，∴∠BAC=∠EFB.

∵∠BAC=∠EFB，∠ABD公用，

∴△BEF∽△BDA.∴EF/BE=AD/BD.

∵∠BFC=∠ACB=90°，∠CBD公用，∴△CBF∽△DBC.

∴CDBD=CFBC.

∵D为AC中点，∴AD=CD，

∴EF/BE=CF/BC.

∴BC/BE=CF/EF.

3、遇到有直径时

常常添加（画）直径所对的圆周角

作用：

利用圆周角的性质得到直角或直角三角形。

4.遇到弦时

常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。

作用：

①可得等腰三角形；

②据圆周角的性质可得相等的圆周角。

5.遇到有切线时

①添加过切点的半径（连结圆心和切点）

作用：

利用切线的性质定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角形。

②添加连结圆上一点和切点

作用：

可构成弦切角，从而利用弦切角定理。

6.遇到证明某一直线是圆的切线时

（1）若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段。

作用：

若OA=r，则l为切线。

（2）若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径）

作用：

只需证OA⊥l，则l为切线。

（3）有遇到圆上或圆外一点作圆的切线。

7.遇到两相交切线时（切线长）

常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。

作用：

据切线长及其它性质，可得到

①角、线段的等量关系；

②垂直关系；

③全等、相似三角形。

8、遇到三角形的内切圆时

连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段

作用：

利用内心的性质，可得

①内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线；

②内心到三角形三条边的距离相等。

9、遇到三角形的外接圆时

连结外心和各顶点

作用：

外心到三角形各顶点的距离相等。

10、遇到两圆外离时

（解决有关两圆的外、内公切线的问题）常常作出过切点的半径、连心线、平移公切线，或平移连心线。

作用：

①利用切线的性质；

②利用解直角三角形的有关知识。

11、遇到两圆相交时

常常作公共弦、两圆连心线、连结交点和圆心等

作用：

①利用连心线的性质、解直角三角形有关知识；②利用圆内接四边形的性质；

③利用两圆公共的圆周的性质；

④垂径定理。

12、遇到两圆相切时

常常作连心线、公切线

作用：

①利用连心线性质；②切线性质等。

13、遇到三个圆两两外切时

常常作每两个圆的连心线

作用：

可利用连心线性质。

14、遇到四边形对角互补或两个三角形同底并在底的同向且有相等“顶角”时

常常添加辅助圆

作用：

以便利用圆的性质。