湖北省各地市中考《二次函数》压轴题精编含答案解析.docx

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湖北省各地市中考《二次函数》压轴题精编含答案解析

2018年湖北省各地市中考《二次函数》压轴题精编（解析版）

（地市排序不分先后）

一．解答题（共11小题）

1．（潜江、江汉油田、天门、仙桃市）抛物线y=﹣

x2+

x﹣1与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其顶点为D．将抛物线位于直线l：

y=t（t＜

）上方的部分沿直线l向下翻折，抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“M”形的新图象．

（1）点A，B，D的坐标分别为　　，　　，　　；

（2）如图①，抛物线翻折后，点D落在点E处．当点E在△ABC内（含边界）时，求t的取值范围；

（3）如图②，当t=0时，若Q是“M”形新图象上一动点，是否存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2．（黄石）已知抛物线y=a（x﹣1）2过点（3，1），D为抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点B、C均在抛物线上，其中点B（0，

），且∠BDC=90°，求点C的坐标；

（3）如图，直线y=kx+4﹣k与抛物线交于P、Q两点．

①求证：

∠PDQ=90°；

②求△PDQ面积的最小值．

3．（荆门）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于原点及点A，且经过点B（4，8），对称轴为直线x=﹣2．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设直线y=kx+4与抛物线两交点的横坐标分别为x1，x2（x1＜x2），当

时，求k的值；

（3）连接OB，点P为x轴下方抛物线上一动点，过点P作OB的平行线交直线AB于点Q，当S△POQ：

S△BOQ=1：

2时，求出点P的坐标．

（坐标平面内两点M（x1，y1），N（x2，y2）之间的距离MN=

）

4．（宜昌）如图，在平面直角坐标系中，矩形OADB的顶点A，B的坐标分别为A（﹣6，0），B（0，4）．过点C（﹣6，1）的双曲线

（k≠0）与矩形OADB的边BD交于点E．

（1）填空：

OA=　　，k=　　，点E的坐标为

　　；

（2）当1≤t≤6时，经过点M（t﹣1，﹣

t2+5t﹣

）与点N（﹣t﹣3，﹣

t2+3t﹣

）的直线交y轴于点F，点P是过M，N两点的抛物线y=﹣

x2+bx+c的顶点．

①当点P在双曲线

上时，求证：

直线MN与双曲线

没有公共点；

②当抛物线y=﹣

x2+bx+c与矩形OADB有且只有三个公共点，求t的值；

③当点F和点P随着t的变化同时向上运动时，求t的取值范围，并求在运动过程中直线MN在四边形OAEB中扫过的面积．

5．（孝感）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知点A和点B的坐标分别为A（﹣2，0），B（0，﹣6），将Rt△AOB绕点O按顺时针方向分别旋转90°，180°得到Rt△A1OC，Rt△EOF．抛物线C1经过点C，A，B；抛物线C2经过点C，E，F．

（1）点C的坐标为　　，点E的坐标为　　；抛物线C1的解析式为　　．抛物线C2的解析式为　　；

（2）如果点P（x，y）是直线BC上方抛物线C1上的一个动点．

①若∠PCA=∠ABO时，求P点的坐标；

②如图2，过点P作x轴的垂线交直线BC于点M，交抛物线C2于点N，记h=PM+NM+

BM，求h与x的函数关系式，当﹣5≤x≤﹣2时，求h的取值范围．

6．（恩施州）如图，已知抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于C点，A点坐标为（﹣1，0），OC=2，OB=3，点D为抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）P为坐标平面内一点，以B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形，求P点坐标；

（3）若抛物线上有且仅有三个点M1、M2、M3使得△M1BC、△M2BC、△M3BC的面积均为定值S，求出定值S及M1、M2、M3这三个点的坐标．

7．（武汉）抛物线L：

y=﹣x2+bx+c经过点A（0，1），与它的对称轴直线x=1交于点B．

（1）直接写出抛物线L的解析式；

（2）如图1，过定点的直线y=kx﹣k+4（k＜0）与抛物线L交于点M、N．若△BMN的面积等于1，求k的值；

（3）如图2，将抛物线L向上平移m（m＞0）个单位长度得到抛物线L1，抛物线L1与y轴交于点C，过点C作y轴的垂线交抛物线L1于另一点D．F为抛物线L1的对称轴与x轴的交点，P为线段OC上一点．若△PCD与△POF相似，并且符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标．

8．（十堰）已知抛物线y=

x2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（0、﹣4）与x轴交于另一点C，连接BC．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图，P是第一象限内抛物线上一点，且S△PBO=S△PBC，求证：

AP∥BC；

（3）在抛物线上是否存在点D，直线BD交x轴于点E，使△ABE与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似（不重合）？

若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

9．（襄阳）直线y=﹣

x+3交x轴于点A，交y轴于点B，顶点为D的抛物线y=﹣

x2+2mx﹣3m经过点A，交x轴于另一点C，连接BD，AD，CD，如图所示．

（1）直接写出抛物线的解析式和点A，C，D的坐标；

（2）动点P在BD上以每秒2个单位长的速度由点B向点D运动，同时动点Q在CA上以每秒3个单位长的速度由点C向点A运动，当其中一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒．PQ交线段AD于点E．

①当∠DPE=∠CAD时，求t的值；

②过点E作EM⊥BD，垂足为点M，过点P作PN⊥BD交线段AB或AD于点N，当PN=EM时，求t的值．

10．（随州）如图1，抛物线C1：

y=ax2﹣2ax+c（a＜0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．已知点A的坐标为（﹣1，0），点O为坐标原点，OC=3OA，抛物线C1的顶点为G．

（1）求出抛物线C1的解析式，并写出点G的坐标；

（2）如图2，将抛物线C1向下平移k（k＞0）个单位，得到抛物线C2，设C2与x轴的交点为A′、B′，顶点为G′，当△A′B′G′是等边三角形时，求k的值：

（3）在

（2）的条件下，如图3，设点M为x轴正半轴上一动点，过点M作x轴的垂线分别交抛物线C1、C2于P、Q两点，试探究在直线y=﹣1上是否存在点N，使得以P、Q、N为顶点的三角形与△AOQ全等，若存在，直接写出点M，N的坐标：

若不存在，请说明理由．

11．（咸宁）如图，直线y=﹣

x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．抛物线y=﹣

x2+bx+c经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是第一象限抛物线上的点，连接OP交直线AB于点Q．设点P的横坐标为m，PQ与OQ的比值为y，求y与m的函数关系式，并求出PQ与OQ的比值的最大值；

（3）点D是抛物线对称轴上的一动点，连接OD、CD，设△ODC外接圆的圆心为M，当sin∠ODC的值最大时，求点M的坐标．

2018年湖北省各地市中考《二次函数》压轴题精编（解析）

一．解答题（共11小题）

1．（潜江、江汉油田、天门、仙桃市）抛物线y=﹣

x2+

x﹣1与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其顶点为D．将抛物线位于直线l：

y=t（t＜

）上方的部分沿直线l向下翻折，抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“M”形的新图象．

（1）点A，B，D的坐标分别为　　，　　，　　；

（2）如图①，抛物线翻折后，点D落在点E处．当点E在△ABC内（含边界）时，求t的取值范围；

（3）如图②，当t=0时，若Q是“M”形新图象上一动点，是否存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【学会思考】

（1）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A、B的坐标，再利用配方法即可找出抛物线的顶点D的坐标；

（2）由点D的坐标结合对称找出点E的坐标，根据点B、C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可得出关于t的一元一次不等式组，解之即可得出t的取值范围；

（3）假设存在，设点P的坐标为（

m，0），则点Q的横坐标为m，分m＜

或m＞3及

≤m≤3两种情况，利用勾股定理找出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，进而可找出点P的坐标，此题得解．

解：

（1）当y=0时，有﹣

x2+

x﹣1=0，

解得：

x1=

，x2=3，

∴点A的坐标为（

，0），点B的坐标为（3，0）．

∵y=﹣

x2+

x﹣1=﹣

（x2﹣

x）﹣1=﹣

（x﹣

）2+

，

∴点D的坐标为（

，

）．

故答案为：

（

，0）；（3，0）；（

，

）．

（2）∵点E、点D关于直线y=t对称，

∴点E的坐标为（

，2t﹣

）．

当x=0时，y=﹣

x2+

x﹣1=﹣1，

∴点C的坐标为（0，﹣1）．

设线段BC所在直线的解析式为y=kx+b，

将B（3，0）、C（0，﹣1）代入y=kx+b，

，解得：

，

∴线段BC所在直线的解析式为y=

x﹣1．

∵点E在△ABC内（含边界），

∴

，

解得：

≤t≤

．

（3）当x＜

或x＞3时，y=﹣

x2+

x﹣1；

当

≤x≤3时，y=

x2﹣

x+1．

假设存在，设点P的坐标为（

m，0），则点Q的横坐标为m．

①当m＜

或m＞3时，点Q的坐标为（m，﹣

x2+

x﹣1）（如图1），

∵以CQ为直径的圆与x轴相切于点P，

∴CP⊥PQ，

∴CQ2=CP2+PQ2，即m2+（﹣

m2+

m）2=

m2+1+

m2+（﹣

m2+

m﹣1）2，

整理，得：

m1=

，m2=

，

∴点P的坐标为（

，0）或（

，0）；

②当

≤m≤3时，点Q的坐标为（m，

x2﹣

x+1）（如图2），

∵以CQ为直径的圆与x轴相切于点P，

∴CP⊥PQ，

∴CQ2=CP2+PQ2，即m2+（

m2﹣

m+2）2=

m2+1+

m2+（

m2﹣

m+1）2，

整理，得：

11m2﹣28m+12=0，

解得：

m3=

，m4=2，

∴点P的坐标为（

，0）或（1，0）．

综上所述：

存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P，点P的坐标为（

，0）、（

，0）、（1，0）或（

，0）．

2．（黄石）已知抛物线y=a（x﹣1）2过点（3，1），D为抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点B、C均在抛物线上，其中点B（0，

），且∠BDC=90°，求点C的坐标；

（3）如图，直线y=kx+4﹣k与抛物线交于P、Q两点．

①求证：

∠PDQ=90°；

②求△PDQ面积的最小值．

【学会思考】

（1）将点（3，1）代入解析式求得a的值即可；

（2）设点C的坐标为（x0，y0），其中y0=

（x0﹣1）2，作CF⊥x轴，证△BDO∽△DCF得

=

，即

=

=

据此求得x0的值即可得；

（3）①设点P的坐标为（x1，y1），点Q为（x2，y2），联立直线和抛物线解析式，化为关于x的方程可得

，据此知（x1﹣1）（x2﹣1）=﹣16，由PM=y1=

（x1﹣1）2、QN=y2=

（x2﹣1）2、DM=|x1﹣1|=1﹣x1、DN=|x2﹣1|=x2﹣1知PM•QN=DM•DN=16，即

=

，从而得△PMD∽△DNQ，据此进一步求解可得；

②过点D作x轴的垂线交直线PQ于点G，则DG=4，根据S△PDQ=

DG•MN列出关于k的等式求解可得．

解：

（1）将点（3，1）代入解析式，得：

4a=1，

解得：

a=

，

所以抛物线解析式为y=

（x﹣1）2；

（2）由

（1）知点D