《212降次解一元二次方程》同步练习含答案解析.docx

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《212降次解一元二次方程》同步练习含答案解析

《21.2降次——解一元二次方程》

一、选择题（共13小题）

1．一元二次方程x2﹣4x+5=0的根的情况是（　　）

A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根

C．只有一个实数根D．没有实数根

2．下列关于x的方程有实数根的是（　　）

A．x2﹣x+1=0B．x2+x+1=0C．（x﹣1）（x+2）=0D．（x﹣1）2+1=0

3．关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（　　）

A．

B．

C．

D．

4．有两个一元二次方程M：

ax2+bx+c=0；N：

cx2+bx+a=0，其中a•c≠0，a≠c．下列四个结论中，错误的是（　　）

A．如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根

B．如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同

C．如果5是方程M的一个根，那么

是方程N的一个根

D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1

5．方程x2﹣2x+3=0的根的情况是（　　）

A．有两个相等的实数根B．只有一个实数根

C．没有实数根D．有两个不相等的实数根

6．一元二次方程4x2+1=4x的根的情况是（　　）

A．没有实数根B．只有一个实数根

C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根

7．已知一元二次方程2x2﹣5x+3=0，则该方程根的情况是（　　）

A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根

C．两个根都是自然数D．无实数根

8．若一元二次方程x2+2x+a=0的有实数解，则a的取值范围是（　　）

A．a＜1B．a≤4C．a≤1D．a≥1

9．下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是（　　）

A．x2﹣8=0B．2x2﹣4x+3=0C．9x2+6x+1=0D．5x+2=3x2

10．一元二次方程2x2+3x+1=0的根的情况是（　　）

A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根

C．没有实数根D．无法确定

11．下列一元二次方程有两个相等实数根的是（　　）

A．x2﹣2x+1=0B．2x2﹣x+1=0C．4x2﹣2x﹣3=0D．x2﹣6x=0

12．若a满足不等式组

，则关于x的方程（a﹣2）x2﹣（2a﹣1）x+a+

=0的根的情况是（　　）

A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根

C．没有实数根D．以上三种情况都有可能

13．下列方程中，没有实数根的是（　　）

A．x2﹣4x+4=0B．x2﹣2x+5=0C．x2﹣2x=0D．x2﹣2x﹣3=0

二、填空题（共12小题）

14．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个相等的实数根，则m=______．

15．若关于x的一元二次方程x2﹣x+m=0有两个不相等的实数根，则m的值可能是______（写出一个即可）．

16．关于x的方程mx2+x﹣m+1=0，有以下三个结论：

①当m=0时，方程只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是______（填序号）．

17．关于x的方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根，则m=______．

18．若关于x的一元二次方程ax2+3x﹣1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是______．

19．关于x的一元二次方程x2﹣x+m=O没有实数根，则m的取值范围是______．

20．已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有实数根，则m的取值范围是______．

21．关于x的一元二次方程ax2+bx+

=0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：

a=______，b=______．

22．已知关于x的方程x2﹣2x+a=0有两个实数根，则实数a的取值范围是______．

23．若一元二次方程（m﹣1）x2﹣4x﹣5=0没有实数根，则m的取值范围是______．

24．关于x的一元二次方程x2+a=0没有实数根，则实数a的取值范围是______．

25．已知关于x的一元二次方程x2﹣2

x﹣k=0有两个相等的实数根，则k值为______．

三、解答题（共5小题）

26．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m=0．

（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；

（2）若方程两实数根为x1，x2，且满足5x1+2x2=2，求实数m的值．

27．已知：

关于x的方程x2+2mx+m2﹣1=0

（1）不解方程，判别方程根的情况；

（2）若方程有一个根为3，求m的值．

28．已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）=|m|．

（1）求证：

对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；

（2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根．

29．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0．

（1）证明：

不论m为何值时，方程总有实数根；

（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．

30．已知关于x的一元二次方程

mx2+mx+m﹣1=0有两个相等的实数根．

（1）求m的值；

（2）解原方程．

《21.2降次——解一元二次方程》

参考答案与试题解析

一、选择题（共13小题）

1．一元二次方程x2﹣4x+5=0的根的情况是（　　）

A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根

C．只有一个实数根D．没有实数根

【考点】根的判别式．

【分析】把a=1，b=﹣4，c=5代入△=b2﹣4ac进行计算，根据计算结果判断方程根的情况．

【解答】解：

∵a=1，b=﹣4，c=5，

∴△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×5=﹣4＜0，

所以原方程没有实数根．

故选：

D．

【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．

2．下列关于x的方程有实数根的是（　　）

A．x2﹣x+1=0B．x2+x+1=0C．（x﹣1）（x+2）=0D．（x﹣1）2+1=0

【考点】根的判别式．

【专题】计算题．

【分析】分别计算A、B中的判别式的值；根据判别式的意义进行判断；利用因式分解法对C进行判断；根据非负数的性质对D进行判断．

【解答】解：

A、△=（﹣1）2﹣4×1×1=﹣3＜0，方程没有实数根，所以A选项错误；

B、△=12﹣4×1×1=﹣3＜0，方程没有实数根，所以B选项错误；

C、x﹣1=0或x+2=0，则x1=1，x2=﹣2，所以C选项正确；

D、（x﹣1）2=﹣1，方程左边为非负数，方程右边为0，所以方程没有实数根，所以D选项错误．

故选：

C．

【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：

当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．

3．关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（　　）

A．

B．

C．

D．

【考点】根的判别式．

【专题】判别式法．

【分析】先根据判别式的意义得到△=（﹣3）2﹣4m＞0，然后解不等式即可．

【解答】解：

根据题意得△=（﹣3）2﹣4m＞0，

解得m＜

．

故选：

B．

【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：

当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．

4．有两个一元二次方程M：

ax2+bx+c=0；N：

cx2+bx+a=0，其中a•c≠0，a≠c．下列四个结论中，错误的是（　　）

A．如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根

B．如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同

C．如果5是方程M的一个根，那么

是方程N的一个根

D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1

【考点】根的判别式；一元二次方程的解；根与系数的关系．

【专题】压轴题．

【分析】利用根的判别式判断A；利用根与系数的关系判断B；利用一元二次方程的解的定义判断C与D．

【解答】解：

A、如果方程M有两个相等的实数根，那么△=b2﹣4ac=0，所以方程N也有两个相等的实数根，结论正确，不符合题意；

B、如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同，那么△=b2﹣4ac≥0，

＞0，所以a与c符号相同，

＞0，所以方程N的两根符号也相同，结论正确，不符合题意；

C、如果5是方程M的一个根，那么25a+5b+c=0，两边同时除以25，得

c+

b+a=0，所以

是方程N的一个根，结论正确，不符合题意；

D、如果方程M和方程N有一个相同的根，那么ax2+bx+c=cx2+bx+a，（a﹣c）x2=a﹣c，由a≠c，得x2=1，x=±1，结论错误，符合题意；

故选：

D．

【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数根；△＜0⇔方程没有实数根．也考查了根与系数的关系，一元二次方程的解的定义．

5．方程x2﹣2x+3=0的根的情况是（　　）

A．有两个相等的实数根B．只有一个实数根

C．没有实数根D．有两个不相等的实数根

【考点】根的判别式．

【分析】把a=1，b=﹣2，c=3代入△=b2﹣4ac进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．

【解答】解：

∵a=1，b=﹣2，c=3，

∴△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×3=﹣8＜0，

所以方程没有实数根．

故选C．

【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．

6．一元二次方程4x2+1=4x的根的情况是（　　）

A．没有实数根B．只有一个实数根

C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根

【考点】根的判别式．

【分析】先求出△的值，再判断出其符号即可．

【解答】解：

原方程可化为：

4x2﹣4x+1=0，

∵△=42﹣4×4×1=0，

∴方程有两个相等的实数根．

故选C．

【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△的关系是解答此题的关键．

7．已知一元二次方程2x2﹣5x+3=0，则该方程根的情况是（　　）

A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根

C．两个根都是自然数D．无实数根

【考点】根的判别式．

【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2﹣4ac的值的符号就可以了．

【解答】解：

∵a=2，b=﹣5，c=3，

∴△=b2﹣4ac=（﹣5）2﹣4×2×3=1＞0，

∴方程有两个不相等的实数根．

故选：

A．

【点评】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；

（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根，是解决问题的关键．

8．若一元二次方程x2+2x+a=0的有实数解，则a的取值范围是（　　）

A．a＜1B．a≤4C．a≤1D．a≥1

【考点】根的判别式．

【分析】若一元二次方程x2+2x+a=0的有实数解，则根的判别式△≥0，据此可以列出关于a的不等式，通过解不等式即可求得a的值．

【解答】解：

因为关于x的一元二次方程有实根，

所以△=b2﹣4ac=4﹣4a≥0，

解之得a≤1．

故选C．

【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．

9．下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是（　　）

A．x2﹣8=0B．2x2﹣4x+3=0C．9x2+6x+1=0D．5x+2=3x2

【考点】根的判别式．

【分析】分别计算四个方程的判别式的值，然后根据判别式的意义判断各方程根的情况．

【解答】解：

A、x2﹣8=0，

这里a=1，b=0，c=﹣8，

∵△=b2﹣4ac=02﹣4×1×（﹣8）=32＞0，

∴方程有两个不相等的实数根，故本选项错误；

B、2x2﹣4x+3=0，

这里a=2，b=﹣4，c=3，

∵△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×2×3=﹣8＜0，

∴方程没有实数根，故本选项错误；

C、9x2+6x+1=0，

这里a=9，b=6，c=1，

∵△=b2﹣4ac=62﹣4×9×1=0，

∴方程有两个相等的实数根，故本选项正确；

D、5x+2=3x2，

3x2﹣5x﹣2=0，

这里a=3，b=﹣5，c=﹣2，

∵△=b2﹣4ac=（﹣5）2﹣4×3×（﹣2）=49＞0，

∴方程有两个不相等的实数根，故本选项错误；

故选C．

【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：

当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．

10．一元二次方程2x2+3x+1=0的根的情况是（　　）

A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根

C．没有实数根D．无法确定

【考点】根的判别式．

【分析】先求出△的值，再判断出其符号即可．

【解答】解：

∵△=32﹣4×2×1=1＞0，

∴方程有两个不相等的实数根．

故选A．

【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△的关系是解答此题的关键．

11．下列一元二次方程有两个相等实数根的是（　　）

A．x2﹣2x+1=0B．2x2﹣x+1=0C．4x2﹣2x﹣3=0D．x2﹣6x=0

【考点】根的判别式．

【分析】根据一元二次方程根的判别式判断即可．

【解答】解：

A、∵△=4﹣4=0，

∴方程x2﹣2x+1=0有两个相等实数根；

B、∵△=1﹣4×2＜0，

∴方程2x2﹣x+1=0无实数根；

C、∵△=4+4×4×3=52＞0，

∴方程4x2﹣2x﹣3=0有两个不相等实数根；

D、∵△=36＞0，

∴方程x2﹣6x=0有两个不相等实数根；

故选A．

【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；

（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；

（3）△＜0⇔方程没有实数根．

12．若a满足不等式组

，则关于x的方程（a﹣2）x2﹣（2a﹣1）x+a+

=0的根的情况是（　　）

A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根

C．没有实数根D．以上三种情况都有可能

【考点】根的判别式；一元一次方程的解；解一元一次不等式组．

【分析】求出a的取值范围，表示出已知方程根的判别式，判断得到根的判别式的值小于0，可得出方程没有实数根．

【解答】解：

解不等式组

得a＜﹣3，

∵△=（2a﹣1）2﹣4（a﹣2）（a+

）=2a+5，

∵a＜﹣3，

∴△=2a+5＜0，

∴方程（a﹣2）x2﹣（2a﹣1）x+a+

=0没有实数根，

故选C．

【点评】此题考查了解一元一次不等式组，一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0时，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0时，方程无实数根．

13．下列方程中，没有实数根的是（　　）

A．x2﹣4x+4=0B．x2﹣2x+5=0C．x2﹣2x=0D．x2﹣2x﹣3=0

【考点】根的判别式．

【分析】利用判别式分别判定即可得出答案．

【解答】解：

A、x2﹣4x+4=0，△=16﹣16=0有相同的根；

B、x2﹣2x+5=0，△=4﹣20＜0没有实数根；

C、x2﹣2x=0，△=4﹣0＞0有两个不等实数根；

D、x2﹣2x﹣3=0，△=4+12＞0有两个不等实数根．

故选：

B．

【点评】本题主要考查了根的判别式，解题的关键是熟记判别式的公式．

二、填空题（共12小题）

14．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个相等的实数根，则m=　

　．

【考点】根的判别式．

【分析】根据题意可得△=0，据此求解即可．

【解答】解：

∵方程x2﹣3x+m=0有两个相等的实数根，

∴△=9﹣4m=0，

解得：

m=

．

故答案为：

．

【点评】本题考查了根的判别式，解答本题的关键是掌握当△=0时，方程有两个相等的两个实数根．

15．若关于x的一元二次方程x2﹣x+m=0有两个不相等的实数根，则m的值可能是　0　（写出一个即可）．

【考点】根的判别式．

【专题】开放型．

【分析】若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac＞0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．

【解答】解：

∵一元二次方程x2﹣x+m=0有两个不相等的实数根，

∴△=1﹣4m＞0，

解得m＜

，

故m的值可能是0，

故答案为0．

【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．注意本题答案不唯一，只需满足m＜

即可．

16．关于x的方程mx2+x﹣m+1=0，有以下三个结论：

①当m=0时，方程只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是　①③　（填序号）．

【考点】根的判别式；一元一次方程的解．

【专题】分类讨论．

【分析】分别讨论m=0和m≠0时方程mx2+x﹣m+1=0根的情况，进而填空．

【解答】解：

当m=0时，x=﹣1，方程只有一个解，①正确；

当m≠0时，方程mx2+x﹣m+1=0是一元二次方程，△=1﹣4m（1﹣m）=1﹣4m+4m2=（2m﹣1）2≥0，方程有两个实数解，②错误；

把mx2+x﹣m+1=0分解为（x+1）（mx﹣m+1）=0，

当x=﹣1时，m﹣1﹣m+1=0，即x=﹣1是方程mx2+x﹣m+1=0的根，③正确；

故答案为①③．

【点评】本题主要考查了根的判别式以及一元一次方程的解的知识，解答本题的关键是掌握根的判别式的意义以及分类讨论的思想．

17．关于x的方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根，则m=　﹣1　．

【考点】根的判别式．

【分析】根据方程有两个相等的实数根，判断出根的判别式为0，据此求出m的值即可．

【解答】解：

∵关于x的方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根，

∴△=0，

∴22﹣4×1×（﹣m）=0，

解得m=﹣1．

故答案为；﹣1．

【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；

（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；

（3）△＜0⇔方程没有实数根．

18．若关于x的一元二次方程ax2+3x﹣1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是　a＞﹣

且a≠0　．

【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．

【分析】根据一元二次方程的定义及判别式的意义可得a≠0且△=b2﹣4ac=32﹣4×a×（﹣1）=9+4a＞0，解不等式组即可求出a的取值范围．

【解答】解：

∵关于x的一元二次方程ax2+3x﹣1=0有两个不相等的实数根，

∴a≠0且△=b2﹣4ac=32﹣4×a×（﹣1）=9+4a＞0，

解得：

a＞﹣

且a≠0．

故答案为：

a＞﹣

且a≠0．

【点评】此题考查了根的判别式．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：

（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；

（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．同时考查了一元二次方程的定义．

19．关于x的一元二次方程x2﹣x+m=O没有实数根，则m的取值范围是　m＞

　．

【考点】根的判别式．

【分析】根据方程没有实数根，得到根的判别式小于0列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围．

【解答】解：

根据方程没有实数根，得到△=b2﹣4ac=1﹣4m＜0，

解得：

m＞

．

故答案为：

m＞

．

【点评】此题考查了根的判别式，根的判别式大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式小于0，方程没有实数根．

20．已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有实数根，则m的取值范围是　m≤1　．

【考点】根的判别式．

【专题】探究型．

【分析】先根据一元二次方程x2+2x+m=0得出a、b、c的值，再根据方程有实数根列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．

【解答】解：

由一元二次方程x2+2x+m=0可知a=1，b=2，c=m，

∵方程有实数根，

∴△=22﹣4m≥0，解得m≤1．

故答案为：

m≤1．

【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据题意列出关于m的不等式是解答此题的关键．

21．关于x的一元二次方程ax2+bx+

=0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：

a=　4　，b=　2　．

【考点】根的判别式．

【专题】开放型．

【分析】由于关于x的一元二次方程ax2+bx+

=0有两个相等的实数根，得到a=b2，找一组满足条件的数据即可．

【解答】关于x的一元二次方程ax2+bx+

=0有两个相等的实数根，

∴△=b2﹣4×

a=b2﹣a=0，

∴a=b2，

当b=2时，a=4，

故b=2，a=4时满足条件．

故答案为：

4，2．

【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握判别式的意义是解题的关键．

22．已知关于x的方程x2﹣2x+a=0有两个实数根，则实数a的取值范围是　a≤1　．

【考点】根的判别式．

【专题】计算题．

【分析】由方程有两个实数根，得到根的判别式大于等于0，即可确定出a的范围．

【解答】解：

∵方程x2﹣2x+a=0有两个实数根，

∴△=4﹣4a≥0，

解得：

a≤1，

故答案为：

a≤1

【点评】此题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式与方程根的关系是解本题的关键．

23．若一元二次方程（m﹣1）x2﹣4x﹣5=0没有实数根，则m的取值范围是　m＜

　．

【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．

【分析】据关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣4x﹣5=0没有实数根，得出△=16﹣4（m﹣1）×（﹣5）＜0，从而求出m的取值范围．

【解答】解：

∵一元二次方程（m﹣1）x2﹣4x﹣5=0没有实数根，

∴△=16﹣4（m﹣1）×（﹣5）＜0，且m﹣1≠0，

∴m＜

．

故答案为：

m＜

．

【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：

当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．

24．关于x的一元二次方程x2+a=0没有实数根，则实数a的取值范围是　a＞0　．

【考点】根的判别式．

【专题】计算题．

【分析】根据方程没有实数根，