1920 第2章 21 213 空间中直线与平面之间的位置关系214 平面与平面之间的位置关系.docx

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1920第2章21213空间中直线与平面之间的位置关系214平面与平面之间的位置关系

2.1.3　空间中直线与平面之间的位置关系

2.1.4　平面与平面之间的位置关系

学习目标

核心素养

1.了解直线与平面的三种位置关系，并会用图形语言和符号语言表示．（重点、易错点）

2．了解不重合的两个平面之间的两种位置关系，并会用图形语言和符号语言表示．（难点）

1.通过对直线与平面位置关系的学习，培养逻辑推理、直观想象的数学素养；

2．通过对平面与平面位置关系的学习，培养逻辑推理、直观想象的数学素养.

1．直线与平面的位置关系

位置关系

直线在平面内

直线在平面外

直线与平面相交

直线与平面平行

公共点

无数个公共点

1个

0个

符号表示

a⊂α

a∩α＝A

a∥α

图形表示

思考：

“直线与平面不相交”与“直线与平面没有公共点”是一回事吗？

[提示]　不是．前者包括直线与平面平行及直线在平面内这两种情况，而后者仅指直线与平面平行．

2．两个平面的位置关系

位置关系

平行

相交

图示

表示法

α∥β

α∩β＝a

位置关系

平行

相交

公共点个数

0个

无数个

思考：

分别位于两个平行平面内的两条直线的位置关系是什么？

[提示]　分别位于两个平行平面内的直线一定无公共点，故它们的位置关系是平行或异面．

1．直线l与平面α有两个公共点，则（　　）

A．l∈αB．l∥α

C．l与α相交D．l⊂α

D　[根据公理1可知，l⊂α.]

2．若M∈平面α，M∈平面β，α、β为不同的平面，则平面α与β的位置关系是（　　）

A．平行B．相交

C．重合D．不确定

B　[由公理可知，平面α与平面β相交．]

3．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则下列说法正确的是________（填序号）．

①若直线a和直线b相交，则平面α和平面β相交；

②若平面α和平面β相交，则直线a和直线b相交．

①　[若直线a，b相交，设交点为P，则P∈a，P∈b.又a⊂α，b⊂β，所以P∈α，P∈β，故α，β相交．反之，若α，β相交，则a，b可能相交，也可能异面或平行．]

直线与平面位置关系的判定

【例1】　

（1）若直线上有一点在平面外，则下列结论正确的是（　　）

A．直线上所有的点都在平面外

B．直线上有无数多个点都在平面外

C．直线上有无数多个点都在平面内

D．直线上至少有一个点在平面内

B　[直线上有一点在平面外，则直线不在平面内，故直线上有无数多个点在平面外．]

（2）下列说法中，正确的个数是（　　）

①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交，那么另一条直线也和这个平面相交；

②经过两条异面直线中的一条直线有一个平面与另一条直线平行；

③两条相交直线，其中一条与一个平面平行，则另一条一定与这个平面平行．

A．0B．1　　　C．2　　　D．3

C　[易知①正确，②正确．③中两条相交直线中一条与平面平行，另一条可能平行于平面，也可能与平面相交，故③错误．选C.]

直线与平面位置关系的判断

（1）空间直线与平面位置关系的分类是解决问题的突破口，这类判断问题，常用分类讨论的方法解决．另外，借助模型（如正方体、长方体等）也是解决这类问题的有效方法．

（2）要证明直线在平面内，只要证明直线上两点在平面α内，要证明直线与平面相交，只需说明直线与平面只有一个公共点，要证明直线与平面平行，则必须说明直线与平面没有公共点．

1．以下命题（其中a，b表示直线，α表示平面），①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α；④若a∥α，b⊂α，则a∥b.其中正确命题的个数是（　　）

A．0个B．1个C．2个D．3个

A　[如图所示，在长方体ABCDA′B′C′D′中，

AB∥CD，AB⊂平面ABCD，但CD⊂平面ABCD，故①错误；A′B′∥平面ABCD，B′C′∥平面ABCD，但A′B′与B′C′相交，故②错误；AB∥A′B′，A′B′∥平面ABCD，但AB⊂平面ABCD，故③错误；A′B′∥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，但A′B′与BC异面，故④错误．]

平面与平面位置关系的判定

[探究问题]

1．若一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行，那么这两个平面之间有什么位置关系？

[提示]　因为一个平面内任意一条直线都与另一个平面平行，所以该平面与另一平面没有公共点，根据两平面平行的定义知，这两个平面平行．

2．平面α内有无数条直线与平面β平行，那么α∥β是否正确？

[提示]　不正确．如图，设α∩β＝l，则在平面α内与l平行的直线可以有无数条a1，a2，…，an，它们是一组平行线，这时a1，a2，…，an与平面β都平行，但此时α不平行于β，而α∩β＝l.

【例2】　

（1）如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是（　　）

A．平行B．相交

C．平行或相交D．不能确定

C　[逆向考虑画两平行面，看是否能在此两面内画两条平行线．同样画两相交面，看是否能在此两面内画两条平行线，再作出选择（如图所示）．

]

（2）完成下列作图：

①在图中画出一个平面与两个平行平面相交．

②在图中分别画出三个两两相交的平面．

[解]　①如图所示，

②如图所示，

1．平面与平面的位置关系的判断方法：

（1）平面与平面相交的判断，主要是以公理3为依据找出一个交点．

（2）平面与平面平行的判断，主要是说明两个平面没有公共点．

2．常见的平面和平面平行的模型

（1）棱柱、棱台、圆柱、圆台的上下底面平行；

（2）长方体的六个面中，三组相对面平行.

2．三个平面最多能把空间分为________部分，最少能把空间分成________部分．

8　4　[三个平面可将空间分成4，6，7，8部分，所以三个平面最少可将空间分成4部分，最多分成8部分．]

3.试画出相交于一点的三个平面．

[解]　如图所示（不唯一）．

1．空间中直线与平面的位置关系有两种分类方式

（1）

（2）

2．判断直线与平面及平面与平面位置关系的常用方法

（1）定义法：

借助线面、面面位置关系的定义判断；

（2）模型法：

借助长方体等熟悉的几何图形进行判断，有时起到事半功倍的效果；

（3）反证法：

反设结论进行推导，得出矛盾，达到准确的判断位置关系的目的．

1．已知直线a在平面α外，则（　　）

A．a∥α

B．直线a与平面α至少有一个公共点

C．a∩α＝A

D．直线a与平面α至多有一个公共点

D　[直线a在平面α外，则直线a与平面α平行或相交，故直线a与平面α至多有一个公共点．选D.]

2．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的（　　）

A．仅有一条直线不相交B．仅有两条直线不相交

C．无数条直线相交D．任意一条直线不相交

D　[直线a∥平面α，则a与α无公共点，与α内的任一直线均无公共点．]

3．圆柱的两个底面的位置关系是（　　）

A．相交B．平行

C．平行或异面D．相交或异面

B　[圆柱的两个底面无公共点，则它们平行．]

4．下列命题：

①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；

②若l，m是异面直线，l∥α，m∥β，则α∥β.

其中错误命题的序号为________．

①②　[①中两个平面也可能相交；②α与β可能平行也可能相交．]

5．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，分别指出直线B1C，D1B与正方体六个面所在平面的关系．

[解]　根据图形，直线B1C⊂平面B1C，直线B1C∥平面A1D，与其余四个面相交，直线D1B与正方体六个面均相交．

课时分层作业（九）　空间中直线与平面之间的位置关系平面与平面之间的位置关系

（建议用时：

45分钟）

[基础达标练]

一、选择题

1．三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面之间的关系是（　　）

A．相交　　B．平行

C．直线在平面内D．平行或直线在平面内

A　[延长各侧棱可恢复成棱锥的形状，所以三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面相交．]

2．给出以下结论：

（1）直线a∥平面α，直线b⊂α，则a∥b；

（2）若a⊂α，b⊄α，则a、b无公共点；

（3）若a⊄α，则a∥α或a与α相交；

（4）若a∩α＝A，则a⊄α.

正确的个数为（　　）

A．1个B．2个　　　C．3个　　　D．4个

B　[结合直线与平面的位置关系可知，

（1）

（2）错误，

（3）（4）正确．]

3．过平面外两点作该平面的平行平面，可以作（　　）

A．0个B．1个

C．0个或1个D．1个或2个

C　[平面外两点的连线与已知平面的位置关系有两种情况：

①直线与平面相交，可以作0个平行平面；

②直线与平面平行，可以作1个平行平面．]

4．在正方形ABCDA1B1C1D1中，E为DD1的中点，则下列直线中与平面ACE平行的是（　　）

A．BA1B．BD1

C．BC1D．BB1

B　[如图所示，连接BD1，BD，AC，AE，CE，设AC∩BD＝O，则O是BD的中点，连接OE，

∵在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为DD1的中点，

∴OE∥BD1，

又OE⊂平面ACE，BD1⊄平面ACE，

∴BD1∥平面ACE.]

5．有一木块如图所示，点P在平面A′C′内，棱BC平行平面A′C′，要经过P和棱BC将木料锯开，锯开的面必须平整，有N种锯法，N为（　　）

A．0种B．1种

C．2种D．无数种

B　[∵BC∥平面B′A′C′，∴BC∥B′C′，∴平面A′C′上过P作EF∥B′C′（图略），则EF∥BC，所以过EF、BC所确定的平面锯开即可，又由于此平面唯一确定．∴只有一种方法．]

二、填空题

6．若直线l上有两点到平面α的距离相等，则直线l与平面α的关系是________．

平行或相交　[当这两点在α的同侧时，l与α平行；当这两点在α的异侧时，l与α相交．]

7．若点A∈α，B

α，C

α，则平面ABC与平面α的位置关系是____．

相交　[∵点A∈α，B

α，C

α，∴平面ABC与平面α有公共点，且不重合，∴平面ABC与平面α的位置关系是相交．]

8．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中判断下列位置关系：

（1）AD1所在直线与平面BCC1的位置关系是________；

（2）平面A1BC1与平面ABCD的位置关系是________．

（1）平行　

（2）相交　[

（1）AD1所在的直线与平面BCC1没有公共点，所以平行；

（2）平面A1BC1与平面ABCD有公共点B，故相交．]

三、解答题

9．三个平面α，β，γ，如果α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b，且直线c⊂β，c∥b.

（1）判断c与α的位置关系，并说明理由；

（2）判断c与a的位置关系，并说明理由．

[解]　

（1）c∥α.

因为α∥β，所以α与β没有公共点，

又c⊂β，所以c与α无公共点，则c∥α.

（2）c∥a.

因为α∥β，所以α与β没有公共点，

又γ∩α＝a，γ∩β＝b，

则a⊂α，b⊂β，且a，b⊂γ，a，b没有公共点．

由于a，b都在平面γ内，

因此a∥b，又c∥b，所以c∥a.

10.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是AA1的中点，画出过D1，C，E的平面与平面ABB1A1的交线，并说明理由．

[解]　如图，取AB的中点F，连接EF，A1B，CF.

因为E是AA1的中点，

所以EF∥A1B.

在正方体ABCDA1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，

所以四边形A1BCD1是平行四边形．

所以A1B∥CD1，所以EF∥CD1.

所以E，F，C，D1四点共面．

因为E∈平面ABB1A1，E∈平面D1CE，

F∈平面ABB1A1，F∈平面D1CE，

所以平面ABB1A1∩平面D1CE＝EF.

所以过D1，C，E的平面与平面ABB1A1的交线为EF.

[能力提升练]

1．以下四个命题：

①三个平面最多可以把空间分成八部分；

②若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，则“a与b相交”与“α与β相交”等价；

③若α∩β＝l，直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，且a∩b＝P，则P∈l；

④若n条直线中任意两条共面，则它们共面．其中正确的是（　　）

A．①②B．②③　　　C．③④　　　D．①③

D　[对于①，正确；对于②，逆推“α与β相交”推不出“a与b相交”，也可能a∥b；对于③，正确；对于④，反例：

正方体的侧棱任意两条都共面，但这4条侧棱并不共面，故④错．所以正确的是①③.]

2．已知，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α内的任意一条直线m的位置关系是________．

平行或异面　[如图，由于ABCD是梯形，AB∥CD，所以AB与CD无公共点，又CD⊄平面α，所以CD与平面α无公共点.当m∥AB时，则m∥DC；当m与AB相交时，则m与DC异面．]