数学人教版六年级下册简单多边形的面积计算.docx

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数学人教版六年级下册简单多边形的面积计算

多边形的面积复习

宜城市孔湾镇初级中学段迎旭

教材分析:

“多边形的面积”的复习教学内容包括：

1．复习平行四边形、三角形、梯形面积公式；

2．计算平行四边形、三角形、梯形的面积。

复习并掌握三角形、平行四边形和梯形的面积公式是《数学课程标准》空间与图形领域里测量的重要目标之一。

《数学课程标准》的具体要求是：

利用方格纸或割补的方法，探索并掌握三角形、平行四边形和梯形的面积公式。

与原来的《修订大纲》比，突出了探索性。

因此，与过去的教材相比，教材在设计思想上有了较大的改变，即变过去只重公式计算为重视公式的推导过程和数学思想方法的渗透；变过去重教师讲解为学生的自主探索、自己建构数学知识。

本课程内容的学习，强调学生的数学活动，发展学生的空间观念。

平行四边形、三角形和梯形面积的计算，是在学生掌握了这些图形的特征以及第五册长方形、正方形面积计算的基础上学习的，它们是六年级进一步学习圆面积和立体图形表面积的基础。

平行四边形面积公式的推导将借助长方形面积的计算，而三角形面积、梯形面积的推导都将借助前一图形面积计算，前后知识联系非常紧密。

在这三种平面图形面积计算的探究中，“转化”的数学思想得以充分渗透，这种数学思想也将为学生在六年级圆面积和立体图形表面积的学习打下基础。

“转化”思想的体验需要学生在数、剪、拼、摆等充分的操作活动中得到，进而促使学生调整自己的认知结构。

“操作”是本单元教学的重要环节。

到这一部分内容结束，多边形面积的计算在第二学段就基本学完。

【教材编排特点】

其一，加强知识之间的联系，促进知识的迁移和学习能力的提高。

教材以图形内在联系为线索，以未知向已知转化为基本方法开展复习。

安排顺序：

基础：

长方形面积计算；

线索：

图形之间的内在联系；

基本方法：

未知向已知转化。

其二，让学生经历自主探索的过程。

各类图形面积公式的推导均采用让学生动手实验，先将图形转化为已经学过的图形，再通过合作学习的方式，探索转化后的图形与原来图形的联系，发现新图形的面积计算公式这样一个过程。

同时按照学习的先后顺序，探索的要求逐步提高。

例如：

平行四边形面积：

数方格　→　转化为一个长方形推导；

三角形的面积：

直接要求转化为已学过的图形推导；

梯形面积：

综合运用学过的方法推导。

其三，注意练习的探索性，形式多样化，以促进学生对知识的理解和灵活运用。

形式多：

应用问题、变式题、用间接条件求面积、画一画、分一分、思考题；

探索：

自己想办法求出图形的面积。

题目的选材贴近生活，与传统教材相比，更容易使学生感受到数学与生活的联系。

而且，操作性的习题对发展学生的空间观念，培养学生的动手操作能力起到推波助澜的作用。

另外，本单元还安排了两个“你知道吗？

”，介绍我国古代数学著作和数学家对平面图形面积的推导和计算方法，丰富了学生对我国数学史的认识。

【学情分析】

（1）学生有学习新知的知识基础。

在学习本单元知识之前，学生在第一学段认识掌握了这几种平面图形的特征，长方形的面积计算已经了然于心，数方格确定面积的方法也已经掌握。

这对于新知的学习拥有了很强的知识基础。

（2）学生的自主学习意识已初步形成，对于问题的探索会更加投入。

因此，在操作中会积极探讨推导面积公式的多种途径与方法，能在教师的有效引导下从不同的途径和角度思考问题。

（3）对可能会出现的典型困难，用语言表述整个操作过程，会因学生个体的差异而呈现不同水平的表述。

【单元教学目标】

1.利用方格纸和割补、拼摆等方法，探索并掌握平行四边形、三角形和梯形的面积计算公式，会计算平行四边形、三角形和梯形的面积。

2.认识简单的组合图形，会把组合图形分解成已学过的平面图形并计算出它的面积。

3.培养学生变换和转化的思想方法。

【单元教学重点难点】

教学重点：

引导学生运用转化的方法；在动手操作的基础上掌握三角形、平行四边形和梯形面积的计算公式；能正确地应用各种图形面积的计算公式，求它们的面积和解决有关面积的实际问题。

教学难点：

三角形、平行四边形和梯形面积公式的推导过程。

教学准备：

每小组一套平行四边形纸片、每人一把剪刀，多媒体课件。

教学过程：

一、创设情境，设疑导入

1．出示主题图

请学生观察主题图并思考：

你发现了哪些图形？

你会计算它们的面积吗？

（学生作答，教师随即提问“长方形的面积计算公式是什么？

”）

2.出示80页“两个花坛图”，设疑：

请观察这两个花坛，哪一个大呢？

引导学生分析，比较它们的大小需要知道它们的面积。

3.导题：

根据长方形的面积=长×宽（板书），可以得出长方形花坛的面积，平行四边形面积我们还没有学过，所以不能计算出平行四边形花坛的面积，这节课我们就学习平行四边形面积计算。

（板书课题）

激发学生的思维，制造认知冲突。

由已知到未知，即由旧知识引入新知识，引导学生进行类推，掌握新概念。

这是教学抽象的数学知识的一种重要途径。

“平行四边形的面积”这一内容，与长方形面积的计算有着密切的联系，适合用这一途径进行教学。

二、探索交流、归纳新知

（一）数方格法

1．用课件投影出示方格图，教师讲述：

我们可以用数方格思维方法数出这两个图形的面积，注意一个方格代表1m2，不满一格的都按半格算。

2.学生数出课本80页的图形面积，填入80页的表格中，然后指名说出数的结果，并说一说是怎样数的。

3.观察比较表格中两个图形的关系，提问：

你发现了什么?

引导学生明确：

如果长方形的长和宽分别等于平行四边形的底和高，则它们的面积相等。

让学生掌握用数来计算平行四边形面积的方法，初步感知到了平行四边形的面积＝底×高。

（二）割补法

1．引入：

如果要求在实际生活中平行四边形的面积，经常用数方格这种方法方便吗？

这就需要寻找一种更简单的方法。

我们已学过了长方形和正方形的面积计算公式，能不能根据已掌握的知识来解决新知，求出平行四边形的面积呢？

学生在矛盾冲突中感受新知探索的必要性，增强了自主探索的兴趣。

2．通过操作，将平行四边形转化成长方形。

（1）自由剪、拼，进一步感知。

①每个平行四边形只准剪一下，试一试被剪下的两部分能拼成已学过的什么图形?

学生自己剪、拼。

②互相讨论。

提问：

你发现了什么规律?

通过操作讨论得出：

只有沿着平行四边形的高剪开，才能拼成一个我们会计算的图形——长方形。

追问：

为什么要转化成长方形？

为什么要沿高剪开？

不沿高剪开行不行？

通过这样深入的探究，将学生为动而动的状态引向有效的“做数学”活动，不仅有效地渗透了数学的转化思想，而且更好地培养了学生的多向思维和发散思维的能力。

（2）揭示转化规律

任何一个平行四边形都可以转化成一个长方形，在转化的过程中，怎样按照一定的规律来做呢?

（教师边演示边讲述）

①沿着平行四边形的高剪下左边的直角三角形。

②左手按住右手的梯形，右手抽拉剪下的直角三角形，沿着底边慢慢向右移动，直到两斜边重合为止。

这样就得到一个长方形。

③学生根据刚才的演示模仿操作，体会平移的过程。

学生仔细观察、主动思考，大胆猜想、小心实验，找出了平行四边形与长方形的关系，很自然地就发现了平行四边形面积公式，从而实现了对知识意义的主动建构。

3．归纳总结公式

（1）比较变化前的两个图形，提问：

你发现了什么？

互相讨论，汇报讨论结果。

根据讨论结果完成填空。

引导学生明确：

你发现了什么?

①平行四边形转化为长方形后，面积没有改变。

即长方形面积等于平行四边形面积。

（同时板书）

②这个长方形的长、宽分别与平行四边形的底、高相等。

（同时板书）

（2）根据这些关系，你认为平行四边形的面积计算公式怎样推导出来?

强化理解推导过程。

板书：

平行四边形的面积＝底×高

4．教学字母公式

（1）介绍每个字母所表示的意义。

板书S=a×h

（2）说明在含有字母的式子里，字母和字母中间的乘号可以记作“·”，也可以省略不写。

所以平行四边形面积的计算公式可以写成“S=a·h或“S=ah”。

（同时板书）

这样的重复，有利于突出本课教学中的重点、突破难点。

三、应用新知，解决问题

1.出示81页例1

学生独立完成（一生板演），集体订正。

2.看书质疑。

（1）对于平行四边形的面积计算方法你还有疑问吗？

（2）请同学们认真阅读80至81页内容，通过看书你又知道了什么？

还有什么问题？

课本乃学生学习中的重要媒体之一，要充分地发挥这个重要媒体的作用，让学生通过“看书质疑”，既有利于培养学生通过阅读数学材料获取知识的能力，又有利于学生掌握学习方法。

四、深化理解、应用拓展

1.说出下面每个平行四边形的底和高，计算它们的面积。

2.判断，并说明理由。

（1）两个平行四边形的高相等，它们的面积就相等。

（）

（2）平行四边形底越长，它的面积就越大。

（）

（3）把一个长方形的框架挤压成一个平行四边形，面积减少了。

（）

（4）如果把一个平行四边形的底和高都除以2，它的面积比原来缩小了。

（）

3.练习十五第1题

4.练习十五第2题

通过实际问题的解决过程，加强了数学与现实生活的密切联系；培养学生学数学、用数学的意识。

五、出示一幅由各种图形组成的房子。

师：

同学们，你们看，这座房子是由哪些图形拼成的？

生：

长方形、正方形、平行四边形、三角形。

师：

观察的真仔细！

请同学们看着屏幕一起说出闪动的图形是什么图形？

（学生若一个一个说出，就边说边点。

你还发现什么图形？

谁还愿意说？

请你说！

同学们观察的真仔细！

）

师：

你们会计算这些图形的面积吗？

怎么算？

大家还记得我们是用什么方法推导出平行四边形的面积公式吗？

师：

表达得很清楚！

还有哪一个图形的面积没有学？

（三角形）大家想学吗？

今天我们就继续用转化的数学思想来探究三角形的面积。

（板书课题：

三角形的面积）

六、实践操作，探索问题：

1、猜一猜

师：

我们已经知道了平行四边形的面积与它的底和高有关，请大家猜一猜，三角形的面积与什么因素有关？

生：

汇报猜测结果（角、边、高）

师：

到底谁猜得对？

三角形的面积与哪些因素有关？

有什么关系？

我们一起来进行一个探究活动。

2、看一看

师：

请打开学具袋，仔细观察，里面都有什么图形？

谁愿意介绍给大家？

生：

有直角、钝角、锐角三角形，其中每种有两个是完全一样的。

师：

你怎么知道是完全一样？

3、拼一拼

师：

我们就用两个完全一样的三角形转化成已经学过的图形来进行探究，请看探究要求。

屏幕出示探究要求：

①用两个完全一样的三角形摆拼，拼已经学过的图形。

②拼出图形的面积与原来三角形的面积有什么联系？

师：

谁愿意声音宏亮的读一读！

师：

读的非常清楚！

下面就请小组合作，动手拼一拼、摆一摆，开始行动吧！

4、说一说

师：

好的，哪个小组愿意展示自己的探究成果？

你也可以任选一种图形来说！

师：

大家都很积极踊跃！

（你真勇敢！

）

生：

汇报。

（将三种三角形贴于黑板上）

（1）两个一样的锐角三角形可以拼成一个平行四边形。

这个三角形的面积与拼成的平行四边形的面积关系如何？

（一半）

师：

请看大屏幕，两个同样的锐角三角形可以拼成一个平行四边形，三角形的面积是平行四边形面积的一半。

（2）师：

谁还愿意来展示？

两个一样的直角三角形可以拼成一个长方形或平行四边形，长方形是特殊的平行四边形

这个三角形的面积与拼成的平行四边形的面积关系如何？

（一半）

师：

请看大屏幕，两个同样的直角三角形也可以拼成一个平行四边形，三角形的面积是平行四边形面积的一半。

（3）师：

说得非常精彩！

谁还想展示？

两个一样的钝角三角形可以拼成一个平行四边形。

这个三角形的面积与拼成的平行四边形的面积关系如何？

（一半）

师：

请看大屏幕，两个同样的直角三角形也可以拼成一个平行四边形，三角形的面积是平行四边形面积的一半。

5、想一想

师：

通过刚才的探究，你能得出什么结论？

（1）拼得的平行四边形的底与三角形的底相等。

（2）拼得的平行四边形的高与三角形的高相等。

（3）其中一个三角形的面积是拼得的平行四边形面积的一半。

（也可以说三角形的面积是与它等底等高的平行四边形面积的一半）

板书：

三角形的面积＝拼成平行四边形的面积÷2＝底×高÷2

师：

底乘高求出的是什么？

为什么要除以2？

师：

如果用字母Ｓ表示三角形的面积，a表示三角形的底，h表示三角形的高，你能用字母表示出三角形的面积公式吗？

板书：

Ｓ＝ah÷2

师：

我们再回到刚才的猜测，现在你们可以说说，三角形的面积与什么因素有关了吗？

无论面积多大的三角形，它的内角和都是180度，所以和角没有关系。

6、练一练

师：

通过我们刚才的探究活动，你认为下面的说法正确吗？

（1）三角形面积是平行四边形面积的一半。

（）

（2）一个三角形面积为20平方米，与它等底等高平行四边形面积是40平方米。

（）

（3）等底等高的两个三角形，面积一定相等。

（）

（4）两个三角形一定可以拼成一个平行四边形。

（）

7、了解其它推导方法。

师：

同学们真了不起！

你们知道吗？

我国古代的数学家更了不起，大约在2000年前，我国数学名著《九章算术》中的“方田章”就论述了平面图形面积的算法。

你想知道古代数学家刘徽是怎么推导出三角形的面积吗？

课件演示。

师：

把一个三角形经过分割、移补，使面积保持不变。

师：

大家如果感兴趣，课下也可以用同样的方法试一试。

七、应用新知，解决问题：

师：

运用三角形的面积公式可以解决很多问题。

师：

我听说你们都是少先队员，少先队员的标志是红领巾，你知道自己每天佩戴的红领巾面积有多大吗？

如果告诉你底是100厘米，高是33厘米，你能算出它的面积吗？

请快速做到练习本上。

（屏幕显示）出示85页例1：

学生独立完成（一生板演），集体订正。

八、深化理解、应用拓展

1、课本86页的练习第1题。

师：

三角形在我们的生活中处处可见，你见过这些道路交通警示标志吗？

谁知道这些标志表示什么意思？

你了解的真多，真不错！

师：

大家认识了这些交通警示牌，就要遵守交通规则，注意交通安全。

师：

这些标志牌的大小都相同，你能求出其中一块标志牌的面积是多少平方分米吗？

2、口算各种三角形的面积。

师：

看来三角形的面积公式大家掌握得很不错！

下面就请大家大显身手，根据给出的条件求出三角形的面积。

（1）求一个钝角三角形的面积。

（2）求一个直角三角形的面积。

师：

这是一个什么图形？

生：

直角三角形。

师：

他的面积怎么求？

你发现什么？

生：

只要知道直角三角形的两条直角边，就能求出直角三角形的面积。

（3）求一个锐角三角形的面积。

师：

这个三角形的面积怎么求？

为什么不选择那条高？

生：

因为它不是底边上对应的高。

师：

那这条高对应的底是哪条边？

如果告诉你这个底的长度，你能用不同的方法求出它的面积吗？

（同学们可真棒！

）

3、老师这还有一道挑战题，你们敢挑战吗？

下图中两个三角形的面积相等吗？

为什么？

师：

高为什么相等？

生：

平行线间的垂直线段都相等。

每个三角形的面积是多少？

还能画出多少个和它面积相等的三角形？

九.梯形的面积公式

1.引导学生回忆梯形的面积公式。

提示：

用梯形学具，可以拼一拼，也可以剪一剪，看是否能转化为我们学过的图形。

2.学生动手操作，教师巡视指导。

充分尊重学生的主观能动性，通过小组的探索研究自主解决问题。

3.展示学生的剪拼过程，交流汇报。

（1）各小组汇报实验情况。

（让学生将转化后的图形贴在黑板上，再选择有代表性的情况汇报）

可能出现以下情况：

①两个一样的梯形拼成一个平行四边形。

②把一个梯形剪成两个三角形。

③把一个梯形剪成一个平行四边形和一个三角形。

（2）分情况汇报推导过程，配合课件演示。

鼓励学生用多种方法进行推导，在此基础上进行汇报和交流。

师：

通过实验，你们发现了什么？

引导学生重点交流第一种操作情况的结论：

只要是两个完全一样的梯形都能拼成一个平行四边形，拼成的平行四边形面积是每个梯形面积的二倍；每个梯形的面积是拼成的平行四边形的面积的一半。

可以第

（1）种方法为研究重点，让学生叙述推导的过程，得出梯形面积计算公式。

4．归纳公式

（1）小组内交流推导过程，抽象概括计算公式。

交流问题：

梯形面积的计算公式是怎样的？

（2）汇报交流，追问：

为什么要除以2？

根据学生交流、汇报，教师进行如下板书：

因为：

梯形面积=拼成的平行四边形面积÷2

所以：

梯形面积=（上底＋下底）×高÷2

（3）归纳字母公式：

……

S=（a+b）h÷2

5．看书质疑。

教学中注重细节的处理，通过旋转—平移—拼合的具体操作方法的指导，把转化的思想的渗透落到实处。

十、应用新知，解决问题

1.出示89页例3：

学生独立完成（一生板演），集体订正。

2.独立完成P89做一做。

完成后交流、讲评。

3.选一选

（1）把一个平行四边形任意分割成两个梯形，这两个梯形中______总是相等的。

（）

A．高　　　B．面积　　　　C．上下两底的和

（2）在下图中，平行线间的三个图形，它们的面积相比________。

（）　

A．平行四边形的面积大B．三角形的面积大C．梯形的面积大D．面积都相等

（3）已知梯形的面积是42.5dm2，上底是3dm，下底是7dm，它的高是（）

A.42.5×2÷（3+7）B．42.5÷（3+7）C．42.5÷（3+7-3）

4.我会解决

（1）有一块梯形麦田，上底28m，下底32m，高20m。

在这块田里共收小麦301.2千克，平均每平方米收小麦多少千克？

（2）工地上有一堆圆木，这堆圆木共有多少根？

知识之间有内在的联系，教学中老师要善于帮助学生沟通知识之间的联系。

在学生原有知识经验的基础上，通过自己的观察和理解，不断把新知识内化，有效地构建了一个合理有序的认知结构，在潜移默化中学生的认知又上了一个更高的层次。