t=a
a=b
b=t
ENDIF
c=a－b
a=b
b=c
LOOPUNTILa=b
PRINTa^i
END
要点诠释：
用辗转相除法步骤较少，而更相减损术虽然有些步骤较长，但运算简单.
要点三：
秦九韶计算多项式的方法
令
，则有
，其中
.这样，我们便可由
依次求出
；
要点诠释：
显然，用秦九韶算法求n次多项式的值时只需要做n次乘法和n次加法运算
要点四：
进位制
进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值.可使用数字符号的个数称为基数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制.现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0-9进行记数.
对于任何一个数，我们可以用不同的进位制来表示.比如：
十进数57，可以用二进制表示为111001，也可以用八进制表示为71、用十六进制表示为39，它们所代表的数值都是一样的.
表示各种进位制数一般在数字右下角加注来表示,如111001
（2）表示二进制数,34（5）表示5进制数.
1.k进制转换为十进制的方法：
，把k进制数a转化为十进制数b的算法程序为：
INPUT“a,k,n=”;a,k,n
i=1
b=0
WHILEi<=n
t=GETa[i]
b=b+t*k^（i-1）
i=i+1
WEND
PRINTb
END
2.十进制转化为k进制数b的步骤为：
第一步，将给定的十进制整数除以基数k，余数便是等值的k进制的最低位；
第二步，将上一步的商再除以基数k，余数便是等值的k进制数的次低位；
第三步，重复第二步，直到最后所得的商等于0为止，各次所得的余数，便是k进制各位的数，最后一次余数是最高位，即除k取余法.
要点诠释：
1、在k进制中，具有k个数字符号.如二进制有0，1两个数字.
2、在k进制中，由低位向高位是按“逢k进一”的规则进行计数.
3、非k进制数之间的转化一般应先转化成十进制，再将这个十进制数转化为另一种进制的数，有的也可以相互转化.
【典型例题】
类型一：
辗转相除法与更相减损术
例1．分别用辗转相除法和更相减损术求378与90的最大公约数．
【答案】18
【解析】用辗转相除法：
378=90×4+18，90=18×5．
∴378与90的最大公约数是18．
用更相减损术：
∵378与90都是偶数，
∴用2约分后得189和45．
189－45=144，144－45=99，99－45=54，54－45=9，45－9=36，36－9=27，27－9=18，18－9=9．
∴378与90的最大公约数为2×9=18．
【总结升华】比较辗转相除法与更相减损术的区别
（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显；
（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到.
由该题可以看出，辗转相除法得最大公约数的步骤较少.
对比两种方法控制好算法的结束，辗转相除法是到达余数为0，更相减损术是到达减数和差相等.
举一反三：
【变式1】
（1）用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数．
（2）利用辗转相除法求3869与6497的最大公约数与最小公倍数．
【解析】
（1）因为84=21×4，72=18×4，
所以21－18=3，
18－3=15，
15－3=12，
12－3=9，
9－3=6，
6－3=3．
所以21和18的最大公约数等于3．
所以84和72的最大公约数等于12．
【总结升华】先约简，再求21与18的最大公约数，然后乘以约简的4得84与72的最大公约数．
（2）6497=3869×1+2628，
3869=2628×1+1241，
2628=1241×2+146，
1241=146×8+73，
146=73×2+0．
所以3869与6497的最大公约数为73，
最小公倍数为3869×6497÷73=344341．
例2．求三个数：
168，54，264的最大公约数．
【思路点拨】运用更相减损术或辗转相除法，先求168和54的最大公约数a，再求a与264的最大公约数．
【答案】6
【解析】
采用更相减损术先求168和54的最大公约数．
（168，54）→（114，54）→（60，54）→（6，54）→（6，48）→（6，42）→（6，36）→（6，30）→（6，24）→（6，18）→（6，12）→（6，6）．
故168和54的最大公约数为6．
采用辗转相除法求6和264的最大公约数．
∵264=44×6+0，
∴6为264与6的最大公约数，也是这三个数的最大公约数．
【总结升华】求最大公约数通常有两种方法：
一是辗转相除法；二是更相减损术，对于3个数的最大公约数的求法，则是先求其中两个数的最大公约数m，再求m与第三个数的最大公约数．同样可推广到求3个以上数的最大公约数．
举一反三：
【变式1】求三个数324，243，135的最大公约数．
【答案】27
【解析】∵324=243×1+81，
243=81×3+0，
∴324与243的最大公约数为81．
又135=81×1+54，
81=54×1+27，
54=27×2+0，
∴81与135的最大公约数为27．
∴三个数324，243，135的最大公约数为27．
更相减损术：
∵324－243=81，
243－81=162，
162－81=81，
∴81是324和243的最大公约数．
又135－81=54，
81－54=27，
54－27=27，
∴27是81与135的最大公约数．
∴三个数324，243，135的最大公约数为27．
例3.甲、乙、丙三种溶液分别重
、
、
，现要将它们分别全部装入小瓶中，每个小瓶装入液体的质量相同，问每瓶最多装多少？
【思路点拨】由题意，每个小瓶最多能装的溶液的质量应是三种溶液质量的最大公约数.
【答案】
【解析】
先求147与343的最大公约数.
343-147=196，
196-147=49，
147-49=98，
98-49=49，
∴147与343的最大公约数是49.
再求49与133的最大公约数.
133-49=84，
84-49=35，
49-35=14，
35-14=21，
21-14=7，
14-7=7.
∴147，343，133的最大公约数是7.
故每瓶最多装
.
【总结升华】本题关键是分析清楚题意，找出三个数的最大公约数.求三个以上（含三个数）的数的最大公约数时，可依次通过求两个数的最大公约数与第三个数的最大公约数来求得.
类型二：
秦九韶算法
例4．（2015春河北邯郸月考）用秦九韶算法求多项式
当x=5时的值．
【思路点拨】利用秦九韶算法计算多项式的值，先将多项式转化为
的形式，然后逐步计算
到
的值，即可得到答案．
【答案】2677
【解析】
，
，
，
，
．
所以f（5）=2677．
【总结升华】秦九韶算法的原理是
．
在运用秦九韶算法进行计算时，应注意每一步的运算结果，像这种一环扣一环的运算，如果错一步，则下一步，一直到最后一步就会全部算错．同学们在计算这种题时应格外小心．
举一反三：
【变式1】用秦九韶算法求多项式
当x=2时的值．
【答案】1397
【解析】
．
v0=8，
v1=8×2+5=21，
v2=21×2-0=42，
v3=42×2-3=87，
v4=87×2+0=174，
v5=174×2+0=348，
v6=348×2+2=698，
v7=698×2+1=1397，
所以，当x=2时，多项式的值为1397．
【变式2】用秦九韶算法计算多项式
在x=0.4时的值时，需做加法和乘法的次数和是（）
A．10B．9C．12D．8
【答案】C
【解析】
．
∴加法6次，乘法6次，
∴6+6=12（次），故选C．
类型三：
进位制
例5．
（1）试把十进制数136转化为二进制数；
（2）试把十进制数1234转化为七进制数．
【答案】
（1）10001000
（2）
（2）3412（7）
【解析】
（1）由于136=2×68+0，
68=2×34+0．
34=2×17+0．
17=2×8+1．
8=2×4+0．
4=2×2+0．
2=2×1+0．
1=2×0+1．
所以136=10001000
（2）．
（2）1234=7×176+2，
176=7×25+1．
25=7×3+4．
3=7×0+3．
所以1234=3412（7）．
【总结升华】
（1）应注意搞清每一次除法中的被除数、除数，当商为零时停止除法，把每步所得的余数倒着排成一个数，就是相应的二进制数．
（2）十进制数转化为七进制数与转化为二进制数的方法类似，要认真体会其原理．
举一反三：
【变式1】
（1）把十进制数89转化为二进制数；
（2）将十进制数2l转化为五进制数．
【解析】
（1）用除2取余法：
∴89=2×（2×（2×（2×（2×（2×（2×0+1）+0）+1）+1）+0）+0）+1=2×（2×（2×（2×2×（22×0+2+0）+1）+1）+0）+0）+1=……=1×26+0×25+1×24+1×23+0×22×0×21+1×20=1011001
（2）
（2）用除5取余法，可得
∴21=41（5）．
例6．（2016春湖南娄底月考）若二进制数100y011和八进制数x03相等，求x+y的值．
【思路点拨】直接利用进位制运算法则化简求解即可．
【答案】1
【解析】
，
，
∴67+8y=64x+3，
∵y=0或1，x可以取1、2、3、4、5、6、7，
y=0时，x=1；y=1时，64x=72，无解；
∴x+y=1．
举一反三：
【变式1】在十进制中，
，那么在五进制中数码2004折合成十进制为（）
A．29B．254C．602D．2004
【答案】B
解析：
，故选B．
【变式2】把四进制数2132化为七进制数________．
【答案】314（7）
【解析】先将“四进制”数2132（5）化为十进制数为
然后将十进制的158化为七进制：
158÷7=22余4，
22÷7=3余1，
3÷7=0余3，
所以，结果是314（7）
故答案为：
314（7）
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