第七章《平面直角坐标系》单元教案.docx

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第七章《平面直角坐标系》单元教案

第七章　平面直角坐标系

7．1　平面直角坐标系

7．1.1　有序数对

1．理解有序数对的应用意义，了解平面上确定点的常用方法．

2．培养学生应用数学知识的意识，激发学生的学习兴趣．

重点

有序数对及平面内确定点的方法．

难点

利用有序数对表示平面内的点．

一、创设情境，引入新课

教师出示以下几个情景，并请同学们思考共同之处．

1．一位居民打电话给供电部门“卫星路第8根电线杆的路灯坏了”，维修人员很快修好了路灯．

2．地质部门在某地埋下一个标志桩，上面写着“北纬44.2°，东经125.7°”．

3．某人买了一张6排3号的电影票，很快找到了自己的座位．

分析以上情景，他们都利用哪些数据找到位置的？

师：

你还能举出生活中利用数据表示位置的例子吗？

学生回答，由教师指导分析．

二、讲授新课

有序数对：

用含有两个数的数对表示一个确定的位置，其中各个数表示不同的含义，我们把这种有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）．

利用有序数对，可以很准确地表示出一个位置．

教师反复强调：

明确数对表示的含义和格式．

三、例题讲解

【例】　如图，点A表示3街与5大道的十字路口，点B表示5街与3大道的十字路口，如果用（3，5）→（4，5）→（5，5）→（5，4）→（5，3）表示由A到B的一条路径，那么你能用同样的方法写出由A到B的其他几条路径吗？

6大道

5大道

A

4大道

3大道

B

2大道

1大道

1街

2街

3街

4街

5街

6街

　　分析：

寻找规律，确定路线．

图中确定点用前一个数表示街，后一个数表示

大道．

解：

其他的路径可以是：

（3，5）→（4，5）→（4，4）→（5，4）→（5，3）；

（3，5）→（4，5）→（4，4）→（4，3）→（5，3）；

（3，5）→（3，4）→（4，4）→（5，4）→（5，3）；

（3，5）→（3，4）→（4，4）→（4，3）→（5，3）；

（3，5）→（3，4）→（3，3）→（4，3）→（5，3）．

根据所学的知识，请同学们思考自己在班级里的位置，应该怎样表示？

四、方法探究

常见的确定平面上的点的位置常用的方法：

1．以某一点为原点（0，0），将平面分成若干个小正方形的方格，利用点所在的行和列的位置来确定点的位置．

2．以某一点为观测点，用方位角、目标到这个点的距离这两个数来确定目标所在的位置．

如图，以灯塔A为观测点，小岛B在灯塔A北偏东45°、距灯塔3km处．

五、课堂小结

为什么要用有序数对表示点的位置，没有顺序可以吗？

总结几种常用的表示点的位置的方法．

本节课板书的内容比较少，板书有序数对和实际举例的有序数对，目的是突出“有序数对”的概念，让学生从感官上得以完善，建立简单的坐标系是对本节课知识的巩固，同时为下节课学习平面直角坐标系打好基础．

7．1.2　平面直角坐标系

1．认识平面直角坐标系，了解点的坐标的意义，会用坐标表示点，能根据点的坐标画出点的位置．

2．渗透对应关系，培养学生的数感．

重点

平面直角坐标系和点的坐标．

难点

正确画坐标和找对应点．

一、创设情境，引入新课

启发学生，在地图上我们要确定一个地点的位置，需要借助经线和纬线，这两条线从局部上可以看成是平面内两条互相垂直的直线，有刻度、有方向的直线，进而抽象成数轴．而平面内，两条互相垂直的且有公共原点的数轴，就如同地图上的经线和纬线，可以帮助我们确定平面内任何一个点的位置．这就是我们今天要学习的知识：

平面直角坐标系．

二、观察体验，探索结论

给出严格的平面直角坐标系的概念、画法以及象限的规定．

凝聚学生注意力，强调由点的位置如何确定点的坐标以及坐标的表示形式．

探索活动

（1）

将任意点A放入直角坐标系中，由其所处的位置让学生确定点的坐标．

教师提出问题：

1．点在各个象限的坐标有什么特点？

2．坐标轴上的点有什么特点？

3．坐标轴上的点属于第几象限呢？

探索活动

（2）

由坐标描出点的位置，给学生提供动手实践的机会，由学生自己根据对平面直角坐标系的理解，亲自动手，独立操作完成，师生共同进行归纳总结．

同时，针对本节课的易错点，即点的坐标的表示形式，设计了顺口溜形式，作为本节课阶段性小结：

“平面直角坐标系，两条数轴来唱戏．一个点，两个数，先横后纵再括号，最后隔开用逗号．”

探索活动（3）

在全班展开互动游戏来深化本节课的教学．以班里某个同学为坐标原点，建立全班范围的平面直角坐标系．

问题：

1.你的象限以及你的坐标是多少？

2．在x、y轴的同学，你们的坐标有什么特点？

3．横坐标为2的同学起立，你们所在的直线和y轴上的同学有什么位置关系？

纵坐标为－1的同学起立，你们所在的直线和x轴上的同学有什么位置关系？

4．你的坐标和你到x轴、y轴的距离有什么关系？

三、讲授新课

1．定义：

在平面内两条互相垂直、原点重合的数轴组成平面直角坐标系．其中水平的数轴称为x轴或横轴，竖直方向的数轴称为y轴或纵轴．两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点．（如上活动

（1）图）

注：

（1）横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向．一般情况下，横轴和纵轴的单位长度取一致．

（2）建立平面直角坐标系，必须满足三个条件：

a．两条数轴　　b．互相垂直　　c．公共原点

2．点的坐标：

对于平面内任一点M，分别作垂直于x轴、垂直于y轴的垂线，设垂足分别为x、y，则x叫做点M的横坐标、y叫做点M的纵坐标，有序数对（x，y）叫做点M的坐标．

3．

（1）各象限符号的确定：

点在第一象限　　　　P（a，b）

a>0，b>0符号特征（＋，＋）

点在第二象限P（a，b）

a<0，b>0符号特征（－，＋）

点在第三象限P（a，b）

a<0，b<0符号特征（－，－）

点在第四象限P（a，b）

a>0，b<0符号特征（＋，－）

（2）坐标轴上的点的坐标特征：

点P（a，b）在x轴上时记作P（a，0）

点P（a，b）在y轴上时记作P（0，b）

原点记作（0，0）

（3）在平面直角坐标系中的点和有序数对是一一对应的关系．

即：

对于平面内任意一点，都有唯一的有序数对与它对应．

对于任意的有序数对，平面上都有唯一的一个点与它对应．

4．根据坐标描点的步骤：

（1）找到该点的横坐标在x轴上的位置，过该位置作x轴的垂线．

（2）找到该点的纵坐标在y轴上的位置，过该位置作y轴的垂线．

（3）两线交点即为要描出的点的位置．

四、巩固练习

1．点（－3，2）在第________象限；点（－1.5，－1）在第________象限；点（0，3）在________轴上；若点（a＋1，－5）在y轴上，则a＝________．

2．在x轴上，且与原点距离为3个单位长度的点的坐标为________．

3．若点P在第二象限，它的横坐标与纵坐标的和为－1，则点P的坐标可以是________．

4．若点（a，b－1）在第二象限，则a的取值范围是________，b的取值范围是________．

5．如果同一直角坐标系下两个点的横坐标相同，那么过这两点的直线（　　）

A．平行于x轴

B．平行于y轴

C．经过原点

D．以上都不对

【答案】

1．二　三　y　－1

2．（3，0）或（－3，0）

3．（－2，1）（答案不唯一）

4．a＜0　b＞1

5．B

五、课堂小结

本节课主要内容回顾：

平面直角坐标系；点的坐标及其表示；各象限内点的坐标的特征；坐标的简单

应用．

请同学们自己讨论，交流心得．

通过今天的学习，我们发现，当我们确定了一个点的坐标时，就能准确地找到这个点的位置．同学们，如果你们确定了你们人生的坐标，那么也一定要不断努力，不断进取，才能使你们早日登上你们学业的象牙塔．

7．2　坐标方法的简单应用

7．2.1　用坐标表示地理位置

1．了解用平面直角坐标系来表示地理位置的意义及主要过程．

2．培养学生解决实际问题的能力．

重点

利用坐标表示地理位置．

难点

建立适当的直角坐标系，利用平面直角坐标系解决实际问题．

一、创设情境，引入新课

不管是出差办事，还是出去旅游，人们都愿意带上一幅地图，它给人们出行带来了很大方便，你知道怎样用坐标表示地理位置吗？

今天我们学习如何用坐标表示地理位置．

二、师生互动

探究用坐标表示地理位置的方法．

活动1：

根据以下条件画一幅示意图，指出学校和小刚家、小强家、小敏家的位置．

小刚家：

出校门向东走150米，再向北走200米．

小强家：

出校门向西走200米，再向北走350米，最后再向东走50米．

小敏家：

出校门向南走100米，再向东走300米，最后向南走75米．

教师提问：

如何建立平面直角坐标系呢？

以哪个参照点为原点？

如何确定x轴、y轴？

如何选比例尺来绘制区域内地点分布情况的平面图？

学生讨论回答：

小刚家、小强家、小敏家的位置均是以学校为参照物来描述的，故选学校位置为原点，根据描述，可以以正东方向为x轴、以正北方向为y轴建立平面直角坐标系，并取比例尺1∶10000（即图中1cm相当实际中10000cm，即100m）．

由学生画出平面直角坐标系，标出学校的位置，即（0，0）．

教师引导学生一起完成示意图．

教师再问：

选取学校所在位置为原点，并以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向有什么优点？

学生讨论，总结回答：

可以很容易地写出三位同学家的位置．

活动2：

归纳利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况平面图的过程．

经过学生讨论、交流，教师适当引导后得出结论：

（1）建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向．

（2）根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度．

（3）在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称．

活动3：

思考：

如图，一艘船在A处遇险后向相距35nmile位于B处的救生船报警，如何用方向和距离描述救生船相对于遇险船的位置？

救生船接到报警后准备前往救援，如何用方向和距离描述遇险船相对于救生船的位置？

由图可知，救生船在遇险船北偏东60°的方向上，与遇险船的距离是35nmile，用北偏东60°，35nmile就可以确定救生船相对于遇险船的位置，反过来，用南偏西60°，35nmile就可以确定遇险船相对于救生船的位置．

一般地，可以建立平面直角坐标系，用坐标表示地理位置，此外，还可以用方位角和距离表示平面内物体的位置．

三、课堂小结

让学生归纳如何利用坐标表示地理位置．

通过本节课的学习，大部分学生能积极主动地参与到学习活动中来，能积极主动地提出各类问题

并解决问题，达到了基本的教学效果．但是由于对新概念的理解不是很深刻，所以在应用方面存在不足．针对这一情况，教师应选择典型的例题，详细讲解，指导学生探求解题的思路和方法，加深对概念的理解，做到熟练的应用．

7．2.2　用坐标表示平移

掌握坐标变化与图形平移的关系；能利用点的平移规律将平面图形进行平移；会根据图形上的坐标的变化，来判定图形的移动过程．

重点

掌握坐标变化与图形平移的关系．

难点

利用坐标变化与图形平移的关系解决实际问题．

一、复习回顾、引入新课

教师提问：

1．什么叫做平移？

2．平移后得到的新图形与原图形有什么关系？

学生回答：

把一个图形整体沿某一方向移动一定的距离，图形的这种移动，叫做平移．

平移后图形的位置改变，形状、大小不变．

二、探索点的坐标变化与平移间的关系

1．观察试验探索

思考：

（1）将点A（－2，－3）向右平移5个单位长度，它的坐标是________．

将点A（－2，－3）纵坐标不变，横坐标加5，它的位置发生了什么变化？

（2）把点A向上平移4个单位长度呢？

若A点横坐标不变，纵坐标加4呢？

教师总结：

归纳1：

在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右（或左）平移a个单位长度，可以得到对应点（x＋a，y）（或（x－a，y））；

将点（x，y）向上（或下）平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y＋b）（或（x，y－b））．

归纳2：

在平面直角坐标系中，如果把点（x，y）的横坐标加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；

如果把点（x，y）纵坐标加（或减去）一个正数b，相应的新图形就是把原图向上（或向下）平移b个单位长度．

思考：

如何平移点A（－2，1）得到点A′？

指示：

可将点A按照：

（1）先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度．

（2）先向下平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度．

教师总结：

点的斜向平移，可通过点的水平平移和竖直平移来完成．

三、探索图形上点的坐标变化与图形平移间的关系

【例】　如图，三角形ABC三个顶点的坐标分别是A（4，3），B（3，1），C（1，2）．

（1）将三角形ABC三个顶点的横坐标都减去6，纵坐标不变，分别得到点A1，B1，C1，依次连接A1，B1，C1各点，所得三角形A1B1C1与三角形ABC的大小、形状和位置有什么关系？

（2）将三角形ABC三个顶点的纵坐标都减去5，横坐标不变，分别得到点A2，B2，C2，依次连接A2，B2，C2各点，所得三角形A2B2C2与三角形ABC的大小、形状和位置有什么关系？

解：

如图，所得三角形A1B1C1与三角形ABC的大小、形状完全相同，三角形A1B1C1可以看作将三角形ABC向左平移6个单位长度得到．类似地，三角形A2B2C2与三角形ABC的大小、形状完全相同，它可以看作将三角形ABC向下平移5个单位长度得到．

教师强调：

在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把图形向右（或向左）平移a个单位长度；

如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个正数b，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移b个单位长度．

四、巩固练习

1．在平面直角坐标系中，把点P（－1，－2）向上平移4个单位长度所得点的坐标是________．

2．将点P（－4，3）沿x轴负方向平移2个单位长度，再沿y轴负方向平移2个单位长度，所得到的点的坐标为________．

3．已知三角形的三个顶点坐标分别是（－4，－1），（1，1），（－1，4），现将这三个点先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后三个顶点的坐标分别是（　　）

A．（－2，2），（3，4），（1，7）

B．（－2，2），（4，3），（1，7）

C．（2，2），（3，4），（1，7）

D．（2，－2），（3，3），（1，7）

【答案】

1．（－1，2）　2.（－6，1）　3.A

五、课堂小结

本节课是在学生学习了位置平移的概念和性质的基础上进行的，主要是引导学生运用分类思想，依次经过点或图形平移的观察、画图、比较、推理、归纳等活动，最终探索出点的坐标变化与点平移的关系、图形各个点的坐标变化与图形平移的关系，并结合演示体验坐标平面上的点与有序数对成一一对应的关系．

在课堂教学中为学生提供充分的探索空间，注重引导学生分工合作，独立思考，形成主见并进行交流，创设民主、宽松和谐的课堂气氛，让学生畅所欲言，同时进行游戏或试验操作，使课堂教学灵活直观，新鲜有趣，从而使课堂教学实现教学思想的先进性、教学目标的整体性、教学过程的有序性、教学方法的灵活性、教学手段的多样性、教学效果的可靠性．